文/李天均

如何解決小學(xué)數(shù)學(xué)中的疑難問題

文/李天均

當孩子向我們請教學(xué)習(xí)中的問題時，問題本身對家長或老師而言并不難，但是當我們給孩子講解如何解決問題時發(fā)現(xiàn)孩子們卻聽不懂。其原因是家長在用孩子們未來的知識在解釋現(xiàn)在的問題，而作為老師卻明知不能這樣做，可不知應(yīng)該如何應(yīng)用學(xué)生現(xiàn)有的知識去分析解決問題。如：小學(xué)五年級上學(xué)期學(xué)習(xí)小數(shù)除法時，有這樣一道數(shù)學(xué)動腦筋的題。

一輛汽車共載客50人。一部分買A種票，每張0.8元；另一部分買B種票，每張0.3元。A種票比B種票多收入18元，買A種票的有多少人？

這道題如果用列方程解決問題的方法并不難做，設(shè)買A種票的有x人，那么買B種票的有（50-x）人。列方程為：0.8x-0.3×（50-x）=18，解方程得x=30；如果設(shè)買B種票有y人，則買A種票的有（50-y）人，列議程為（50-y）×0.8-0.3y=18，解方程得y=20，買A種票的50-y=50-20=30（人），由于學(xué)生沒有學(xué)過列方程解決問題的方法，我們可從方程里推導(dǎo)出求買A種票人數(shù)的算術(shù)方法。

由0.8x-0.3x（50-x）=18 可推出：（0.3×50+18）÷（0.8+0.3）又從第二種方法中推導(dǎo)出：50-（50×0.8-18）÷（0.8+0.3）來求出買A種票的人數(shù)。

可是現(xiàn)在問題又出現(xiàn)了（50×0.3+18）和（50×0.8-18）求得什么？（0.8+0.3）是否是一張A種票與一張B種票的總價？（0.8+0.3）與（50×0.3+18）和（50×0.8-18）是一種什么樣的關(guān)系，家長和許多老師都沒有辦法說清楚，而學(xué)生又沒有學(xué)過列方程解決問題的方法，有些小學(xué)數(shù)學(xué)教師想到了用解決“雞兔同籠”中的假設(shè)法來解釋又好象說不清。

說到“雞兔同籠”，學(xué)生是在四年級下學(xué)期學(xué)習(xí)的，教材中先用了“列表法”解決問題，再推導(dǎo)出“假設(shè)法”來解決問題，而列表法中有一種有趣的現(xiàn)象；先假定全部是一種動物，然后在逐一不斷地互換到全部是另一種動物為止，它們的腳的總數(shù)也隨著不斷在增加或（減少）相同的數(shù)量。在這樣的過程中就會出現(xiàn)題中所需的答案，而以上的兩種方法與這種有趣的現(xiàn)象正好是用算術(shù)方法解決上面車票問題的最佳方法。

現(xiàn)在我們先回顧一下四年級里是如何解決“雞兔同籠”的問題的。

“籠子里有若干只雞和兔。從上面數(shù)有8個頭，從下面數(shù)有26只腳。雞和兔各有幾只？

方法一，列表法，先填寫下來，填完后找出正確答案。

雞的只數(shù)8 7 1 0兔的只數(shù)0 1 7 8腳的總只數(shù)16 18 32

觀察這張表很快可得出雞有3只，兔有5只時，它們的腳的總數(shù)正好是26只。

方法二：假設(shè)法

再次觀察列表法中的表，從左往右看，先假設(shè)全部是雞，再把雞逐一換成兔，每換一次腳的總數(shù)就增加2，（兩種動物的腳的差），8只雞有16只腳，而現(xiàn)在腳有26只，相差（26-16）只，所以雞換成兔的只數(shù)應(yīng)該是（26-2×8）÷（4-2）=5只，雞有8-5=3只。

而從右往左面容，則先假設(shè)全部是兔，求出雞的只數(shù)（即兔換成雞的只數(shù)）為：（4×8-26）÷（4-2）=3只，兔有8-3=5只。

由上可看出，應(yīng)用列表法解決學(xué)生思維難度較大的題時不僅是較直觀，簡單的一種方法，同時又能誘導(dǎo)出其他方法的好方法。是非常值得我們老師提倡，家長使用的好方法。那么有人會提出數(shù)據(jù)較小時是很方便，但數(shù)據(jù)較大時不是會很麻煩嗎？確實存在這個問題，不過結(jié)合學(xué)生熟悉的估算思想就解決了。在列表前先估計一下腳的總只數(shù)與“全部設(shè)為雞”和“全部設(shè)為兔”時，哪個更接近或是在兩種之間，如果有較接近的就從接近的一邊列表解決，如果在兩種之間我們可以兩種動物數(shù)量相等開始列表來解決。

現(xiàn)在我們就用以上觀點，方法來解決兩種車票的問題。

方法：用列表法。

1張A種票（0.8元）比1張B種票（0.3元）貴所以兩種車票張數(shù)相同時A種票的總收入一定比B種票多。因此我們先假定各買25張票來列表：

A種票的總收入比B種票多（元）25 25 12.5 A種票的張數(shù)B種票的張數(shù)

從表中可以看出，各買25張時，A種票比B種票多收入12.5元，但比多收入18元還有一定的差距，不過從中我們不難看出買A種票的人一定比25人多，所以需要把買B種票的25人中要轉(zhuǎn)換一部分為買A種票。

買A種票的人數(shù)25 26 27 28 29 30買B種票的人數(shù)25 24 23 22 21 20 A種票比B種票多收入（元）12.5 13.6 14.7 15.8 16.9 18

通過上面的列表法學(xué)生很好理解“買A種票30張比B種票20張多收入18元”。

再通過假設(shè)，列表、分析的方法我們又可以得出學(xué)生基本能理解的三種方法。

方法二，先假設(shè)兩種車票張數(shù)相等，再列表分析解答。

買A種票人數(shù)A種票比B種票多收入（元）252512.5 262413.6………□□18買B種票人數(shù)+1.1=（0.8+0.3）

分析，解答，①各賣25張時A種票比B種票多收入：25×0.8-25×0.3=12.5（元），②比多收入18元還少：18-12.5=5.5（元）。③把買B種票的1人轉(zhuǎn)換成買A種票時，A種票的總收入比B種票又多出1.1元（0.8+0.3）。④買B種票的人中轉(zhuǎn)換幾人買A種票才能多收入5.5元？5.5÷1.1=5（人）。⑤買A種票的共有多少人？25+5=30（人）。

答：買A種票的有30人。

方法三：先假設(shè)50人都買A種票，再列表分析并解答。

買A種票的人數(shù)A種票比B種票多收入（元）50040 49138.9………□18買B種票的人數(shù)-1.1

設(shè)全部買A種票，則A種票比B種票多收入40元，而中信息告訴我們只能多收入18元，那么我們需要把多收40元中轉(zhuǎn)化掉40-18=22元，由買A種票的1張轉(zhuǎn)化成買B種票時總收入只減少了0.8+0.3=1.1元，那么22元中有幾個1.1元，就需要把買A種票的幾個人轉(zhuǎn)換成買B種票，即22÷1.1=20（人）買B種票，所以買A種票的有50-20=30（人），列成綜合算式為：50-（50×0.8-18）÷（0.8+0.3）=30（人）。

方法四：先假設(shè)50人都買B種票，再列表，分析并解答。

買A種票的人數(shù)買B種票的人數(shù)0 50 A種票比B種票少收入15元1 49 A種票比B種票少收入13.9元1.1……□A種票比B種票多收入18元

由A種票比B種票少收入15元轉(zhuǎn)化到A種票比B種票反而多收入18元。就在總收入中需要一共轉(zhuǎn)化掉15+18=33（元），而每次由買B種票的人轉(zhuǎn)換成買A種票時，A種票比B種票多收入1.1元，所以由50人買B種票里要轉(zhuǎn)換33÷1.1=30人買A種票才能達到“A種票比B種票多收入18元”的要求。列成綜合算式為：（0.3×50+18）÷（0.8+0.1）=30（人）。

當我用以上方法給學(xué)生講解完時，有一個學(xué)生拿著作業(yè)來問我：“李老師，1張A種票比1張B種票貴0.5元（0.8-0.3=0.5），而題中不是說A種票比B種票多收入18元，我用18÷0.5求出買A種票36人，50-36求出買B種票14人怎么就錯了呢？”我說：“你先用36張A種票和14張B種票及單價檢驗一下總收入相差多少？”結(jié)果這個學(xué)生很快算出來了，0.8×36-0.3×14=28.5-4.2=24.6（元），這時我又問她：“你從這個結(jié)果想到了什么？”她說：“24.6元﹥18元，看來買A種票的36人多了，而買B種票的14人少了。”我接著說：“你能不能從36人買A種票，14人買B種票中用逐一轉(zhuǎn)換的方法得到正確結(jié)果呢？試試！”結(jié)果她經(jīng)過6人次的轉(zhuǎn)換后得到了當30人買A種票，20人買B種票時A種票比B種票多收入18元。這個學(xué)生從她開始錯誤的理解中，經(jīng)過檢驗、思考又找到了解決問題的另一途徑。

以上是我對這一問題的理解和給學(xué)生講解的思路和過程，如果對較用心的家長和老師能有所借鑒與啟迪我就很欣慰了，如若發(fā)現(xiàn)哪些地方有問題和不足請批評指正。同時，我正在思考這樣一問題，如果學(xué)生學(xué)會了列方程解決問題的方法后，再次讓學(xué)生做一做這道題，并與自述方法的分析解答過程比一比，不知學(xué)生的心里會感悟到些什么？

（作者單位：云南省麗江市實驗學(xué)校）