游志鴻

從小學(xué)到初中，數(shù)學(xué)由具體進(jìn)入到抽象領(lǐng)域，數(shù)學(xué)符號(hào)往往在平常的生活中找不到相對(duì)應(yīng)的簡(jiǎn)單實(shí)例，不少學(xué)生感到數(shù)學(xué)難學(xué)，感到數(shù)學(xué)很乏味，這樣就很難學(xué)好數(shù)學(xué)。

數(shù)學(xué)的本質(zhì)是數(shù)的概念，或者說(shuō)數(shù)學(xué)就是建立在概念上，數(shù)的概念就是數(shù)的本身規(guī)定性。所以，學(xué)數(shù)學(xué)首先要正確地理解概念，學(xué)會(huì)解讀數(shù)學(xué)概念語(yǔ)言符號(hào)，這是中學(xué)階段學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)至關(guān)重要的一個(gè)基本環(huán)節(jié)，其次才是概念的基本運(yùn)用。

所有的數(shù)學(xué)問(wèn)題，都是從概念出發(fā)，進(jìn)行推理判斷得出的結(jié)論。然而，在實(shí)際教學(xué)中，不少教師對(duì)概念教學(xué)重視不足，而是采用題海戰(zhàn)術(shù)，向?qū)W生灌輸各種解題方法和解題技巧，結(jié)果反而讓學(xué)生迷失在花樣繁多的所謂竅門(mén)之中；甚至導(dǎo)致學(xué)生思維混亂，遺忘了最為清晰的解決問(wèn)題的思維路徑。

出現(xiàn)這樣的教學(xué)結(jié)果，一個(gè)重要的原因源于教師自身對(duì)數(shù)學(xué)邏輯思維建構(gòu)的層次把握不足，急于求成，以至于偏離了概念這個(gè)數(shù)學(xué)根本，本末倒置，這樣學(xué)生是很難學(xué)好數(shù)學(xué)的。所以，在數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐過(guò)程中，唯有立足概念，從概念出發(fā)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，把數(shù)學(xué)問(wèn)題再還原到概念，從而做到以不變應(yīng)萬(wàn)變。

一、概念建構(gòu)的組成分析

數(shù)的概念通常包含名稱、定義、性質(zhì)與例子。名為區(qū)分，定義是其本質(zhì)，性質(zhì)是運(yùn)算屬性，例子是直觀呈現(xiàn)。在教學(xué)過(guò)程中把這些概念構(gòu)成說(shuō)清楚，便于學(xué)生在結(jié)構(gòu)上全面把握概念，抓住概念本質(zhì)。其中函數(shù)只是命名，不是本質(zhì)，本質(zhì)是有兩個(gè)變量它們的關(guān)系符合一種固定的變化關(guān)系。如，一次函數(shù)y=2x，其中2是x與y之間的量的關(guān)系固定值，也是x、y兩個(gè)變量的運(yùn)算性質(zhì)，函數(shù)式y(tǒng)=2x就是例子直觀，所謂自變量、函數(shù)只是兩個(gè)具有相對(duì)應(yīng)關(guān)系變量的名稱。把概念的名的實(shí)質(zhì)解釋清楚，學(xué)生就不會(huì)受到名稱的困擾，再以具體的數(shù)值代入函數(shù)式，量的關(guān)系也就變得清晰、直觀起來(lái)。這樣，學(xué)生對(duì)概念掌握起來(lái)就比較容易，就整體化了，抽象的概念就得以具體的量化。

二、概念語(yǔ)言的意思把握

在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，經(jīng)常發(fā)現(xiàn)學(xué)生無(wú)法讀懂概念的語(yǔ)言，或者說(shuō)不知道如何解讀概念語(yǔ)言所說(shuō)的意思，對(duì)概念死記硬背似懂非懂，許多時(shí)候?qū)W生身處其中卻渾然不覺(jué)，到了解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，就發(fā)現(xiàn)搞不懂題目的意思，無(wú)法把概念同問(wèn)題聯(lián)系起來(lái)。

例如，學(xué)習(xí)多項(xiàng)式時(shí)，學(xué)生經(jīng)常搞不清什么是項(xiàng)、項(xiàng)的次數(shù)，把項(xiàng)當(dāng)成單個(gè)字母，把某個(gè)字母的次數(shù)當(dāng)作項(xiàng)的次數(shù)。教學(xué)中可以舉例對(duì)定義語(yǔ)言加以說(shuō)明，通過(guò)例子不難發(fā)現(xiàn)語(yǔ)言的含義，如式子的字母不同、字母的次不同，滿足其中一個(gè)條件就是多項(xiàng)式中的單項(xiàng)式；“這些單項(xiàng)式中最高的次數(shù)，就是多項(xiàng)式的次數(shù)”，顯然多項(xiàng)式的次數(shù)，是通過(guò)比較幾個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù)高低決定，而不是比較某個(gè)單項(xiàng)式中的某個(gè)字母的次數(shù)。

數(shù)學(xué)中的概念大多數(shù)是通過(guò)定義描述給出它的確切含義，通過(guò)歸納概括定義的基本點(diǎn)，通過(guò)歸納排除定義的非本質(zhì)屬性，就可以完整把握定義。歸納概括過(guò)程也就是對(duì)定義的理解過(guò)程。例如，互余概念，其本質(zhì)屬性可以概括為：（1）必須具備兩個(gè)角之和為90°，一個(gè)角為90°或三個(gè)角之和為90°都不能稱為互為余角，互余角只就兩個(gè)角而言。（2）互余的角只是數(shù)量上的關(guān)系，與兩角所處位置無(wú)關(guān)。

三、概念學(xué)習(xí)的漸進(jìn)過(guò)程

教材中一般的數(shù)學(xué)概念，都是建立在具體現(xiàn)象的分析歸納導(dǎo)出的，一般從幾個(gè)原始的概念或者公理出發(fā)，通過(guò)推理而擴(kuò)展成為一系列的定義或者定理。每一個(gè)新概念都有已有的概念來(lái)表達(dá)。如“一元二次方程”的概念，它就是由前置概念推導(dǎo)而來(lái)的，它緣“一元一次方程”的概念，而“一元一次方程”的概念則基于“整式方程、方程”等作為預(yù)備概念而得出的。這樣的概念很多，如數(shù)的概念、平行四邊形等等。教材是嚴(yán)格按照漸進(jìn)性這個(gè)原則，把這些概念分類、有機(jī)地串聯(lián)在一起，形成知識(shí)的網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)。

針對(duì)概念形成的漸進(jìn)性，教學(xué)中應(yīng)當(dāng)注意，在學(xué)生對(duì)某些預(yù)備概念模糊不清的情況下，不要急于引入新概念，最好先做好相關(guān)預(yù)備概念準(zhǔn)備，尤其是對(duì)特別重要的、關(guān)鍵性的預(yù)備概念，教師要反復(fù)強(qiáng)調(diào)，使學(xué)生較為徹底的理解，為新概念的導(dǎo)入做好鋪墊。

四、概念歸納的邏輯方法

任何概念都是從特殊中歸納出來(lái)的普遍，但數(shù)學(xué)中基礎(chǔ)性的概念又是更高層次概念的特殊，概念學(xué)習(xí)服從概念的發(fā)展規(guī)律，遵循的路徑一般則從特殊到普遍，不斷擴(kuò)展數(shù)學(xué)的運(yùn)用領(lǐng)域。

初中教材出現(xiàn)的負(fù)數(shù)概念，開(kāi)始很多學(xué)生非常不習(xí)慣，他們會(huì)參照生活中數(shù)的概念習(xí)慣，產(chǎn)生疑問(wèn)，比如：0就是沒(méi)有，怎么還有比0小的數(shù)？這時(shí)他們并不明白數(shù)的計(jì)量還有方向性的功能，如經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中的負(fù)債、事物在計(jì)量原點(diǎn)作反方向的運(yùn)動(dòng)等等。初步學(xué)習(xí)完負(fù)數(shù)，這時(shí)可以通過(guò)數(shù)軸對(duì)已經(jīng)學(xué)過(guò)的各種數(shù)的概念進(jìn)行比較，整數(shù)、小數(shù)、有理數(shù)、0、負(fù)數(shù)等等這些，其中任何一種數(shù)的概念，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)都是一種特殊性質(zhì)的數(shù)。

學(xué)習(xí)普遍與特殊的思維邏輯，有助于系統(tǒng)理解數(shù)的概念形

成。例如，如何定義菱形時(shí)，教學(xué)中可以先利用“平行四邊形”這個(gè)已學(xué)概念，因?yàn)榱庑问恰捌叫兴倪呅巍币粋€(gè)形的特殊，它限定菱形所屬的類別，但同時(shí)菱形不是一般性的平行四邊形，“有一組鄰邊相等”這一特征與普通平行四邊形區(qū)別開(kāi)來(lái)。而矩形又是菱形的特殊形式。這樣通過(guò)特殊與普遍的區(qū)分，教會(huì)學(xué)生歸納數(shù)學(xué)知識(shí)的一般方法，加深對(duì)數(shù)的概念內(nèi)涵的理解，這樣學(xué)生就不容易產(chǎn)生概念混淆。

五、數(shù)學(xué)問(wèn)題的概念回歸

從數(shù)的概念出發(fā)，再把數(shù)學(xué)問(wèn)題回歸到概念層面，是運(yùn)用概念、深化掌握概念的重要環(huán)節(jié)。泛泛而談這個(gè)問(wèn)題比較抽象，但可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)具體的思維方法，那就是如何尋找解題的切入口，或者說(shuō)把握住問(wèn)題中涉及的概念指向。

這里舉個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題加以說(shuō)明：在一個(gè)直角三角形中，AB、BC

分別為兩條直角邊，AB=3，BC=4，通過(guò)B點(diǎn)向斜邊AC作一條垂線，垂足為D，求BD的長(zhǎng)度。一些學(xué)生在這個(gè)問(wèn)題中，只想到勾股定理，把勾股定理反復(fù)使用，折騰半天也求不出來(lái)問(wèn)題的答案，他們就沒(méi)有想過(guò)AB、BC、BD都是這個(gè)三角形的高，但在題目中，AB、BC、BD是高這個(gè)指向性非常明顯，一旦意識(shí)到了，自然就會(huì)把思維擴(kuò)大到三角形面積這個(gè)概念上來(lái)，那么通過(guò)面積不變問(wèn)題就輕松得到解答。

可以這么說(shuō)，所有數(shù)學(xué)問(wèn)題對(duì)于概念而言它都是個(gè)別或者特殊的問(wèn)題，概念才是這些問(wèn)題解決的普遍指導(dǎo)。在給出條件時(shí)，條件中就包含著概念的指向性，抓住這個(gè)指向性，實(shí)際上就找到了解決問(wèn)題的切入口，這樣也就把問(wèn)題又引回到概念上來(lái)。

總之，分析概念結(jié)構(gòu)，提高概念語(yǔ)言解讀能力，循序漸進(jìn)歸納概念知識(shí)，目的都是為了解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。數(shù)學(xué)教學(xué)固然離不開(kāi)解題，但絕不是為解題而解題，盲目解題只會(huì)把概念知識(shí)搞得支離破碎。而是通過(guò)解題，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步強(qiáng)化對(duì)概念的把握，準(zhǔn)確靈活地運(yùn)用數(shù)學(xué)概念。

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，沒(méi)有什么捷徑，只能立足概念，需要不斷夯實(shí)概念這個(gè)基礎(chǔ)，從特殊到一般，進(jìn)行系統(tǒng)的概念歸納，讓學(xué)生整體上把握概念；再?gòu)囊话愕教厥猓迅拍罘磸?fù)運(yùn)用到解決問(wèn)題中，強(qiáng)化概念的運(yùn)用能力。只要學(xué)生能夠獨(dú)立地思考、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，他們每個(gè)人的信心就會(huì)起來(lái)，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就會(huì)成為他們的快樂(lè)，學(xué)好數(shù)學(xué)也就是水到渠成的事了。

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