李洪鳳，韓 冰，崔忠寶

(1.天津大學(xué),天津300072;2.天津東方興泰工業(yè)科技股份有限公司,天津301700)

0 引 言

與電勵(lì)磁電機(jī)相比,永磁電機(jī)無(wú)需無(wú)功勵(lì)磁電流,降低了轉(zhuǎn)子損耗,使電機(jī)在較寬負(fù)載范圍內(nèi)保持較高的效率和功率因數(shù)。此外,永磁電機(jī)具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、運(yùn)行可靠等優(yōu)點(diǎn),在許多領(lǐng)域可取代電勵(lì)磁電機(jī)。特別是稀土永磁材料的應(yīng)用,大大提高了永磁電機(jī)的性能,使其在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、家用電器、醫(yī)療設(shè)備、航空航天等各個(gè)領(lǐng)域均顯示出強(qiáng)大的生命力,具有廣闊的應(yīng)用前景[1]。

永磁體大多采用具有較高的矯頑力和剩磁的釹鐵硼材料,其電導(dǎo)率高、耐熱性差,永磁體渦流損耗與銅耗和鐵耗相比,在多數(shù)情況下并不大,但對(duì)于高速電機(jī)、高功率密度電機(jī)以及封閉(或半封閉)結(jié)構(gòu)的電機(jī),永磁體渦流損耗會(huì)使其轉(zhuǎn)子部分產(chǎn)生較大的溫升,而永磁體在溫升的影響下會(huì)發(fā)生不可逆退磁,最終將導(dǎo)致電機(jī)無(wú)法安全可靠地運(yùn)行。隨著永磁電機(jī)的廣泛應(yīng)用,永磁體渦流損耗的研究在電機(jī)設(shè)計(jì)和改進(jìn)中尤為重要[2-4]。針對(duì)這一問(wèn)題,很多學(xué)者進(jìn)行了深入研究,方法不盡相同,主要分為3大類:有限元法,等效磁路法和解析法。本文分別對(duì)這3類方法的起源、發(fā)展演變過(guò)程以及在不同種電機(jī)中的最新應(yīng)用情況進(jìn)行闡述,總結(jié)了各自的優(yōu)缺點(diǎn),最后探討了3大類計(jì)算方法的主要發(fā)展方向。

1 有限元法

現(xiàn)如今,有限元法在電機(jī)永磁體渦流損耗分析中的應(yīng)用已十分廣泛,幾乎可以用來(lái)分析任何結(jié)構(gòu)的電機(jī),并有較高的準(zhǔn)確性。而高準(zhǔn)確性的前提是精確的模型,因此,三維(3-D)有限元法的應(yīng)用很有必要。但有限元法對(duì)于復(fù)雜的模型計(jì)算時(shí)間較長(zhǎng),這在很大程度上限制了該方法在電機(jī)初始設(shè)計(jì)中的應(yīng)用。此外,對(duì)于電機(jī)的優(yōu)化改進(jìn)以及存在較多參變量并且參變量變動(dòng)范圍較大的情況,有限元法不再適用[5]。

針對(duì)3-D有限元法高耗時(shí)問(wèn)題,不少學(xué)者對(duì)傳統(tǒng)的有限元法進(jìn)行了改進(jìn),最主要的目的是盡量縮短模型的計(jì)算時(shí)間,并且達(dá)到較滿意的效果。

1.1 傳統(tǒng)的有限元法

傳統(tǒng)有限元法對(duì)電機(jī)永磁體渦流損耗進(jìn)行分析時(shí),均是在極坐標(biāo)系下建立電機(jī)的二維(2-D)模型,認(rèn)為永磁體的軸向長(zhǎng)度遠(yuǎn)大于永磁體的寬度,這種假設(shè)忽略了永磁體渦流損耗軸向分布的不均勻性,對(duì)問(wèn)題的求解將會(huì)造成一定的誤差。因此,為了更加準(zhǔn)確地對(duì)永磁體渦流損耗進(jìn)行研究,基于3-D模型的分析很有必要[6-10]。其中,文獻(xiàn)[6]應(yīng)用3-D有限元法得出了將永磁體進(jìn)行軸向和(或)周向分隔可以降低永磁體渦流損耗的結(jié)論。K.Yamazaki等人在永磁電機(jī)渦流損耗的分析中,借助于3-D有限元法展開(kāi)了一系列的探究。文獻(xiàn)[7]以分布式繞組電機(jī)為研究對(duì)象,分析了內(nèi)置式永磁電機(jī)永磁體軸向分隔不同塊數(shù)時(shí)的渦流路徑。文獻(xiàn)[8]得出了分布式繞組電機(jī)與集中繞組電機(jī)的永磁體渦流損耗的產(chǎn)生機(jī)制是不同的,后者產(chǎn)生的永磁體渦流損耗較前者要大得多的結(jié)論?；谠摻Y(jié)論,在不嚴(yán)重影響轉(zhuǎn)矩的情況下,作者為了降低永磁體內(nèi)的渦流損耗,對(duì)集中繞組電機(jī)的轉(zhuǎn)子和定子的形狀進(jìn)行了優(yōu)化。結(jié)果表明,該優(yōu)化措施可以將損耗降低至原來(lái)的一半[9]。為了進(jìn)一步減少永磁體內(nèi)的渦流損耗及工程成本,作者在文獻(xiàn)[10]中分別探索了適合內(nèi)置式永磁電機(jī)與表貼式永磁電機(jī)的永磁分割方法。

1.2 2-D FEM與3-D FEM相結(jié)合的方法

如果將電機(jī)的端部效應(yīng)及渦流效應(yīng)考慮在內(nèi),對(duì)電機(jī)進(jìn)行3-D有限元分析就很有必要,此時(shí)需要耗費(fèi)大量的計(jì)算機(jī)時(shí)間步長(zhǎng)來(lái)計(jì)算脈沖寬度調(diào)制(PWM)逆變器的載波信號(hào)的諧波。基于這一問(wèn)題,S.L.Ho等人第一次提出了將2-D有限元法與3-D有限元法相結(jié)合的理論,既發(fā)揮了2-D有限元法計(jì)算時(shí)間短的優(yōu)勢(shì),又能通過(guò)3-D有限元模型真實(shí)而準(zhǔn)確的反映電機(jī)的特性。文獻(xiàn)[11]應(yīng)用該方法快速、準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)了斜槽轉(zhuǎn)子感應(yīng)電機(jī)的雜散損耗。文獻(xiàn)[12]分析了感應(yīng)電機(jī)的損耗與效率。

該方法近年來(lái)被越來(lái)越多地應(yīng)用到了永磁電機(jī)永磁體渦流損耗的計(jì)算中。文獻(xiàn)[13]明確了應(yīng)用該方法計(jì)算永磁體渦流損耗的步驟,如圖1所示。

圖1 渦流損耗計(jì)算方法概述

首先,應(yīng)用2-D時(shí)步有限元法,求解得到了轉(zhuǎn)子坐標(biāo)系下的轉(zhuǎn)子表面磁通密度分布;隨后將諧波磁化矢量應(yīng)用到了3-D建模下的轉(zhuǎn)子的表面,最終求解得到了轉(zhuǎn)子渦流損耗的表達(dá)式。需要注意的是,電機(jī)的3-D模型只對(duì)轉(zhuǎn)子進(jìn)行了剖分,大大降低了計(jì)算3-D模型所需的時(shí)間。結(jié)果顯示,2-D有限元法與3-D有限元法相結(jié)合的策略所需要的計(jì)算時(shí)間是傳統(tǒng)的僅用3-D有限元法所需時(shí)間的1/400。但這種方法忽略了轉(zhuǎn)子鐵心的磁飽和,只適用于表貼式永磁電機(jī)。針對(duì)這一問(wèn)題,文獻(xiàn)[14]進(jìn)行了改進(jìn),既考慮了諧波,又考慮了轉(zhuǎn)子鐵心的磁飽和問(wèn)題,對(duì)內(nèi)置式永磁電機(jī)進(jìn)行了分析。結(jié)果顯示,在保證精確度的情況下,所花費(fèi)的時(shí)間降低為傳統(tǒng)3-D有限元方法所需時(shí)間的1/100。在此基礎(chǔ)上,為進(jìn)一步縮短計(jì)算時(shí)間,T.Okitsu等人提出了在3-D分析階段僅對(duì)永磁體進(jìn)行剖分的方法[15]。

1.3 基于等效電路的有限元法

為了解決3-D有限元法分析電機(jī)耗時(shí)大的問(wèn)題,文獻(xiàn)[16]將渦流、鐵心飽和與轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)等問(wèn)題考慮在內(nèi),提出了將轉(zhuǎn)子鼠籠等效電路融入有限元方程組計(jì)算斜槽轉(zhuǎn)子感應(yīng)電機(jī)相關(guān)損耗的方法。結(jié)果表明,該方法可以節(jié)省大量的時(shí)間。

文獻(xiàn)[17]將上述方法應(yīng)用到了永磁電機(jī),即用相應(yīng)的等效電路來(lái)代替電機(jī)的永磁體。作者將永磁體沿軸向分為N條“導(dǎo)體棒”,之間由等效電阻(白色標(biāo)示)聯(lián)接,如圖2所示。并將永磁體沿周向分為M層,層與層之間由有限元模型(由黑色標(biāo)示)聯(lián)接。針對(duì)這一等效電路網(wǎng)絡(luò),可以聯(lián)立一系列方程組,通過(guò)求解這一系列方程組,便可得到各等效電阻的電阻值和電流值,以及各有限元的電壓值和電流值,進(jìn)而求得整個(gè)永磁體的渦流損耗。

圖2 基于網(wǎng)格法的永磁體等效電路模型

基于等效電路的有限元法相比于3-D有限元法,既可以節(jié)省大量的時(shí)間,又可以將斜槽電機(jī)的3-D分析轉(zhuǎn)化為2-D分析。但這種方法僅適用于求解域內(nèi)為單塊磁極的情況,當(dāng)磁極被分隔成相互絕緣(或有間隙)的若干部分時(shí),該方法不再適用。針對(duì)這一問(wèn)題,文獻(xiàn)[18]在原有基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn),使其能夠適用于具有不同磁極型式的電機(jī)。

文獻(xiàn)[19]將永磁體的等效電路模型應(yīng)用到了結(jié)構(gòu)更加復(fù)雜的雙定子杯轉(zhuǎn)子永磁無(wú)刷直流電機(jī),來(lái)計(jì)算永磁體內(nèi)的渦流損耗,并且分析了定子繞組分別為雙層繞組型式與單層繞組型式時(shí)永磁體內(nèi)的渦流損耗。但圖2的基于網(wǎng)格法的等效電路模型需要在支路方程中引入額外的電流未知量,增加了模型的復(fù)雜程度,不利于網(wǎng)格中各支路間關(guān)聯(lián)矩陣的建立和聯(lián)立方程組的求解。因此,文獻(xiàn)[20]提出了基于節(jié)點(diǎn)法的等效電路模型,如圖3所示,各支路回路間沒(méi)有額外引入未知電流量,降低了模型的復(fù)雜程度,從而可以節(jié)省計(jì)算時(shí)間。

圖3 基于節(jié)點(diǎn)法的永磁體等效電路模型

2 等效磁路法

等效磁路(MEC)法相比有限元法計(jì)算時(shí)間更少,相比解析法其計(jì)算精度較高,可以有效平衡計(jì)算時(shí)間和計(jì)算精度,是介于有限元法和解析法之間的一種有效的分析方法,適合對(duì)電機(jī)進(jìn)行初始化設(shè)計(jì)和改進(jìn)。A.R.Tariq等人首次運(yùn)用等效磁路法計(jì)算了內(nèi)置式永磁同步電機(jī)永磁體內(nèi)的渦流損耗[21]。電機(jī)轉(zhuǎn)子的等效磁網(wǎng)絡(luò)模型如圖4所示,轉(zhuǎn)子被分為四部分:永磁體部分(Gm1～Gm5);永磁體之間與永磁體和鐵心之間的磁通路徑部分(Gbr1,G13,G14);外層永磁體與氣隙之間的鐵心部分(G1,G2);內(nèi)外層永磁體與轉(zhuǎn)軸之間的鐵心部分(G3～G12,G15～G23)。其中,每塊永磁體被一個(gè)通量源和與之平行的非飽和等效磁阻所代替,其他部分由飽和的等效磁阻所代替。通過(guò)求解該等效磁網(wǎng)絡(luò),可以得到轉(zhuǎn)子各處的磁通密度,進(jìn)而求得永磁體(和鐵心)的渦流損耗。

圖4 電機(jī)局部等效磁網(wǎng)絡(luò)模型

文獻(xiàn)[22]對(duì)等效磁路法進(jìn)行了改進(jìn)和完善,以軸向磁通永磁電機(jī)為研究對(duì)象,分別建立了動(dòng)態(tài)等效磁路(dMEC)模型與靜態(tài)等效磁路(sMEC)模型,并對(duì)比分析了兩種模型下的永磁體損耗情況;文獻(xiàn)[23]認(rèn)為,建立等效磁路模型的難點(diǎn)在于解決定子磁阻與轉(zhuǎn)子磁阻的對(duì)應(yīng)問(wèn)題,為了避開(kāi)這一難點(diǎn),該文獻(xiàn)將麥克斯韋方程組融入到了等效磁路中,該方法的結(jié)果與有限元法的結(jié)果非常接近,而計(jì)算時(shí)間比有限元法縮短了將近200倍。

3 解析法

解析法相比有限元法可以提高計(jì)算速度,并且能夠在滿足一定精確度的要求下對(duì)經(jīng)過(guò)特殊化簡(jiǎn)情形下建立起來(lái)的麥克斯韋方程組進(jìn)行求解計(jì)算,尤其是在電機(jī)的初始設(shè)計(jì)及電機(jī)結(jié)構(gòu)的優(yōu)化中,節(jié)約計(jì)算時(shí)間的優(yōu)勢(shì)更為凸顯。另外,該方法能夠通過(guò)解析式直觀地反映各參數(shù)對(duì)電機(jī)性能的影響。但解析法難以對(duì)結(jié)構(gòu)復(fù)雜的對(duì)象準(zhǔn)確地建立解析模型,且計(jì)算過(guò)程中作了較多假設(shè),忽略了很多因素,使得計(jì)算精度不是很高。隨著時(shí)間的推移,很多學(xué)者對(duì)解析法做了不同程度的改進(jìn),使其準(zhǔn)確度得到了有效的提高。

3.1 解析法在電機(jī)2-D分析中的應(yīng)用

解析法多用于把電機(jī)簡(jiǎn)化為2-D模型,建立極坐標(biāo)系來(lái)完成相應(yīng)的分析計(jì)算。文獻(xiàn)[24]應(yīng)用解析法對(duì)電機(jī)的渦流損耗進(jìn)行了分析求解,但該文獻(xiàn)未考慮定子相電流波形的非正弦所產(chǎn)生的時(shí)間諧波的影響,無(wú)法解決磁極間區(qū)域材料不連續(xù)的問(wèn)題。在此基礎(chǔ)上,文獻(xiàn)[25]解決了時(shí)間諧波的影響和磁極間區(qū)域材料不連續(xù)的問(wèn)題。盡管這些文獻(xiàn)都能考慮到集膚效應(yīng)的影響,但在表述周向分隔永磁體減少渦流損耗的問(wèn)題上仍存在不足,而這種影響是與軸向分隔永磁體不同的[26-28]。

如圖5所示,一些研究者將定子線圈等效為位于線圈間隙的厚度無(wú)窮小的電流片[29],并定義電流密度為Z方向,此時(shí)矢量磁位被簡(jiǎn)化為一個(gè)方向的分量Az,使得線圈磁場(chǎng)分布求解問(wèn)題簡(jiǎn)化為求解Az的二維拉普拉斯方程,最終結(jié)合電機(jī)邊界條件得到了定子線圈磁場(chǎng)分布解析表達(dá)式。以此為基礎(chǔ),Z.Q.Zhu等人對(duì)永磁體渦流損耗進(jìn)行了一系列更為深入的研究[30-33]。其中,文獻(xiàn)[30]分析了內(nèi)置式永磁電機(jī)的轉(zhuǎn)子渦流損耗,文獻(xiàn)[31]分析了轉(zhuǎn)子渦流損耗對(duì)永磁電機(jī)溫升的影響,文獻(xiàn)[32-33]詳細(xì)計(jì)算了定子開(kāi)槽(槽效應(yīng))對(duì)磁損耗的影響。

圖5 等效電流片分布

事實(shí)上,產(chǎn)生永磁體渦流損耗的原因主要有3方面:一是定子的開(kāi)槽引起的磁動(dòng)勢(shì)的空間諧波;二是定子電流的非正弦引起的時(shí)間諧波;三是定子繞組的分布引起的空間諧波。因此,一些學(xué)者首先計(jì)算出不同類型諧波產(chǎn)生的渦流損耗,進(jìn)而運(yùn)用疊加原理,求得了永磁體內(nèi)總的渦流損耗[34-38]。

但上述文獻(xiàn)中的解析法是對(duì)建立在極坐標(biāo)系下的2-D模型進(jìn)行的分析,對(duì)于結(jié)構(gòu)復(fù)雜的不宜簡(jiǎn)化為2-D模型的電機(jī)并不適用。

3.2 解析法在電機(jī)3-D分析中的應(yīng)用

單臺(tái)永磁球形電機(jī)[39]可以完成多臺(tái)單自由度電機(jī)相互配合才能完成的動(dòng)作,可以實(shí)現(xiàn)多自由度運(yùn)動(dòng),受到越來(lái)越多的關(guān)注。其中,天津大學(xué)對(duì)永磁球形電機(jī)進(jìn)行了較深入的研究,樣機(jī)如圖6所示。

圖6 永磁球形電動(dòng)機(jī)

針對(duì)永磁球形電機(jī)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),文獻(xiàn)[40]提出了一種計(jì)算永磁體渦流損耗的三維解析模型。該模型將雙重傅里葉級(jí)數(shù)法與矢量磁位法相結(jié)合,充分考慮到了時(shí)間諧波與空間諧波對(duì)渦流損耗的影響,推導(dǎo)得到了永磁體渦流損耗的解析表達(dá)式。最后與有限元法所得結(jié)果進(jìn)行了比較,證明了該解析模型的有效性。

在此基礎(chǔ)上,文獻(xiàn)[41]建立了如圖7所示的永磁球形電機(jī)等效熱網(wǎng)絡(luò)模型,對(duì)電機(jī)的溫升進(jìn)行了預(yù)測(cè)分析,通過(guò)與有限元法所得結(jié)果比較,表明該等效模型誤差較小,也證明了該文獻(xiàn)中用于計(jì)算3-D永磁體渦流損耗的解析表達(dá)式的準(zhǔn)確性。文獻(xiàn)[40]解決了解析法不利于分析3-D電機(jī)模型的問(wèn)題,對(duì)解析法的擴(kuò)展和改進(jìn)有著重要意義。

圖7 等效熱網(wǎng)絡(luò)模型

4 結(jié) 語(yǔ)

本文對(duì)永磁電機(jī)永磁體渦流損耗的三種計(jì)算方法進(jìn)行了闡述。通過(guò)對(duì)現(xiàn)有文獻(xiàn)中的研究成果進(jìn)行分析總結(jié),得出以下結(jié)論:

1)有限元法準(zhǔn)確度高,有較強(qiáng)的靈活性,幾乎可以對(duì)任何結(jié)構(gòu)的電機(jī)進(jìn)行分析,尤其是對(duì)結(jié)構(gòu)復(fù)雜的電機(jī),更能夠體現(xiàn)出它的優(yōu)勢(shì),適用于電機(jī)結(jié)構(gòu)的優(yōu)化。但傳統(tǒng)的3-D有限元法耗時(shí)大,需要采用其他方法與3-D有限元法相結(jié)合來(lái)減少計(jì)算時(shí)間。將3-D有限元法與其他方法相結(jié)合來(lái)計(jì)算渦流損耗的方式必然會(huì)在今后電機(jī)的優(yōu)化設(shè)計(jì)中得到越來(lái)越廣泛的應(yīng)用。

2)等效磁路法能夠兼顧有限元法的準(zhǔn)確性與解析法的快速性,不僅可以應(yīng)用于初始階段的電機(jī)設(shè)計(jì),還可以應(yīng)用于電機(jī)的優(yōu)化,近年來(lái)發(fā)展較快,已擴(kuò)展至3-D模型的分析,具有較高的準(zhǔn)確度。但該方法的難點(diǎn)在于局部等效磁阻的確定,對(duì)于結(jié)構(gòu)復(fù)雜的模型,等效磁網(wǎng)絡(luò)的建立存在一定的困難。等效磁路法有著很強(qiáng)的生命力和較大的改進(jìn)空間,在將來(lái)的電機(jī)分析方法中,等效磁路法的作用會(huì)越來(lái)越重要。

3)解析法是一種常用的重要方法,尤其是在電機(jī)的初級(jí)設(shè)計(jì)階段,其計(jì)算時(shí)間很短,并且能夠通過(guò)解析式直觀地反映各參數(shù)對(duì)電機(jī)性能的影響。但對(duì)于結(jié)構(gòu)復(fù)雜的電機(jī)很難建立準(zhǔn)確的模型,靈活性較差,準(zhǔn)確度也會(huì)受到簡(jiǎn)化條件的影響。需要不斷地在現(xiàn)有解析方法的基礎(chǔ)上加以補(bǔ)充和改進(jìn),事實(shí)上也在朝這個(gè)方向發(fā)展,并且取得了許多成果。作為在電機(jī)初始設(shè)計(jì)階段有著極其重要地位的計(jì)算方法,解析法的準(zhǔn)確性會(huì)越來(lái)越高,也定會(huì)應(yīng)用到更多結(jié)構(gòu)復(fù)雜的電機(jī)渦流損耗分析中。

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