李惠　朱炬錕　張世豪

摘要：本文提出“分層共用”和“均分流量”的理念，設(shè)計(jì)出收費(fèi)廣場(chǎng)新方案的雛形。然后，通過(guò)流體力學(xué)模擬理論和排隊(duì)論建立車輛通過(guò)收費(fèi)廣場(chǎng)的延誤時(shí)間的函數(shù)模型，得出在3條道路基礎(chǔ)上，收費(fèi)站個(gè)數(shù)為7個(gè)為最優(yōu)方案。至此，進(jìn)一步明確新收費(fèi)廣場(chǎng)的形狀、尺寸和并和模式。隨后，我們基于數(shù)學(xué)建模思想建立評(píng)估模型論證新方案的優(yōu)越性，同時(shí)對(duì)方案做進(jìn)一步修訂。具體如下：第一，量化車輛跨越距離，從而建立事故預(yù)防的安全等級(jí)評(píng)估機(jī)制。第二，建立吞吐量和車流量的函數(shù)式評(píng)估吞吐量。第三，建立基于不同流量下的吞吐量和安全評(píng)價(jià)等級(jí)新評(píng)估標(biāo)準(zhǔn)；第四，考慮土地和建設(shè)成本建立成本函數(shù)式。最后，我們得出，我們的方案在安全、性能、成本上均優(yōu)于原方案。

關(guān)鍵字：流體力學(xué)模擬理論；排隊(duì)論；評(píng)估模型；收費(fèi)廣場(chǎng)設(shè)計(jì)

一、概述

交通運(yùn)輸是人類進(jìn)步的重要物質(zhì)基礎(chǔ)。隨著科技的進(jìn)步，對(duì)交通設(shè)備的要求也越來(lái)越高。收費(fèi)站作為交通運(yùn)輸?shù)囊徊糠?，如何改善其已有模式，如何提高它的便捷性和效率性是?dāng)下面臨的重要問(wèn)題。

一方面，我們需要研究收費(fèi)站的通行能力及其影響因素，這對(duì)能否充分發(fā)揮高速公路的功能具有重要意義。另一方面，減少機(jī)動(dòng)車延誤時(shí)間來(lái)提高現(xiàn)有道路的使用效率，從而緩解道路的擁堵情況。收費(fèi)站不僅影響車流運(yùn)行是否暢順，更是影響服務(wù)品質(zhì)的重要因素。因此，我們需要結(jié)合其通行能力、事故預(yù)防、成本等多種因素，提出新的收費(fèi)廣場(chǎng)的設(shè)計(jì)方案。同時(shí)，考慮新方案的科學(xué)性、性能也必不可少。

二、方案雛形

通常情況下，收費(fèi)廣場(chǎng)是將收費(fèi)站放在同一垂直線上，而我們新方案的解決思路是將直線分成兩層，并在同一水平線上實(shí)現(xiàn)共用。我們將此思路定義為“分層共用”。這樣，在考慮空間的利用率和整體的流暢性的同時(shí)，也增大了同一垂直方向的利用率，進(jìn)而在一定程度上減緩交通流。

為減緩道路壓力同時(shí)盡可能增大安全系數(shù)，同時(shí)對(duì)并和模式做優(yōu)化，我們提出“均分流量”思路，即對(duì)車輛扇入到單邊道路的路面形狀和并和模式做對(duì)稱處理，使得車輛從兩邊扇入到高速路時(shí)更均勻。

我們將上述兩個(gè)理念設(shè)計(jì)整合，得到新方案的雛形，總設(shè)計(jì)草圖見圖1。

圖1 方案雛形圖

三、優(yōu)化方案

為進(jìn)一步明確尺寸問(wèn)題，我們結(jié)合現(xiàn)有水平的收費(fèi)廣場(chǎng)做進(jìn)一步的理論分析，從而在優(yōu)化方案的同時(shí)，為評(píng)估模型的建立提供切入口。

（一）延誤時(shí)間函數(shù)模型。

我們將收費(fèi)廣場(chǎng)分為三個(gè)部分，分別為扇入?yún)^(qū)（fan-in area）、扇出區(qū)（fan-out area）和收費(fèi)障礙區(qū)（toll barrier）（見圖2）。為了量化分析雛形，同時(shí)明確具體參數(shù)，我們使用流體力學(xué)模擬理論和排隊(duì)論建立車輛通過(guò)收費(fèi)廣場(chǎng)的延誤時(shí)間函數(shù)模型。以車輛通過(guò)收費(fèi)廣場(chǎng)的總延誤時(shí)間為目標(biāo)函數(shù)，建立總延誤時(shí)間和收費(fèi)站個(gè)數(shù)間的函數(shù)關(guān)系式。延誤時(shí)間越少，對(duì)應(yīng)的收費(fèi)站數(shù)最佳。其中，用流水力學(xué)模擬模型分析扇入?yún)^(qū)和扇出區(qū)，用排隊(duì)論分析收費(fèi)障礙區(qū)。

1.流體力學(xué)模擬理論。

由于交通流具有波動(dòng)、流動(dòng)、擴(kuò)散等流體屬性。并且，在進(jìn)入扇入?yún)^(qū)和扇出區(qū)時(shí)，交通流密度較大，基于此，我們對(duì)這兩個(gè)區(qū)域使用流體力學(xué)理論將交通流視為連續(xù)流進(jìn)行研究。

其中，表示進(jìn)入扇出區(qū)消耗的平均時(shí)間。表示進(jìn)入扇入?yún)^(qū)消耗的平均時(shí)間。表示扇出區(qū)的水平長(zhǎng)度。表示高速公路單向的垂直長(zhǎng)度。表示收費(fèi)障礙區(qū)的垂直長(zhǎng)度。表示車輛從扇出到扇出區(qū)時(shí)刻的速度。表示車輛從扇入?yún)^(qū)扇入到公路時(shí)刻的速度。表示扇出、扇入?yún)^(qū)與水平線的夾角。根據(jù)相關(guān)研究，該角度需要滿足

2.排隊(duì)論。

當(dāng)車輛進(jìn)入收費(fèi)障礙區(qū)時(shí)，就處于一種排隊(duì)等候服務(wù)的排隊(duì)論模型。所以對(duì)這段區(qū)域的分析，我們采用排隊(duì)論中的標(biāo)準(zhǔn)M/M/B模型分析。由排隊(duì)論相關(guān)理論知識(shí)，有

（二）結(jié)果。

通過(guò)MATLAB對(duì)（式3-6）進(jìn)行帶值計(jì)算，得出對(duì)應(yīng)收費(fèi)站個(gè)數(shù)下的逗留時(shí)間（見表1），其中，道路數(shù)我們采取的是常規(guī)的3道。

從表1中，我們得到等待時(shí)間的負(fù)數(shù)值，負(fù)數(shù)值結(jié)果顯示結(jié)果是不穩(wěn)定的，所以我們不考慮負(fù)數(shù)值的情況。同時(shí)，我們應(yīng)選用最小的總時(shí)間對(duì)應(yīng)下的收費(fèi)站個(gè)數(shù)?；谶@兩點(diǎn)，我們可以得出最佳的收費(fèi)站個(gè)數(shù)為7個(gè)。

四、評(píng)價(jià)模型

（一）建立評(píng)估標(biāo)準(zhǔn)。

1.事故預(yù)防評(píng)價(jià)模型。

一方面，通常車輛從扇入?yún)^(qū)扇入的公路過(guò)程中，必須按照規(guī)定的導(dǎo)向線行駛。若跨越車道數(shù)越多，則事故發(fā)生率越高，相應(yīng)地，其安全系數(shù)就越低。另一方面，并和模式的設(shè)計(jì)影響著事故預(yù)防的能力，不同的并和模式對(duì)應(yīng)不同的安全系數(shù)。因此，有必要建立基于不同并和模式下的安全系數(shù)評(píng)估方法。

我們知道車輛在垂直方向上移動(dòng)的距離越多，越不安全，隨著跨越的距離越大，安全隱患呈現(xiàn)逐步增大的趨勢(shì)。所以，我們把車輛垂直方向上移動(dòng)的距離的遠(yuǎn)近作為初步量化安全系數(shù)的因素。同時(shí)，我們考慮其安全系數(shù)隨距離遠(yuǎn)近的變化的趨勢(shì)，理論上，跨越道數(shù)增多，危險(xiǎn)系數(shù)相應(yīng)增大。所以，我們對(duì)量化后的初步安全系數(shù)進(jìn)行隨跨越道路數(shù)變化的標(biāo)準(zhǔn)化處理。最后，為了合理表征隨距離增大的變化趨勢(shì)，我們使用冪函數(shù)來(lái)量化。

我們?cè)O(shè)表示車輛跨越米的危險(xiǎn)度。設(shè)道路寬度為，收費(fèi)車道和收費(fèi)島總的寬度設(shè)為。我們假設(shè)的中點(diǎn)所處的水平直線為換道標(biāo)準(zhǔn)基線，同時(shí)，當(dāng)車輛行駛到車道上，也以中點(diǎn)所處的水平直線為換道標(biāo)準(zhǔn)基線。其中，跨越的距離結(jié)合和以實(shí)際計(jì)算為標(biāo)準(zhǔn)。

2.衡量吞吐量標(biāo)準(zhǔn)。

每小時(shí)從高速公路扇出到扇出區(qū)的車輛和車輛每小時(shí)扇入到高速路的吞吐量的定義是一致的。為了定量評(píng)估吞吐量，當(dāng)車輛流入到收費(fèi)障礙區(qū)，需要額外消耗因收費(fèi)障礙引起的等待和服務(wù)時(shí)間。

至此，我們只需分析每小時(shí)扇出車輛，即可計(jì)算出吞吐量。

3.優(yōu)化評(píng)估模型。

由于我們的解決方案在尺寸、形狀、成本上基本固定，且在正常車流量下，其安全性能及吞吐量都可以通過(guò)相應(yīng)的評(píng)估機(jī)制評(píng)定。然而，當(dāng)涉及輕重流量的性能分析時(shí)，我們僅僅結(jié)合吞吐量模型方程式分析流量已經(jīng)不能滿足要求，同時(shí)，我們需要進(jìn)一步考慮事故預(yù)防。在這里，通過(guò)單個(gè)車輛的跨越距離來(lái)評(píng)估道路的安全性能已經(jīng)不能滿足基于輕重流量的分析。所以，我們需要基于車流量的大小，重新定義新的標(biāo)準(zhǔn)。

（二）對(duì)比評(píng)估。

事故預(yù)防和并入方式對(duì)比：

首先，我們將考慮事故預(yù)防和并入方式對(duì)原方案和我們的解決方案進(jìn)行對(duì)比分析。

因?yàn)槊糠N設(shè)計(jì)方案都存在很多有限解的情況，為了平衡流量和處于實(shí)際考慮，我們?cè)诮Y(jié)果檢驗(yàn)中選取的并入方式為各條道路上盡可能平均分配的方案來(lái)對(duì)比。結(jié)果見表4。

尺寸和成本對(duì)比：

我們分析原方案和我們的解決方案的尺寸，進(jìn)而對(duì)比兩種方案在成本上的性能。在此，為簡(jiǎn)化分析過(guò)程，我們采用作圖分析（見圖3）。

結(jié)果分析：圖中藍(lán)色區(qū)域?yàn)樵桨?，紅色區(qū)域?qū)?yīng)我們的解決方案并和方式。紅色區(qū)域的面積明顯小于藍(lán)色區(qū)域。所以，通過(guò)費(fèi)用評(píng)估函數(shù)分析可知：我們的方案的成本低于原方案。

綜上，新方案在形狀和并和模式上有所創(chuàng)新，在減少尺寸的基礎(chǔ)上，節(jié)約了成本；在并和模式創(chuàng)新基礎(chǔ)上，提高了安全性能。

五、綜述

本文結(jié)合相關(guān)理念設(shè)計(jì)出新的收費(fèi)廣場(chǎng)方案，并通過(guò)數(shù)學(xué)模型對(duì)現(xiàn)有收費(fèi)廣場(chǎng)進(jìn)行了分析，從而得出新方案的一些具體可靠的參數(shù)。在此基礎(chǔ)上，引入評(píng)價(jià)模型對(duì)方案進(jìn)行優(yōu)越性分析，進(jìn)一步完善了方案的設(shè)計(jì)，給方案的優(yōu)越性提供了科學(xué)的依據(jù)。

為使新方案設(shè)計(jì)的更完整，同時(shí)使得方案中空閑區(qū)域合理利用，我們考慮引入綠化區(qū)、潮汐車道和應(yīng)急車道。具體如下：

1.一方面，我們?cè)陔p向道路中間增加一個(gè)車道的綠化帶，可以凈化空氣。另一方面，我們把兩個(gè)收費(fèi)廣場(chǎng)之間的綠化帶清除，作為潮汐車道用。當(dāng)一邊交通堵塞，就可以開啟潮汐通道，以解決交通壓力。

2.考慮到緊急情況的處理，可以在設(shè)計(jì)的收費(fèi)廣場(chǎng)外，增加一條應(yīng)急車道。

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