江蘇省東臺市三倉鎮(zhèn)中學(xué)(224200)

郭 敏●

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負(fù)數(shù)也有意義 小題何必大做

江蘇省東臺市三倉鎮(zhèn)中學(xué)(224200)

郭 敏●

本文針對一道例題，結(jié)合文獻(xiàn)[2] 《合理設(shè)元 多法解題》對文獻(xiàn)[1]的一個案例進(jìn)行了剖析，并給出此例的另外4種解法和解題后的反思與啟迪，學(xué)習(xí)后受益匪淺,但對文中負(fù)數(shù)解的處理有不同的看法．

負(fù)數(shù)；錯解；正解

先給出文獻(xiàn)[1]作者作為“畫圖不正確、借助錯圖進(jìn)行錯解”的案例：

題目 半徑為9的圓O中有一內(nèi)接等腰三角形ABC，底邊上的高AD與一腰的和是20，求AD的長．

文獻(xiàn)[1]解析如下：

錯解 如圖1，AB=AC，高為AD，延長AD交圓O于點E，聯(lián)結(jié)BE，則AE=2AO=18．

設(shè)OD=x，則AD=AO+OD=9+x，DE=9-x，所以AB=20-AD=11-x．所以BD2=AB2-AD2=(11-x)2-(9+x)2=40(1-x)．又因為AE是圓O的直徑，BD⊥AE，所以△BDE∽△ADE，

所以BD2=DE·DA=(9-x)(9+x)，即40(1-x)=(9-x)(9+x)，解得x1=41,x2=-1(舍去)，所以AD=50.

錯因診斷：由于AD=50>直徑，所以答案是錯誤的．出錯的原因是沒有對圓心位置進(jìn)行分類討論．(當(dāng)圓心在△ABC外，如圖2)因此借助“錯”圖進(jìn)行解答，錯誤不容易發(fā)現(xiàn)．

正解 如圖1，推理見錯解，方程的解不合題意，舍去．

如圖2，延長AD交圓O于點E，聯(lián)結(jié)BE，則AE=2AO=18．

設(shè)OD=x，則AD=AO-OD=9-x，DE=9+x，所以AB=20-AD=11+x．

所以BD2=AB2-AD2=(11+x)2-(9-x)2=40(1+x)．

又因為AE是圓O的直徑，BD⊥AE，所以△BDE∽△ADE，

所以BD2=DE·DA=(9-x)(9+x)，

即40(1+x)=(9-x)(9+x)，解得x1=-41(舍去),x2=1，所以AD=8．

談?wù)勎业挠^點：第一，此題是一道常規(guī)的靜態(tài)題，目的是“求AD的長”，為了達(dá)到“求AD的長”的目的，我們畫出了圖1，因此畫出的圖是草圖，無所謂是圖1，還是圖2，僅僅是為了解題的直觀畫出草圖，有草圖幫助學(xué)生分析理解，因此不能說圖1就是錯圖，我們只不過是想借助于草圖獲得AD的長.

第二，直接設(shè)AD=x簡單方便，但設(shè)OD=x也沒有錯，在考試或作業(yè)時不可避免會有學(xué)生設(shè)OD=x，這與學(xué)生的思維習(xí)慣、知識最近發(fā)展區(qū)有關(guān)，我們老師需要做的工作是幫助學(xué)生完善解答，而不是質(zhì)疑學(xué)生“為什么要拘泥于設(shè)OD=x”，選擇設(shè)哪條線段有技巧．就如同你要從西安到北京，可以選擇坐汽車、也可以坐火車或者乘飛機，同樣都能達(dá)到目的地，但選擇乘飛機的不能說選擇坐汽車的就不好，各有各的想法.

第三，文獻(xiàn)[1]的作者對所謂的“錯解”中解得的“x2=-1”舍去，我想如果不舍去是不是也可以？當(dāng)x2=-1時，AD=AO+OD=9+(-1)=8小于半徑，這說明圓O的圓心在△ABC外，點D在半徑AO之上，而這也能更好的幫助同學(xué)理解負(fù)數(shù)的意義，負(fù)數(shù)也是真實存在的，負(fù)數(shù)在實際問題中也是有意義的，而且本題也不必分類討論，既然是代數(shù)解法，問題的解也就完全由方程來決定．

第四，給負(fù)數(shù)解一個合理的解釋和地位，其實也滲透了高中向量的思想，其實文獻(xiàn)[1] 所謂的“錯解”中的設(shè)OD=x，實際上是一個向量，x2=-1說明在OD的反方向上，即點D在半徑AO之上，從而AD=AO+OD=9+(-1)=8．

[1]王友峰．圓中的易錯題剖析[J]．初中生：考試版，2016(1)：30．

[2]楊昌義．合理設(shè)元 多法解題[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考：中旬，2016(9)：33-36

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