江蘇省揚(yáng)州市江都區(qū)仙女鎮(zhèn)雙溝中學(xué)(225267)

潘慶衛(wèi)●

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重視逆向思維 培養(yǎng)創(chuàng)新能力

江蘇省揚(yáng)州市江都區(qū)仙女鎮(zhèn)雙溝中學(xué)(225267)

潘慶衛(wèi)●

有些數(shù)學(xué)問題若按照常規(guī)的思維模式求解可能比較困難而運(yùn)用逆向思維模式反其道而行之可能順利獲解.這種不同尋常的思維方式突破了習(xí)慣思維的框架，克服了思維定勢(shì)的束縛，不僅可以豐富學(xué)生的想象力，而且能拓寬學(xué)生的解題思路，逆向思維是重要的一種思維方式，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造思維.

逆用定義；逆用公式；反例；逆用思路

逆向思維方式突破了習(xí)慣思維的框架，克服了思維定勢(shì)的束縛，不僅可以豐富學(xué)生的想象力，而且能拓寬學(xué)生的解題思路，往往會(huì)出奇制勝，逆向思維作為一種創(chuàng)新思維方式，越來(lái)越受到廣大師生的重視.本文擬談一談逆向思維在解題中的作用，以提高能力.

一、逆用定義

一般來(lái)說(shuō)，學(xué)生常習(xí)慣根據(jù)事物特征運(yùn)用定義判定它是什么；而逆向思維則根據(jù)定義推出事物具有哪些特征.數(shù)學(xué)中的定義一般都是可逆的，用定義思考問題，往往能挖掘題中的隱含條件，使問題迎刃而解.

例1 反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=(m-1)·xm2-2，則m=____.

分析 根據(jù)反比例函數(shù)的定義，自變量x的指數(shù)應(yīng)為-1，并且m-1≠0.

二、逆用公式

逆用公式可培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性、變通性，可有效地突破思維定勢(shì)，順利地解決問題.

三、反例：就是尋找特殊情況作為范例，從而達(dá)到推翻結(jié)論的目的

構(gòu)造反例的途徑多種多樣，例如可以通過特殊的、極端的情況尋求反例；可以通過數(shù)量分析尋求反例；可以運(yùn)用分類尋求反例；可以通過運(yùn)動(dòng)、對(duì)稱和分析特征尋求反例等.

例3 判斷命題“覆蓋任意三角形ABC的最小圓是它的外接圓”是否正確？

分析 如圖1，先作一個(gè)圓O，并在圖中畫一個(gè)內(nèi)接三角形ABC，如果命題成立，那么在△ABC內(nèi)任取一點(diǎn)A′時(shí)，△A′BC的外接圓應(yīng)該比原來(lái)的圓小.然而，當(dāng)A′取得離BC越來(lái)越近時(shí)，△A′BC的外接圓O′顯然越來(lái)越大了.顯然⊙O比⊙O′小，而⊙O′是△A′BC的外接圓.它們均覆蓋△A′BC.

證明 可以證明對(duì)直角三角形，及銳角三角形結(jié)論成立.另外，可以證明：覆蓋鈍角三角形的最小圓是以其最大邊為直徑的圓(此圓比它的外接圓小).

四、逆用思路

解數(shù)學(xué)題，常規(guī)的思考方法是從已知出發(fā)，由已知得結(jié)論，有時(shí)這樣做很麻煩，甚至很困難.若逆用解題思路，解起題來(lái)非常地簡(jiǎn)單快捷，是解決存在性問題的常用方法.

例4 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，半徑為1的⊙O分別交x軸、y軸于A、B、C、D四點(diǎn)，拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)C且與直徑AC只有一個(gè)公共點(diǎn).

(1)求直線AC的解析式.

(2)求拋物線y=x2+bx+c的解析式.

(3)點(diǎn)P為(2)中拋物線上的點(diǎn)，由點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)Q，問：此拋物線上是否存在這樣的點(diǎn)P，使△PQB～△ADB?若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

簡(jiǎn)解 (1)可用特定系數(shù)法求出直徑AC的解析式為y=-x-1.(2)因?yàn)閽佄锞€y=x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)C(0，-1)

∴-1=02+b×0+c∴c=-1.

∵直徑AC與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)C∴方程x2+(b+1)x=0有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根.

即Δ=(b+1)2-4×1×0=0 ∴b1=b2=-1.

∴拋物線的解析式為y=x2-x-1.

(3)假設(shè)存在符合條件的點(diǎn)P.

設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(a,a2-a-1),則Q(a,0).

∴QB=|a-1|,PQ=|a2-a-1|,

∵△ADB為等腰直角三角形，△PQB～△ADB,則△PQB為等腰直角三角形，又PQ⊥QB∴PQ=QB,即|a2-a-1|=|a-1|.

于是方程可變?yōu)閍2-a-1=a-1 ①

a2-a-1=-(a-1) ②

由①，得a2-2a=0,a1=0,a2=2.

把a(bǔ)1、a2、a3、a4依次代入a2-a-1，可求得相應(yīng)縱坐標(biāo).

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