☉江蘇省泰興中學(xué) 游 洋

以反治本策略的實踐與思考

☉江蘇省泰興中學(xué) 游 洋

中學(xué)數(shù)學(xué)教師都有這樣的教學(xué)共識：很多問題教師反復(fù)講、學(xué)生反復(fù)練，但是以前犯過的錯誤今天還是繼續(xù)犯錯，在典型的錯誤問題前面，這種反復(fù)顯得非常蒼白無力.這是為什么呢？作為擁有多年教學(xué)經(jīng)驗的教師，我們思考過為什么嗎？如何辦呢？筆者以為，教師都思考過，但是這些典型的錯誤學(xué)生卻總是再犯，說明我們的教學(xué)方法亟需改進.

心理學(xué)研究表明，要讓知識記憶深刻最好的方式是允許犯錯，并從錯誤中獲得理解.對于一些普遍犯錯的問題，教師教了多年并未改善，是否可以從學(xué)生的自身反思中獲得提高？因此以反治本的策略恰恰是為了解決那些根深蒂固的錯誤，也是減少教學(xué)中在這些無法提高正確率問題的新的教學(xué)策略.

一、以剖析反思的方式以反治本

錯誤問題繼續(xù)錯誤，這是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個典型現(xiàn)狀.教師面對這樣的教學(xué)現(xiàn)狀，采用最多的教學(xué)方式是反復(fù)講、反復(fù)訓(xùn)練，但是效果呢？教師依舊常常抱怨：一屆一屆學(xué)生，錯誤總是這么幾個，愈來愈不會教了.筆者想問：這難道是學(xué)生之過？還是要從教學(xué)方式上做出重要的改變.從單遵教授的觀點來看，錯誤之所以重復(fù)有兩個原因，第一是學(xué)生不理解這一知識的內(nèi)涵，第二是錯誤是教師告訴他的，他自身未能及時發(fā)現(xiàn)和反饋.因此，筆者認為要處理學(xué)生典型錯誤的最有效、最好的方式是以錯題為例進行剖析、自我反思、以反治本.

問題1：已知集合A=｛x|x2+x-6=0｝，B=｛ax+1=0｝，滿足B?A，求實數(shù)a能取的一切可能值所組成的集合.

類似訓(xùn)練：當(dāng)a為何值時，不等式（a2-1）x2-（a-1）x-1＜0的解集為全體實數(shù)？

生：我把原不等式簡單地看成一個一元二次不等式，總是把問題想當(dāng)然.事實上，當(dāng)二次項系數(shù)a2-1=0時，即a=±1時，它不是一元二次不等式，經(jīng)過檢驗可知，當(dāng)a=1

溫馨提示：從自我剖析、反思的方式以反治本，有效地觸及了學(xué)生的內(nèi)心，從學(xué)生認真分析的狀態(tài)中，我們發(fā)現(xiàn)了其反思自身問題解決的不全面性，向其他學(xué)生用心闡述了錯誤的因素.這種類似陶行知先生的“小先生制”大大地激發(fā)了學(xué)生解決典型錯誤的有效性，筆者發(fā)現(xiàn)歷經(jīng)以反治本的策略，部分學(xué)生在問題上的錯誤大大降低，獲得了一定的進步.

二、以同題異構(gòu)的方式以反治本

很多問題是類似的，但是解決的方法并不是一致的，或者有些問題教師描述的方式方法，學(xué)生總是不喜歡用，而是一味地選擇自己的方式方法，這樣做的后果是學(xué)生有時做對了，有時做錯了，因為其并未找到問題犯錯的本質(zhì)，導(dǎo)致其后續(xù)用的還是老方式、老步驟.筆者認為以同題異構(gòu)的方式，讓多位學(xué)生共同展示不同的解決方法，從異構(gòu)中區(qū)分方法的優(yōu)劣性是以反治本的好途徑.

問題2：圖1為函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖像的一段.

圖1

（1）求其解析式；

請學(xué)生板演問題解決思路（主要研究第（1）問）.

辨析：請學(xué)生思考哪些解法是優(yōu)秀的？哪些是不合時宜的？以后在已知圖像后如何解決y=Asin（ωx+φ）的解析式更為恰當(dāng)？（學(xué)生合作討論，以討論的方式獲得更多的經(jīng)驗）

生（總結(jié)）：我們討論后一致認為思路1和思路2是正確的，也是非常好的方法.思路3貌似很簡單，但是產(chǎn)生了增根，在具體解決問題時還需進一步檢驗，反而顯得累贅了.

師：請你說一說理由是什么？

生：先說思路3錯誤的原因，因為用到的是函數(shù)的平衡點，所以看上去計算量簡化了很多，但是卻解出了兩個不同的φ值.我們驗證了一下，發(fā)現(xiàn)其中一個恰為圖2中的虛線圖形，另一個為正解.出現(xiàn)這樣的原因正是因為使用了平衡點！平衡點處有兩個函數(shù)均從這里穿過，這就導(dǎo)致無法確認哪一個才是題意需要的，所以必須檢驗.思路1比較合理地使用了我們課堂上講的“五點法”，這首先要求大家必須牢記正弦函數(shù)y=sinx的基本形態(tài)，要正確看待點M在五點中所處的具體位置，只有弄清了位置才能計算φ值；思路2顯得更隨意一些，只要找到最值點即可解決唯一的φ值，究其原因是最值點不可能兩個函數(shù)共同經(jīng)過，所以很好地解決了問題.

圖2

溫馨提示：通過同題異構(gòu)，我們認識到了同學(xué)們常常犯的一個錯誤——用平衡點去計算φ值，這種貌似簡單明了的方式卻往往容易產(chǎn)生錯誤，而“五點法”很好地給予了點位置上的確定性，不易錯誤，最值法較好的固定了函數(shù)圖像的走勢，不易錯誤，希望大家有所啟發(fā).

三、以重視思想的方式以反治本

數(shù)學(xué)中高端層次的問題往往具備了一定的數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)，在數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)下有些問題的解決顯得較為容易，如何去發(fā)現(xiàn)問題背后隱藏的數(shù)學(xué)思想？如何引導(dǎo)這種思想以反治本？這是教師在教學(xué)時需要關(guān)注的.

問題3：（教材習(xí)題）等差數(shù)列｛an｝的前n項和Sn=m，前m項和Sm=n（m≠n），求前m+n項的和Sm+n.

溫馨提示：本問題的處理看似簡單，實際上是數(shù)學(xué)思想在背后的運用.數(shù)列問題都是離散型函數(shù)模型的體現(xiàn)，即函數(shù)與方程思想是解決的問題的主要導(dǎo)向.筆者首先讓學(xué)生動手驗算本例，在經(jīng)過數(shù)十分鐘運算后，學(xué)生紛紛表示，字母多、求解方向不清晰，導(dǎo)致學(xué)生很盲目.有了前面的困擾，那么以反治本的手段——數(shù)學(xué)思想找到時機恰到好處的引入，讓學(xué)生迅速了解了函數(shù)與方程思想在數(shù)列章節(jié)中的重要性，也一語中的闡述了數(shù)列本質(zhì)，獲得了問題解決的更多思考.

總之，以反治本是教學(xué)的一種手段，其需要給予學(xué)生足夠的時間探索、允許其犯錯，要從學(xué)生自身的學(xué)習(xí)中去獲得經(jīng)驗積累，這種手段在學(xué)生不斷重復(fù)的錯誤問題上有良好的效益，值得教學(xué)嘗試探索.

1.徐曉紅.糾正思維頑疾之利器——以反治本［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2010（2）.

2.吳成海.數(shù)學(xué)試題創(chuàng)新應(yīng)著力于思維培養(yǎng)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)，2013（8）.

3.王建鵬.一道試題的析題展示［J］.福建中學(xué)數(shù)學(xué)，2013（9）.F