張樹(shù)義， 林 媛， 鄭曉迪

(1.渤海大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，遼寧 錦州 121013;2.錦州師范高等?？茖W(xué)校 計(jì)算機(jī)系,遼寧 錦州 121001)

強(qiáng)增生映像零點(diǎn)的迭代逼近

張樹(shù)義1， 林 媛1， 鄭曉迪2

(1.渤海大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，遼寧 錦州 121013;2.錦州師范高等?？茖W(xué)校 計(jì)算機(jī)系,遼寧 錦州 121001)

在‖un‖→0(n→∞)的條件下,使用新的分析方法,在賦范線性空間中研究了強(qiáng)增生映像零點(diǎn)的最速下降法的迭代逼近問(wèn)題，從而改進(jìn)和發(fā)展了一些已知的結(jié)果.

賦范線性空間；強(qiáng)增生映像；最速下降法;迭代逼近

0 引 言

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)E是一實(shí)賦范線性空間,E*是E的對(duì)偶空間,正規(guī)對(duì)偶映像J:E→2E*定義為J(x)={f∈E*:〈x,f〉=‖x‖2=‖f‖2},其中〈·,·〉表示E和E*的廣義對(duì)偶組.

定義1 對(duì)映像A:E→E，若存在常數(shù)k∈(0,1)，使得對(duì)任給的x,y∈E，存在j(x-y)∈J(x-y)，滿足〈Ax-Ay,j(x-y)〉≥k‖x-y‖2,則稱A為強(qiáng)增生的,并稱k為A的強(qiáng)增生常數(shù).

引理1[6,8]設(shè)E是賦范線性空間,J:E→2E*是正規(guī)對(duì)偶映像,則?x,y∈E，有

‖x+y‖2≤‖x‖2+2〈y,j(x+y)〉, ?j(x+y)∈J(x+y).

2 主要結(jié)果

定理1 設(shè)E是賦范線性空間，A：E→E是強(qiáng)增生映像，x*為Ax=0的唯一解.對(duì)任給x1∈E,定義帶誤差的最速下降的迭代序列{xn}為

證明 由式(1)、引理1和定義1知,存在j(xn+1-x*)∈J(xn+1-x*)，使得

‖xn+1-x*‖2=

‖xn-x*‖2-2αn〈Axn+1-Axn+1+Axn-Ax*,j(xn+1-x*)〉-2αn〈un,j(xn+1-x*)〉≤

‖xn-x*‖2-2αnk‖xn+1-x*‖2+2αn‖Axn+1-Axn‖‖xn+1-x*‖+2αn‖un‖‖xn+1-x*‖.

(2)

記dn=‖Axn-Axn+1‖, 因?yàn)閐n→0,‖un‖→0(n→∞),且

2‖un‖‖xn+1-x*‖≤‖un‖+‖un‖‖xn+1-x*‖2,2dn‖xn+1-x*‖≤dn+dn‖xn+1-x*‖2,

(3)

Q=max{‖xn2-x*‖,‖xn2+1-x*‖,…,‖xm-1-x*‖,‖xm-x*‖}.

顯然,0

下面用歸納法證明?n≥m，有‖xn-x*‖≤Q.顯然,當(dāng)n=m時(shí)結(jié)論成立.假設(shè)對(duì)n(n≥m)時(shí)結(jié)論成立.下面證明,對(duì)n+1時(shí)結(jié)論也成立.假設(shè)結(jié)論不成立,則‖xn+1-x*‖>Q.由式(3)可得

‖xn+1-x*‖2≤‖xn-x*‖2+2αn(‖un‖+dn)Q2-2αnkQ2+2αn‖un‖+2αndn≤

‖xn-x*‖2+2αn[(‖un‖+dn)(Q2+1)-kQ2]≤‖xn-x*‖2≤Q2,

這是一個(gè)矛盾.因此,當(dāng)?n≥m時(shí),有‖xn-x*‖≤Q成立

‖xn+1-x*‖2≤‖xn-x*‖2+2αn[(‖un‖+dn)(Q2+1)-kτ2]≤

移項(xiàng)整理得kτ2αn≤‖xn-x*‖2-‖xn+1-x*‖2,?n≥n3.從而?h≥n3,有

‖xn3-x*‖2-‖xh+1-x*‖2.

下面證明:對(duì)?ε∈(0,1),?m≥1,有‖xnj0+m-x*‖≤ε.顯然,當(dāng)m=1時(shí)結(jié)論成立.假設(shè)對(duì)m時(shí)結(jié)論成立.下面證明,對(duì)m+1時(shí)結(jié)論也成立.假設(shè)結(jié)論不成立,則有‖xnj0+m+1-x*‖>ε.由式(3)有

‖xnj0+m+1-x*‖2≤‖xnj0+m-x*‖2+2αnj0+m[(‖unj0+m‖+dnj0+m)(Q2+1)-kε2]≤

這是一個(gè)矛盾.因此,?m≥1,有‖xnj0+m-x*‖≤ε成立.由ε∈(0,1)的任意性可知xn→x*(n→∞).定理1證畢.

[1]Chidume C E,Zegeye H.Approximation methods for nonlinear operator equations[J].Proc Amer Math Soc,2002,131(8):2467- 2478.

[2]李小玲,劉理蔚.關(guān)于賦范線性空間中增生算子方程的迭代逼近問(wèn)題[J].應(yīng)用泛函分析學(xué)報(bào),2007,9(3)：254- 258.

[3]張樹(shù)義.賦范線性空間中強(qiáng)增生算子方程的迭代解[J].應(yīng)用泛函分析學(xué)報(bào),2010,12(1):75- 78.

[4]沈自飛,楊敏波,王亞琴.漸近偽壓縮映像的收斂性定理[J].數(shù)學(xué)年刊,2005,26A(5):669- 674.

[5]宣渭峰,王元恒.雙復(fù)合修正的Ishikawa 迭代逼近非擴(kuò)張映像不動(dòng)點(diǎn)[J].浙江師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2009,32(4):401- 405．

[6]張樹(shù)義.賦范線性空間中漸近擬偽壓縮型映像不動(dòng)點(diǎn)的修改的廣義Ishikawa迭代逼近[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2011,34(5):886- 894.

[7]張樹(shù)義,宋曉光.Hilbert空間中φ- 強(qiáng)偽壓縮映像的一個(gè)注記[J].浙江師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2013,36(1):28- 30.

[8]Chidume C E,Zegeye H,Ntain B.A generalized steepest descent approximation for the zero ofm- accretive operator[J ].J Math Anal Appl,1999,236(1):48- 73.

(責(zé)任編輯 陶立方)

Iterative approximation of zero points for strongly accretive mappings

ZHANG Shuyi1, LIN Yuan1, ZHENG Xiaodi2

(1.CollegeofMathematicsandPhysics，BohaiUniversity，Jinzhou121013,China; 2.DepartmentofComputer,JinzhouTeacher′sTrainingCollege，Jinzhou121001,China)

It was studied the problem of the iterative approximation of the sequence defined by the steepest descent method of zero points for strongly accretive mappings in normed linear space by using a new analytical method and the condition ‖un‖→0(n→∞). The results improved and extended some known results.

normed linear space; strongly accretive mapping; steepest descent method; iterative approximation

10.16218/j.issn.1001- 5051.2017.02.002

2016- 05- 23；

2016- 10- 09

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11371070)

張樹(shù)義(1960-)，男，遼寧錦州人，教授.研究方向：非線性泛函分析.

O177.91

A

1001- 5051(2017)02- 0127- 03