朱相榮， 劉 寧

(浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院,浙江 金華 321004)

Hausdorff 算子在Lorentz空間上的有界性

朱相榮， 劉 寧

(浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院,浙江 金華 321004)

主要研究了Hausdorff 算子在Lorentz 空間上的有界性和在L1空間有界的必要性.通過Fatou引理得出Hausdorff算子在L1空間有界的必要性；利用Minkowski不等式得到Hausdorff 算子在Lorentz 空間上有界的充分性條件.

Hausdorff算子;Lorentz空間;Minkowski不等式;Fatou引理

0 引 言

Hausdorff算子在調(diào)和分析中有著悠久的歷史,最先由Hausdorff在1921年提出.Hausdorff算子最早用Fourier級數(shù)形式給出，但在實際計算中不太方便.Liflyand等最早給出了積分形式的Hausdorff 算子，它是Cesro 算子的一種推廣[1].近年來，Hausdorff 算子在函數(shù)論、偏微分方程等領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用.更多關(guān)于Hausdorff 算子的結(jié)果可參閱文獻[2- 6].一維的Hausdorff算子定義為

t.

其中，Φ為(0,∞)上的局部可積函數(shù).

自然地，可以定義如下形式的高維Hausdorff算子：

y.

文獻[3]引入了另一種形式的高維Hausdorff算子

u.

其中：Φ∈L1loc(Rn)；A(u)=(aij(u))ni,j=1是n×n階矩陣，每個aij(u)是關(guān)于u的測度函數(shù)且在Φ支集上幾乎處處有detA(u)≠0成立.

研究算子在Lp空間的有界性是調(diào)和分析的核心內(nèi)容.文獻[3]給出了HΦ,Af(x)在Lp空間的有界性，即當(dāng)1≤p≤∞時，若

則HΦ,Af(x)是Lp(Rn)有界的.文獻[7]給出了HΦ,Af(x)在H1空間上的有界性,即若

則HΦ,Af(x)在H1空間上有界.

更多關(guān)于Hausdorff算子有界性的研究可參閱文獻[4- 6,8- 10].

本文主要研究了Hausdorff 算子在Lorentz空間上的有界性和在L1空間上有界的必要性.

定義1[1]當(dāng)0

Lp,q(X,μ)={f∈(X,μ) : ‖f‖*pq<∞}.

其中:

‖f‖

f*(t)=inf{λ:|{x∈Rn:|f(x)|>λ}|≤t}是非負函數(shù)f的遞減重排.

注1 從Lorentz空間Lp,q的概念可以看出，當(dāng)p=q時，Lp,p=Lp，Lp,∞是弱Lp的.

定義2[11]當(dāng)1

其中，f*(t)=inf{λ:|{x∈Rn:|f(x)|>λ}|≤t}是非負函數(shù)f的遞減重排.

更多關(guān)于Lorentz空間的知識可以參閱文獻[12- 15].本文主要結(jié)果為以下3個定理:

∞.

時，HΦ,Af(x)是Lp,q(Rn)有界的，即

時，HΦ,Af(x)是Λqω到Λqω有界的，即

文中出現(xiàn)的字母C表示一個常數(shù)，僅僅依賴于n和p,q，在不同地方可能取不同的值.

1 一些概念及引理

‖f‖

由式(1)和式(2)知一定有‖f‖*pq≤‖f‖pq.

注3 當(dāng)1≤q≤p時，‖5‖pq是一個范數(shù)，而‖5‖*pq更容易計算.

由文獻[14]知，當(dāng)1≤q≤p≤∞時，Lpq是一個Banach空間，且‖5‖pq是范數(shù)，再由文獻[16]知‖5‖pq等價于‖5‖*pq，‖5‖pq和‖5‖*pq之間的具體關(guān)系可見下面的引理:

引理1[16]如果f∈Lp,q，1

‖f‖*pq≤‖f‖pq≤p′‖f‖*pq.

.

引理3[11]當(dāng)1

1)Λqω是Banach空間；

2)‖5 ‖Γ qω是一個范數(shù),且存在常數(shù)C1,C2,使得

式(4)中,

‖f‖

2 定理1的證明

令k(u)=uφ(A-1(u))(A-1)′(u)，則

y.

ε.

從而

對第1部分，由變量替換得

對第2部分，首先對?x∈(0,∞)，因為kε∈C∞((0,∞))，所以

由Fatou引理可得

由‖Hφ,Afδ(x)‖L1≤C‖fδ‖L1=C及‖I1‖L1≤C知，

‖I2‖L1≤‖Hφ,Afδ(x)‖L1+‖I1‖L1≤C.

因此，

C.

定理1證畢.

3 定理2的證明

下面證明定理2.當(dāng)p=1時，已知結(jié)論成立.下面考慮p>1.由式(3)及Minkowski不等式得

若

則HΦ,Af(x)是Lpq有界的,且

定理2證畢.

4 定理3的證明

由引理3及Minkowski不等式得

因此,

綜上，若

則HΦ,Af(x)是Λqω到Λqω有界的.

定理3證畢.

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(責(zé)任編輯 陶立方)

The boundedness of Hausdorff operators on the Lorentz space

ZHU Xiangrong, LIU Ning

(CollegeofMathematics,PhysicsandInformationEngineering,ZhejiangNormalUniversity,Jinhua321004,China)

It was considered the boundeness of Hausdorff operator on the Lorentz space and the necessary condition onL1space. By Fatou lemma, the necessity of Hausdorff operator inL1space was obtained. The sufficient conditions for the boundedness of Hausdorff operators on Lorentz spaces were obtained by using Minkowski′s inequality.

Hausdorff operator; Lorentz space; Minkowski′s inequality; Fatou Lemma

10.16218/j.issn.1001- 5051.2017.02.001

2016- 06- 01；

2016- 10- 22

國家自然科學(xué)基金資助項目(11471288;11371136);浙江省自然科學(xué)基金資助項目(LYl4A010015)

朱相榮(1979-)，男，浙江杭州人，副研究員.研究方向：幾何分析;調(diào)和分析;偏微分方程.

O174.2

A

1001- 5051(2017)02- 0121- 06