孫康 陳金勇

（中國電子科技集團公司第五十四研究所，石家莊，050081）

基于波段指數(shù)的快速高光譜圖像波段選擇方法

孫康1陳金勇1

（中國電子科技集團公司第五十四研究所，石家莊，050081）

波段選擇在高光譜圖像降維處理領(lǐng)域具有十分重要的作用，可以提高高光譜圖像的分類精度。波段選擇本質(zhì)上是最優(yōu)波段的組合優(yōu)化問題，因而往往具有較高的計算復(fù)雜度，限制了波段選擇技術(shù)在高光譜圖像中的應(yīng)用。本文提出了一個基于協(xié)方差矩陣的快速波段選擇方法，該方法波段選擇的目標(biāo)是具有最大協(xié)方差矩陣行列式的波段集合。利用本文提出的一個前向遞推迭代技巧和波段指數(shù)，該方法具有極快的計算速度。此外，本文提出的波段指數(shù)還具有指示波段選擇所需波段數(shù)目的能力。

高光譜圖像，降維，特征提取，波段選擇，協(xié)方差矩陣

一、引言

高光譜圖像具有較大的數(shù)據(jù)體量，一般包含數(shù)百個連續(xù)的窄波段，因此在傳輸、儲存、計算以及統(tǒng)計建模等方面帶來很大的挑戰(zhàn)[1]。降維是解決高光譜維數(shù)災(zāi)難問題的一個有效手段，因此近年來獲得越來越多的關(guān)注和研究。

廣義上，根據(jù)原始特征和提取特征之間的關(guān)系，高光譜降維方法可以分為兩大類型：特征提取和特征選擇（也稱波段選擇）。特征提取通過原始特征的函數(shù)映射（一般為線性函數(shù)）或組合獲得新的特征，典型的方法有主成分分析、最小噪聲分離以及獨立成分分析等。這類方法的缺點是由于新的特征是原始特征的變換，因此破壞了原始光譜特征的物理意義，使得提取的特征不具有物理意義[2]。

另外一種典型的高光譜降維方法是波段選擇。波段選擇與特征提取最大的不同在于，它是通過選擇原始特征的子集來達到降維的目的，并沒有產(chǎn)生新的特征。與特征提取相比，波段選擇有兩個主要的優(yōu)點：一是，波段選擇得到的特征具備更強的物理意義；而是波段選擇對于高光譜數(shù)據(jù)獲取（比如對于動態(tài)可配置的傳感器）、數(shù)據(jù)傳輸和數(shù)據(jù)儲存都具有重要意義。

本質(zhì)上，波段選擇是一個組合優(yōu)化的問題，一般而言具有極高的計算復(fù)雜度。由于波段選擇的主要目的之一是降低高光譜圖像處理的計算負荷，如何盡量降低波段選擇本身的計算復(fù)雜度顯得尤為重要。目前已經(jīng)有較多的研究聚焦于降低波段選擇的計算復(fù)雜度。比如，楊河等[3]提出使用GPU實現(xiàn)一個基于相似度量的波段選擇方法[4]；耿修瑞等提出了利用體積梯度降低波段選擇的計算復(fù)雜度[5],；孫康等提出了基于典型成分分析的波段選擇方法ECA[6]，著重研究了波段選擇算法的計算復(fù)雜度問題[7]。

本文提出了基于協(xié)方差矩陣的波段選擇方法FCMBS。FCMBS波段選擇的目標(biāo)是具有最大協(xié)方差矩陣行列式的波段集合。利用本文發(fā)現(xiàn)的一個迭代規(guī)律，F(xiàn)CMBS不僅大大降低了行列式的計算復(fù)雜度，同時還可以輔助確定波段選擇所需波段數(shù)目。

二、波段選擇準(zhǔn)則函數(shù)

波段選擇通常包含兩個典型步驟：準(zhǔn)則函數(shù)（目標(biāo)函數(shù)）確定以及子集搜索。準(zhǔn)則函數(shù)波段選擇的依據(jù)，定量地描述了波段選擇的條件；子集搜索是選擇使得目標(biāo)函數(shù)具有最優(yōu)取值的波段集合。目前有很多的波段選擇準(zhǔn)則函數(shù)，其中最經(jīng)典的一個是由Sheffield提出的最大橢球體體積準(zhǔn)則（MEV）)[8]，作者同時證明了MEV等價于協(xié)方差矩陣的行列式。更近一步地，已經(jīng)證明，選擇協(xié)方差矩陣行列式最大的波段子集完全等價于選擇具有最大聯(lián)合熵的波段子集。MEV準(zhǔn)則函數(shù)如下：

盡管具有完備的理論基礎(chǔ)以及出色的應(yīng)用效果，MEV的一個重要缺點是計算復(fù)雜度極高。MEV原本是用于多光譜圖像波段選擇的方法，從7個波段中選擇3個波段用于彩色合成，總共個波段組合。這種情況下，使用窮舉搜索的方法可以很快地得到最優(yōu)解。然而對高光譜圖像而言，窮舉搜索的計算復(fù)雜度是不可能完成的。比如AVIRIS圖像具有224個波段，如果從中選擇15個波段，則總共可能的波段組合共計個，這樣的計算復(fù)雜度對于目前的計算機而言是不可能完成的。解決這個問題的方法是使用搜索方法得到次優(yōu)解，達到效率與效果的折中。常用的搜索方法包括序貫前向搜索（SFS）以及序貫后向搜索（SBS）。對MEV而言，由于涉及到頻繁的協(xié)方差矩陣矩陣，即使使用SFS進行搜索，所需要的計算復(fù)雜度也是難以接受的。

三、子集搜索和選擇指數(shù)

本節(jié)介紹本文提出的FCMBS算法，F(xiàn)CMBS使用MEV的準(zhǔn)則函數(shù)，但具有極低的計算復(fù)雜度，同時具有輔助確定所需的波段數(shù)目的能力。FCMBS波段選擇的準(zhǔn)則函數(shù)與（1）相同，忽略常數(shù)項該準(zhǔn)則可以簡化為：

FCMBS使用SFS進行子集搜索。SFS是貪婪算法的一種，更具體地，它是一個“自下而上”的算法，開始選擇一個波段，而后逐個增加選擇的波段，直至波段的數(shù)目符合要求。FCMBS需要先選擇一個波段作為初始解。本文選擇具有最大方差的波段作為入選的第一個波段，剩下的個波段依次作為第二個波段，這樣共產(chǎn)生波段個雙波段組合。根據(jù)式（2），這個雙波段組合中，具有最大協(xié)方差矩陣行列式的組合作為入選組合。這 個過程一直重復(fù)，直至入選的波段數(shù)目達到預(yù)先設(shè)置的數(shù)目。

可以看出，第 和 階協(xié)方差矩陣 和 具有如下迭代關(guān)系：

從式（6）中可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)已經(jīng)選擇 個波段是，第 個入選的波段是使得取最大值的波段。由于對于剩余的波段而言是一個常數(shù)，因此是項決定了下一個入選的波段。由于該項定量描述了波段的入選可能性，本文將項定義為波段的選擇指數(shù)（SI）。SI的使用使得FCMBS無需計算復(fù)雜的協(xié)方差矩陣，因此計算復(fù)雜度大大降低。同時本文發(fā)現(xiàn)SI隨著入選波段數(shù)目的增加呈單調(diào)下降，這個規(guī)律可以用來確定波段選擇所需的波段數(shù)目。SI的這個性質(zhì)將于第5節(jié)詳細探討。

四、計算復(fù)雜度分析

本節(jié)主要對比分析FCMBS以及直接采用SFS的MEV算法（SFS-MEV）的理論計算復(fù)雜度。

根據(jù)文獻[8]，的行列式在幾何意義上等于所構(gòu)成的高維橢球體的體積，以此類推，相當(dāng)于和構(gòu)成的高維橢球體體積。根據(jù)式（6）所示和的關(guān)系，可以看出，選擇指數(shù)事實上就是構(gòu)成的超平面的距離。圖1給出了三維時的情況，假定現(xiàn)已選擇了兩個波段，這兩個波段構(gòu)成的橢球體是有軸1和軸2張成的橢圓。根據(jù)FCMBS的最大行列式（等價于最大體積）規(guī)則，第三個選擇的波段就是能與前兩個波段構(gòu)成最大橢球體積的波段，也就是距離前兩個波段構(gòu)成的橢圓最遠的波段。

綜上，可以看出FCMBS與SFS-MEV的本質(zhì)區(qū)別在于，F(xiàn)CMBS只需計算距離，而SFS-MEV需要計算體積，因此FCMBS具有極大的效率優(yōu)勢。經(jīng)過簡單的定量分析可以得到，F(xiàn)CMBS需要的浮點操作次數(shù)而SFS-MEV需要的浮點操作次數(shù)為從理論上，F(xiàn)CMBS的計算速度是SFSMEV的倍。

五、試驗分析

為了定量評估FCMBS方法的實際性能，本文使用由美國AVIRIS傳感器獲取的真實的高光譜數(shù)據(jù)-Indian Pines數(shù)據(jù)。該數(shù)據(jù)空間大小為145×145像素，包含220個波段，波段范圍是400-2500nm。由于具有像素級的地面真值并且在互聯(lián)網(wǎng)可以免費下載，該數(shù)據(jù)廣泛應(yīng)用于各類遙感試驗。根據(jù)地面調(diào)查結(jié)果，這塊數(shù)據(jù)共包含16種不同的地物類型，如圖2所示。

5.1 波段選擇精度與計算時間比較

利用虛擬維數(shù)方法，可以確定這塊數(shù)據(jù)的維數(shù)為16，因此本試驗將波段選擇數(shù)目設(shè)置為16。為了對FCMBS的性能進行評價分析，本試驗選擇IDBS[9]，MVPCA[10]以及SFS-MEV作為對比方法。分別比較各個波段選擇方法的波段選擇精度和計算時間。波段選擇精度的比較一般采用波段選擇后的分類精度進行比較，本文使用SVM方法進行分類，訓(xùn)練樣本根據(jù)圖2（b）所示的地面真值進行隨機選取，訓(xùn)練樣本比例為10%，SVM核函數(shù)為RBF函數(shù)。波段選擇時間采取10次平均的方法計算得到。各個波段選擇方法獲取的分類精度和計算時間如圖3所示的雙軸圖。

從圖3中可以看出，本文方法FCMBS和SFS-MEV的分類精度一致并且最高（66.5%），因為二者的波段選擇結(jié)果相同，但FCMBS的計算時間僅為0.12s，遠遠小于SFS-MEV的計算時間（4.91s），其加速比約為40倍。與IDBS和MVPCA相比，F(xiàn)CMBS的波段選擇結(jié)果具有更高的分類精度，分別比IDBS和MVPCA高出10.7百分點和4.2百分點。同時，F(xiàn)CMBS的計算時間也優(yōu)于這兩個波段選擇方法，對IDBS和MVPCA的計算時間加速比分別為16.6和3.7。

整體看來，對傳統(tǒng)方法相比，F(xiàn)CMBS能夠獲得更高的分類精度，同時具有明顯的加速效果。

5.2 SI的進一步探討

對于選擇指數(shù)SI，本文還發(fā)現(xiàn)了一個有趣的現(xiàn)象，也即隨著選擇波段數(shù)目的增加，SI成單調(diào)下降趨勢，如圖3所示。從圖中可以看出，當(dāng)波段數(shù)目較小時，SI下降速度很快，而后逐步趨緩。在SI曲線中，有一個明顯的拐點（大約是16波段，圖中紅點所示），這個拐點與虛擬維數(shù)的結(jié)論基本一致。在拐點以前，SI下降速度非常迅速，而在拐點之后，SI趨于平緩。因此，SI可以看出是度量波段的重要程度的指標(biāo)，最重要的波段第一個被選出，而后選出的波段依次下降，當(dāng)拐點出現(xiàn)的時候，意味著已經(jīng)選擇了足夠多的波段。這樣SI事實上可以輔助確定所需的波段數(shù)目。

六、結(jié)論

本文提出了一個新的波段選擇方法FCMBS，該方法的選擇準(zhǔn)則是最大協(xié)方差矩陣行列式。利用本文新定義的選擇指數(shù)SI，F(xiàn)CMBS不僅大大減少了計算復(fù)雜度，同時可以輔助確定具有波段選擇所需的波段數(shù)目。試驗結(jié)果驗證了本文方法的高效性以及確定波段數(shù)目的能力。

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河北省遙感中心《2014年度河北省海洋環(huán)境遙感監(jiān)測》項目入選中國遙感應(yīng)用協(xié)會科技進步獎三等獎

根據(jù)《關(guān)于確定中國遙感應(yīng)用協(xié)會科學(xué)技術(shù)獎獎勵辦法》（暫行）,中國遙感應(yīng)用協(xié)會2016年6月面向各分支機構(gòu)和會員單位征集申報項目；8月27日至28日組織中國遙感應(yīng)用協(xié)會科技進步獎評審委員會審查申報項目，形成了獲獎候選項目建議；9月至12月經(jīng)征求各候選項目申報單位意見，形成一等獎候選項目1項、二等候選項目3項和三等獎候選項目5項。2017年3月3日己將將上述九項候選項目的相關(guān)情況提交給中國遙感應(yīng)用協(xié)會科學(xué)技術(shù)獎獎勵委員會各位委員審議。河北省遙感中心《2014年度河北省海洋環(huán)境遙感監(jiān)測》項目入選三等獎并已公示。該項目應(yīng)用于區(qū)域性海洋水色水溫環(huán)境要素遙感檢測技術(shù)、河北海洋海冰遙感檢測與精細化海冰分類技術(shù)、區(qū)域性秦皇島微微藻褐遙感檢測及赤潮的預(yù)警值。項目成果被河北省海洋環(huán)境監(jiān)測中心、河北省海洋預(yù)報臺、昌黎黃金海岸國家級自然保護區(qū)、秦皇島港股份有限公司、秦皇島海洋環(huán)境監(jiān)測中心站等多家單位應(yīng)用。