錢霞

用整體思想巧算代數(shù)式的值

錢霞

整體思想就是在研究和解決有關數(shù)學問題時，通過把握研究問題的整體形式、整體結(jié)構(gòu)、整體特征，對問題進行整體處理的思想方法.從整體上去認識問題，思考問題，常常能化繁為簡，變難為易，同時又能培養(yǎng)大家思維的靈活性、敏捷性.整體思想在“整式乘法與因式分解”這一章中的主要體現(xiàn)形式有：整體代入、整體加減、整體代換等，下面我們就一起來看看吧.

例1已知xy2=-1，求-xy（x3y7-3x2y5-y）的值.

【分析】本題根據(jù)條件顯然無法求出x、y的值，只能考慮在所求代數(shù)式中構(gòu)造出xy2的形式.

解：

當xy2=-1時，

【說明】本題在處理單項式與多項式相乘的時候，也可以將-xy看成一個單項式，用-xy與多項式的每一個項相乘，再把所得的積相加.

A.7B.11C.9D.1

【分析】本題根據(jù)條件雖然是可以求出m的值，但代入求值時非常麻煩.那么我們就想到了將看成一個整體.利用完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2，則

例3若a、b滿足（a+b）（a+b-2）+1=0，則a+b=.

【分析】本題可以考慮求出a、b的值，再代入計算a+b的值，但是我們發(fā)現(xiàn)只有一個方程，卻有兩個未知數(shù)，所以這里的a、b無法求出.經(jīng)觀察，我們發(fā)現(xiàn)此處可以將a+b看成整體，轉(zhuǎn)化后等號的左邊正好是完全平方式.

解：將（a+b）看成整體，原方程可化為：

【說明】本題的處理結(jié)果正好是完全平方公式，所以可以求出a+b的值.大家可以思考，如果等號的左邊不是完全平方式，你將怎樣求出a+b的值，思考好后，試著完成下面的變式訓練：若a-b=1，則求a2-b2-2b的值.

【分析】本題中由a-b=1，不能求得a、b的值，那么觀察所要求的代數(shù)式a2-b2-2b，可以變形為（a+b）（a-b）-2b=a+b-2b=a-b=1.

解：

【說明】本題是整體代入，在無法求出a和b的值的情況下，應處理所求的代數(shù)式，利用平方差公式將其變形出a-b這一整體；本題也可以將a=b+1代入，即原式=（b+1）2-b2-2b=b2+ 2b+1-b2-2b=1.

例5已知a+b=7，ab=6，求a2b+ab2的值.

【分析】本題首先想到的是根據(jù)a+b=7，ab=6，求出a、b的值，再代入代數(shù)式中求得結(jié)果；但是經(jīng)過分析可將a2b+ab2因式分解為ab·（a+b），再將ab=6，a+b=7整體代入可以使問題的解決更簡單.

解：原式=ab（a+b），

當ab=6，a+b=7時，原式=42.

【說明】先將代數(shù)式因式分解，再通過整體代入是一種求代數(shù)式值的常用方法.

例6將下列各式因式分解：

（1）（x2+1）2-10（x2+1）+25；

（2）16（x+4）2-9；

（3）a（a2-b2）-b（b2-a2）.

【分析】重溫一下概念，因式分解：把一個多項式寫成幾個整式積的形式叫做多項式的因式分解.而因式分解首先要考慮的是提公因式，其次考慮套用公式，最后要檢查因式分解是否徹底.對于（1）無公因式可提，將x2+1看成整體可先套用完全平方公式，之后再套用平方差公式；（2）無公因式可提，將（x+4）看成整體可套用平方差公式；（3）將其后面的因式b2-a2提取負號后可變?yōu)?（a2-b2），再提取公因式a2-b2，接著套用平方差公式.

解：（1）

（2）原式

（3）原式

【說明】因式分解的步驟是：一提、二套、三查.我們解決因式分解的題型首先考慮的是提公因式，然后才考慮套用公式，并且一定要檢查最后的結(jié)果是否已經(jīng)分解徹底.

整體思想在代數(shù)式的化簡與求值、解方程、幾何解證方面都有廣泛的應用，整體代入、整體運算、整體設元等都是整體思想方法在解數(shù)學問題中的具體應用，在以后的學習中大家要注意積累.

（作者單位：江蘇省淮安外國語學校）