錢霞
用整體思想巧算代數(shù)式的值
錢霞
整體思想就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題時(shí),通過把握研究問題的整體形式、整體結(jié)構(gòu)、整體特征,對(duì)問題進(jìn)行整體處理的思想方法.從整體上去認(rèn)識(shí)問題,思考問題,常常能化繁為簡(jiǎn),變難為易,同時(shí)又能培養(yǎng)大家思維的靈活性、敏捷性.整體思想在“整式乘法與因式分解”這一章中的主要體現(xiàn)形式有:整體代入、整體加減、整體代換等,下面我們就一起來(lái)看看吧.
例1已知xy2=-1,求-xy(x3y7-3x2y5-y)的值.
【分析】本題根據(jù)條件顯然無(wú)法求出x、y的值,只能考慮在所求代數(shù)式中構(gòu)造出xy2的形式.
解:
當(dāng)xy2=-1時(shí),
【說明】本題在處理單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的時(shí)候,也可以將-xy看成一個(gè)單項(xiàng)式,用-xy與多項(xiàng)式的每一個(gè)項(xiàng)相乘,再把所得的積相加.
A.7B.11C.9D.1
【分析】本題根據(jù)條件雖然是可以求出m的值,但代入求值時(shí)非常麻煩.那么我們就想到了將看成一個(gè)整體.利用完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2,則
例3若a、b滿足(a+b)(a+b-2)+1=0,則a+b=.
【分析】本題可以考慮求出a、b的值,再代入計(jì)算a+b的值,但是我們發(fā)現(xiàn)只有一個(gè)方程,卻有兩個(gè)未知數(shù),所以這里的a、b無(wú)法求出.經(jīng)觀察,我們發(fā)現(xiàn)此處可以將a+b看成整體,轉(zhuǎn)化后等號(hào)的左邊正好是完全平方式.
解:將(a+b)看成整體,原方程可化為:
【說明】本題的處理結(jié)果正好是完全平方公式,所以可以求出a+b的值.大家可以思考,如果等號(hào)的左邊不是完全平方式,你將怎樣求出a+b的值,思考好后,試著完成下面的變式訓(xùn)練:若a-b=1,則求a2-b2-2b的值.
【分析】本題中由a-b=1,不能求得a、b的值,那么觀察所要求的代數(shù)式a2-b2-2b,可以變形為(a+b)(a-b)-2b=a+b-2b=a-b=1.
解:
【說明】本題是整體代入,在無(wú)法求出a和b的值的情況下,應(yīng)處理所求的代數(shù)式,利用平方差公式將其變形出a-b這一整體;本題也可以將a=b+1代入,即原式=(b+1)2-b2-2b=b2+ 2b+1-b2-2b=1.
例5已知a+b=7,ab=6,求a2b+ab2的值.
【分析】本題首先想到的是根據(jù)a+b=7,ab=6,求出a、b的值,再代入代數(shù)式中求得結(jié)果;但是經(jīng)過分析可將a2b+ab2因式分解為ab·(a+b),再將ab=6,a+b=7整體代入可以使問題的解決更簡(jiǎn)單.
解:原式=ab(a+b),
當(dāng)ab=6,a+b=7時(shí),原式=42.
【說明】先將代數(shù)式因式分解,再通過整體代入是一種求代數(shù)式值的常用方法.
例6將下列各式因式分解:
(1)(x2+1)2-10(x2+1)+25;
(2)16(x+4)2-9;
(3)a(a2-b2)-b(b2-a2).
【分析】重溫一下概念,因式分解:把一個(gè)多項(xiàng)式寫成幾個(gè)整式積的形式叫做多項(xiàng)式的因式分解.而因式分解首先要考慮的是提公因式,其次考慮套用公式,最后要檢查因式分解是否徹底.對(duì)于(1)無(wú)公因式可提,將x2+1看成整體可先套用完全平方公式,之后再套用平方差公式;(2)無(wú)公因式可提,將(x+4)看成整體可套用平方差公式;(3)將其后面的因式b2-a2提取負(fù)號(hào)后可變?yōu)?(a2-b2),再提取公因式a2-b2,接著套用平方差公式.
解:(1)
(2)原式
(3)原式
【說明】因式分解的步驟是:一提、二套、三查.我們解決因式分解的題型首先考慮的是提公因式,然后才考慮套用公式,并且一定要檢查最后的結(jié)果是否已經(jīng)分解徹底.
整體思想在代數(shù)式的化簡(jiǎn)與求值、解方程、幾何解證方面都有廣泛的應(yīng)用,整體代入、整體運(yùn)算、整體設(shè)元等都是整體思想方法在解數(shù)學(xué)問題中的具體應(yīng)用,在以后的學(xué)習(xí)中大家要注意積累.
(作者單位:江蘇省淮安外國(guó)語(yǔ)學(xué)校)