劉 剛 趙 毅

北京市第十二中學高中部 (100071)

對一道高三期末試題的推廣*

劉 剛 趙 毅

北京市第十二中學高中部 (100071)

在2017年1月北京市東城區(qū)高三期末理科數(shù)學出了這樣一道試題：

(1)求橢圓C的方程；

試題考查了橢圓的標準方程、幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關系及以橢圓一組共軛直徑為背景的線段比值問題，考查了坐標法的應用．經(jīng)過對(2)問的一般化探究，可以得到下面的結(jié)論．

分析1:先設出點A，B，Q的坐標，然后表示出點P的坐標，利用B，Q，P三點共線進一步表示出點Q的坐標，根據(jù)點Q在橢圓C上，把點Q的坐標整體代入橢圓C的方程進行求解，體現(xiàn)了設而不求、整體替換的數(shù)學方法．

分析2:把涉及到的點的坐標借助橢圓的參數(shù)方程進行表示，然后進一步求解，參數(shù)法是解決圓錐曲線相關問題的重要與常用方法．

分析3：由于橢圓經(jīng)過坐標伸縮變換可以變?yōu)閳A，而圓有著很多幾何性質(zhì)，因此借助圓利用平面幾何知識進行解決，可以避免繁瑣的代數(shù)運算，使解題過程得到簡化．

圖1

在解題時，我們要透過現(xiàn)象看本質(zhì)，嘗試著從不同角度進行思考、拓展，提倡多解、多變，這樣才能將一道試題的價值發(fā)揮到最大化，從而有效提高復習效率．

[1]劉剛，趙毅．一道高考模擬試題的探究[J]．中學數(shù)學研究(江西)，2016，11．

[2]劉剛，趙毅．一道高考模擬圓錐曲線試題的探究與啟示[J]．中學數(shù)學研究(江西)，2016，12．

*本文系北京市豐臺區(qū)"十三五"重點課題《新課程背景下高中數(shù)學競賽教學研究》(課題批準號：2016237-J)階段成果之一．