李圓

(湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，湖南 湘潭411100)

?

三維不可壓Boussinesq方程恰當(dāng)弱解奇異點(diǎn)集的Minkowski維數(shù)

李圓

(湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，湖南 湘潭411100)

研究三維不可壓Boussinesq方程恰當(dāng)弱解的部分正則性，給出恰當(dāng)弱解在某點(diǎn)正則的充分條件，并通過(guò)此條件及相關(guān)的能量不等式和插值不等式推出奇異點(diǎn)集的Minkowski維數(shù)≤95/63.

Boussinesq方程；恰當(dāng)弱解；部分正則性；奇點(diǎn)；Minkowski維數(shù)

dimension

0 引言

考慮在區(qū)間ΩT=Ω×Ι=?3×(-T,0)上三維粘性系數(shù)和熱傳導(dǎo)系數(shù)均非0的Boussinesq方程即

(*)

流體方程的部分正則性的研究有著悠久的歷史.Leray[1]證明了N-S方程弱解的全局存在性，并發(fā)現(xiàn)在大部分時(shí)間，弱解的正則性比想象中的要更正則，且非正則時(shí)間構(gòu)成的1/2維Hausdorff測(cè)度為0. Scheffer[2-3]證明了N-S方程弱解的局部正則性，C.K.N[4]對(duì)scheffer的結(jié)論繼續(xù)拓展，并證明了恰當(dāng)弱解(滿足局部能量不等式的弱解)在時(shí)空中的奇異點(diǎn)集的1維parabolic Haussdorff測(cè)度為0，林芳華[5]簡(jiǎn)化了C.K.N的證明.通常稱這些工作為N-S方程解的部分正則性的研究.郭柏靈[6]討論了Boussinesq方程的部分正則性，辛周平[7]討論了MHD方程的部分正則性.Choe[8]考慮N-S方程和MHD方程奇異點(diǎn)集在經(jīng)變換后的Hausdorff測(cè)度，Youngwoo Koh[9]討論了N-S方程和MHD方程非正則點(diǎn)集的Minkowski維數(shù).筆者考慮Boussinesq方程恰當(dāng)弱解的時(shí)空非正則點(diǎn)集的Minkowski維數(shù).

定理1 對(duì)任意的γ<10/63,存在ε<1，ρ0<1,若當(dāng)0<ρ<ρ0，

(1)

則稱點(diǎn)z為正則點(diǎn)，其中ε僅依賴于引理4中的ζ.

定理2 拋物柱體S的Minkowski維數(shù)小于95/63.

1 維數(shù)的基本定義

存在很多種方法衡量集合的復(fù)雜幾何分布，其中最為常見(jiàn)的為Hausdorff維數(shù)和Minkowski維數(shù)，下面來(lái)回顧一下Hausdorff和Minkowski兩種維數(shù)的基本定義：

(2)

如果極限存在，則稱其為集合S的parabolic Minkowski維數(shù).

通常情況下，同一集合S的不同分形維數(shù)一般來(lái)說(shuō)都是不一樣的，因?yàn)樗麄兎从持煌膸缀谓Y(jié)構(gòu).由parabolic Hausdorff維數(shù)和parabolic Minkowski維數(shù)的定義可知

2 基本引理

首先回顧恰當(dāng)弱解的定義

(3)

(4)

定義4 (scaled functional)定義

引理1(插值不等式) 對(duì)任意的 0

引理2(壓力不等式) 對(duì)任意的 0

引理2的證明 我們考慮方程

(5)

其中p1滿足

(6)

Δp2=0

(7)

因此我們可以得到以下關(guān)于q0的相關(guān)估計(jì)

其中c3為常數(shù).把以上兩個(gè)式子應(yīng)用到第(6)式中，然后利用H?lder不等式得到

因此得到

將上式兩邊同時(shí)擴(kuò)大3/2 倍后對(duì)時(shí)間t積分，隨后再利用H?lder不等式得

(8)

由于p=p1+p2，則

(9)

因?yàn)閜2為調(diào)和函數(shù)，故

兩邊同時(shí)對(duì)時(shí)間t積分得

(10)

即完成了引理2的證明.

引理3(溫度不等式) 對(duì)任意的0

該引理的證明類似于引理1的證明，即把引理1證明過(guò)程中的v替換成θ即可.

引理4(正則性準(zhǔn)備) 存在正常數(shù)ζ，如果存在正數(shù)r，使得

成立，則稱點(diǎn)z為正則點(diǎn).

引理4的證明參考文獻(xiàn)[10]中Proposition 2.8的證明過(guò)程.因?yàn)槲墨I(xiàn)[10]中證明的是N-S方程恰當(dāng)弱解正則點(diǎn)的條件，并且發(fā)現(xiàn)當(dāng)γ滿足0<γ≤1/2時(shí)，N-S方程中的外力項(xiàng)f在證明Proposition 2.8所起的作用可以用本文中的θe3來(lái)代替.當(dāng)我們以類似證明Proposition 2.8的方法證明出本文中的v在z點(diǎn)H?lder連續(xù)時(shí)，我們將會(huì)在第4節(jié)的第五步給vH?lder連續(xù)時(shí)θ也相應(yīng)H?lder連續(xù)，因此就得出了引理4的證明.

3 定理1的證明

定理1的證明 第一步：若存在ρ<ρ0使得

(11)

成立，其中ε和γ將在后面被定義，則

(12)

同理我們可得到

(13)

第二步：令k=1,2,…,N，

(14)

其中α，β將在后面被確定.迭代壓力不等式，則有

因此根據(jù)引理4，我們只需證明

由此可知ε依賴于引理4中的ζ.

第三步：如果

RN=ρα-Nβ<2ρ

(15)

則利用H?lder不等式得

如果指數(shù)ρ非負(fù)，期望I有界，則應(yīng)滿足

(16)

利用插值不等式和(12)式，則有

因此

由H?lder不等式，溫度不等式和(13)式，可得

因此

則

選取

(17)

則

II

選取Nβ=1/6，則有

II

如果ρ非負(fù)，若要求II有界則應(yīng)滿足

(18)

(19)

要想滿足條件(15)式，則我們需滿足條件α-Nβ-1≥0，因此即有

由于取定Nβ=1/6，則由(19)式可知

則上述方程為線性拋物方程，根據(jù)文獻(xiàn)[11]中線性拋物方程弱解一節(jié)中的定理3.1.3可知以下結(jié)論成立，

故

由此可知，在vH?lder連續(xù)處θ也H?lder連續(xù)，即完成了定理1的證明.

4 定理2的證明

即完成了定理2的證明.

[1] Leray J. Surle mouvement d’un liquide visqueux emplissant l’espace[J]. Acta Math，1934, 63(1) ：193-248.

[2] Scheffer V. Partial regularity of solution to the Navier-Stokes equations[J]. Pacific J Math，1976，66(2) ：535-552.

[3] Scheffer V. Hausdorff measure and the Navier-Stokes equations[J]. Comm Math Phys，1977，55(2) ：97-112.

[4] Caffarelli L, Kohn R, Nirenberg L. Partial regularity of suitable weak solution of the Navier-Stokes equations[J]. Comm Pure Appl Math，1982，35(6)：771-831.

[5] Lin fanghua. A new proof of the caffarelli-kohn-nirenberg theorem[J]. Comm Pure Appl Math，1998，51：241-257.

[6] Guo boling，Yuan guangwei. On the suitable weak solutions for the Cauchy problem of the Boussinesq equations[J]. Nonlinear Anal，1996，26( 8)：1367-1385.

[7] He Chen，Xin Zhouping. On the regularity of weak solution to the incompressible magnetohydrodynamic equations[J]. J Funct Anal，2005，227(1)：113-152.

[8] Choe H J，Yang M. Hausdorff measure of the singular set in the incompressible magnetohydrodynamic equtions[J]. Comm Math Phys，2015，336(1)：171-198.

[9] Koh Y，Yang M. The Minkowski dimension of interior singular points in the incompressible Navier-Stokes equations[J]. arXiv:1603.01007 [math.AP].

[10] Ladyzhenskaya O A, Seregin G A. On partial regularity of suitable weak solution to the three dimensional Navier-Stokes equations[J]. Math Fluid Mech，1999，1(4)：356-387.

[11] 伍卓群，尹景學(xué)，王春朋. 橢圓與拋物型方程引論 [M]. 北京：科學(xué)出版社，2003.

(責(zé)任編輯 趙燕)

The Minkowski dimension of interior singular points of suitable weak solutions of the three dimensional of incompressible Boussinesq equations

LI Yuan

(School of Mathematics and Computational Science， Xiangtan University，Xiangtan 411100,China)

We studied the partial regularity of the suitable weak solution of the three dimensional of incompressible Boussinesq equations.We obtained the sufficient condition of regularity for suitable weak solutions, combining this result and the related interpolation inequalities and energy inequalities,we obtained a conclusion that the Minkowski dimension of singular points set of suitable weak solution was less than 95/63.

Boussinesq equations; suitable weak solution; partial regularity; singular point; Minkowski

2017-02-26

李圓(1993-)，男，碩士生，E-mail: myfx93@sina.com

1000-2375(2017)03-0241-07

O175.29

A

10.3969/j.issn.1000-2375.2017.03.006