曹笑笑,毛東玲,程強(qiáng),熊向團(tuán)
(西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,甘肅 蘭州 730070)
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帶有非齊次Neumann條件的Laplace方程Cauchy問(wèn)題的一種傅里葉正則化方法
曹笑笑,毛東玲,程強(qiáng),熊向團(tuán)
(西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,甘肅 蘭州 730070)
帶有非齊次Neumann條件的Laplace方程Cauchy問(wèn)題是一類嚴(yán)重不適定問(wèn)題,筆者考慮該問(wèn)題在無(wú)限條狀區(qū)域下的解并通過(guò)一種修改過(guò)的Fourier正則化方法構(gòu)造正則解,給出近似解和精確解的誤差估計(jì),最后由偏差原理得到近似解的后驗(yàn)誤差估計(jì).
不適定問(wèn)題;正則化方法;誤差估計(jì)
帶有Neumann邊界條件的Helmholtz方程在許多物理應(yīng)用中討論過(guò)[1-3],Tautenhahh[4]中利用Tikhonov方法和奇異值分解得到解的誤差估計(jì),F(xiàn)u等[5]中給出該問(wèn)題的Cauchy問(wèn)題的先驗(yàn)正則化方法,文獻(xiàn)[6]中利用截?cái)喾椒ǖ玫胶篁?yàn)正則化方法及收斂性估計(jì),該方法通過(guò)直接去掉高頻部分使問(wèn)題變得適定.筆者將給出一種新的Fourier正則化方法,該方法優(yōu)點(diǎn)在于不用將高頻部分全部截?cái)酁榱?,從而得到更精確的近似解.
考慮下述定義在Rn+1上的條狀區(qū)域內(nèi)的Helmholtz方程:
(1)
本文中分為4個(gè)部分,后面的部分安排如下:第二部分給出該問(wèn)題的解及條件穩(wěn)定性結(jié)果;第三部分給出在后續(xù)論證中比較重要的引理;第四部分主要使用先驗(yàn)正則化方法給出了精確解和近似解的誤差估計(jì)以及參數(shù)選擇;第五部分分析了后驗(yàn)正則化方法的誤差估計(jì).
直接由Fourier方法給出(1)式的解為:
(2)
或者等價(jià)于:
(3)
‖ψ(·)-ψδ(·)‖≤δ
(4)
其中‖·‖是定義在L2(Rn)上的范數(shù),根據(jù)文獻(xiàn)[6]中所定義的先驗(yàn)界得:
(5)
定理1 假設(shè)先驗(yàn)界(5)式成立,且由(3)式給出的u(x,y)是問(wèn)題(1)式的解,則有下列的條件穩(wěn)定性結(jié)果:
‖u(x,·)‖≤Ex‖ψ‖1-x
(6)
該證明已由文獻(xiàn)[6]中給出,在此略去.
現(xiàn)在我們給出一些在后續(xù)結(jié)論中非常重要的引理.
引理2 對(duì)任意的x∈(0,1),有:
(7)
引理 2的證明
引理3 對(duì)任意的x∈(0,1)有:
(8)
引理3的證明 因?yàn)閤∈(0,1),則有:
可得1-e-2x|ξ|<1-e-2|ξ|,得證.
下面使用新的正則化方法得出解的收斂性估計(jì).
首先定義正則化算子:
(9)
(10)
定理4的證明 首先定義
(11)
和α=e-2xξmax,根據(jù)三角不等式和Parseval等式,我們有:
(12)
和
(13)
(14)
證畢.
根據(jù)偏差原理,ξmax可以看做下述方程的解:
(15)
其中r>1是一個(gè)常數(shù).通常情況下假定‖ψδ‖>δ成立.下文中根據(jù)上述參數(shù)選取規(guī)則給出ξmax的估計(jì).
引理5 假設(shè)條件(4)式和(6)式成立,并且ξmax是方程(15)的解,則下式成立:
(16)
引理5的證明 根據(jù)(6)式和引理2易知:
(17)
根據(jù)三角不等式有:
(18)
(19)
因此,
(20)
證畢.
下面我們給出問(wèn)題(1)式近似解的誤差估計(jì).
定理6 假設(shè)條件(4)式和(5)式都成立,且ξmax是(15)式的解,則有下列估計(jì):
(21)
定理6的證明 根據(jù)三角不等式和Parseval等式有:
(22)
下面分別對(duì)I3和I4進(jìn)行估計(jì),
則
(23)
則
(24)
(25)
證畢.
注記:現(xiàn)在可以考慮定義在Rn+1上的條狀區(qū)域內(nèi)的Helmholtz方程的Cauchy問(wèn)題:
(26)
根據(jù)線性性,可將該問(wèn)題拆分成帶有和非齊次Neumann和Dirichlet邊界條件的兩個(gè)問(wèn)題:
(27)
和
(28)
上述Fourier方法同樣可以用于問(wèn)題(28)式,證明過(guò)程與之類似,在此不予贅述,從而可得到問(wèn)題(26)式的誤差估計(jì).
本文中我們給出一種非常簡(jiǎn)單和方便的Fourier正則化方法,并且給出近似解和精確解之間的誤差估計(jì).與文獻(xiàn)[5]中結(jié)果相比,此方法得到的誤差估計(jì)更加精確,因此對(duì)于給出的噪音數(shù)據(jù)ψδ,本文中可以得到較好的收斂性結(jié)果.
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(責(zé)任編輯 趙燕)
A Fourier method for solving the Cauchy problem for the Laplace equation with nonhomogeneous Neumann data
CAO Xiaoxiao,MAO Dongling,CHENG qiang,XIONG Xiangtuan
(College of Mathematics and Statistics,Northwest Normal University,Lanzhou 730070,China)
The Cauchy problem for the Laplace equation with nonhomogeneous Neumann data is a severely ill-posed problem.In this paper,the problem in an infinite“strip”domain is considered and we construct a regularization solution by using a new Fourier method.The error estimate between regularization approximation solution and exact solution is given,and the estimate of regularization solution is also done by discrepancy principle.
ill-posed problem;regularization method;error estimate
2016-10-29
曹笑笑(1994-),女,碩士生;熊向團(tuán),通信作者,教授,E-mail:xiongxt@gmail.com
1000-2375(2017)03-0236-05
TB324.1
A
10.3969/j.issn.1000-2375.2017.03.005