陳連玉

原題：“一百饅頭一百僧，大僧三個(gè)更無爭(zhēng)。小僧三人分一個(gè)，大小和尚得幾丁？”意思是：100個(gè)和尚吃100個(gè)饅頭。大和尚1人吃3個(gè)，小和尚3人吃1個(gè)。求大、小和尚各多少人。（以下簡(jiǎn)稱“題1”）

大部分教師是這樣解的：從題中信息“大和尚1人吃3個(gè)，小和尚3人吃1個(gè)”，知道1個(gè)大和尚和3個(gè)小和尚一共吃4個(gè)饅頭，也就是說4個(gè)饅頭正好分給1個(gè)大和尚和3個(gè)小和尚。所以我們可以把100個(gè)饅頭每4個(gè)分成一組，一共可以分成100÷4=25組，而100個(gè)和尚也正好分成這樣的25組。在每組中有1個(gè)大和尚和3個(gè)小和尚，這樣就可知大和尚有25人，小和尚有75人。這就是用分組法解答“雞兔同籠”一類的具體問題。

如果用“雞兔同籠”問題的常用解法，即用假設(shè)法來解答，我們可以這樣解答：假如全部是大和尚，那么就會(huì)吃掉100×3=300個(gè)饅頭，這樣就多吃300-100=200個(gè)饅頭。而把3個(gè)小和尚當(dāng)作3個(gè)大和尚，就會(huì)多吃3×3-1=8個(gè)饅頭，多吃8×2個(gè)饅頭就是把3×2個(gè)小和尚當(dāng)成3×2個(gè)大和尚了，多吃8x3個(gè)饅頭就是把3×3個(gè)小和尚當(dāng)成3×3個(gè)大和尚了……所以小和尚是200÷8×3=75個(gè)，大和尚是25個(gè)。

顯然，分組法解答本題是最省事，學(xué)生也最容易理解的方法。不過，題目中有這樣的信息：大、小和尚數(shù)是成比例關(guān)系的（從人數(shù)和饅頭數(shù)都可以分成25組可知），即是可以分成組，分成1個(gè)大和尚帶3個(gè)小和尚的小組，也就是1個(gè)大和尚和3個(gè)小和尚，2個(gè)大和尚和6個(gè)小和尚這樣搭配成組的情況。

但如果大、小和尚數(shù)不成比例的話，用該分組法就解答不出了。我們不妨設(shè)計(jì)一個(gè)題2——百僧吃九十二饃：100個(gè)和尚吃92個(gè)饅頭。大和尚1人吃3個(gè)，小和尚3人吃1個(gè)。求大、小和尚各多少人。

如果我們不仔細(xì)分析，一開始就用分組法來解答的話：92個(gè)饅頭可以分成92÷（3+1）=23組，因此大和尚有23個(gè)，小和尚有100-23=77個(gè)。

我們馬上就會(huì)發(fā)現(xiàn)，小和尚數(shù)目不對(duì)，不是3的倍數(shù)，為什么呢？這就回到題1——百僧吃百饃這問題的特殊性，饃跟和尚都是剛好可以分成25組，即他們是成比例的。而我們看題2，和尚可以分成100：-4=25組，但是92個(gè)饃只能分成92÷4=23組，可見他們是不成比例的，所以本題用假設(shè)法求解才對(duì)。用假設(shè)法我們可以這樣解答：假如全部是大和尚，那么就會(huì)吃掉100×3=300個(gè)饅頭，這樣就多吃300-92=208個(gè)饅頭。而把3個(gè)小和尚當(dāng)作3個(gè)大和尚，就會(huì)多吃3×3-1=8個(gè)饅頭，也就是每多出8個(gè)饅頭就是把3個(gè)小和尚當(dāng)成3個(gè)大和尚了，所以小和尚是208÷8×3=78個(gè)，大和尚是22個(gè)。

如果我們把題2改造成一個(gè)成比例的數(shù)字關(guān)系，出題3：假如我們學(xué)校四年級(jí)45個(gè)師生開展植樹比賽，教師1人可以植樹3棵，學(xué)生2人可以植樹l棵，共植樹60棵，求教師、學(xué)生各多少人。

此時(shí)，因?yàn)閹熒纸M數(shù)為45÷（1+2）=15組，和種植的樹的分組數(shù)60÷（3+1）=15組是相同的，即師生數(shù)是成比例的，所以用分組法解答本題是最快捷的，即教師15人，學(xué)生30人。而該題用假設(shè)法解答就較費(fèi)事：假如全部是教師，那么就可以植樹45×3=135棵，這樣就多出135-60=75棵。把2個(gè)學(xué)生當(dāng)作2個(gè)教師，每次就會(huì)多出3×2-1=5棵，也就是每多出5棵樹就是把2個(gè)學(xué)生當(dāng)成2個(gè)教師了，所以學(xué)生是75+5x2=30個(gè)，教師是45-30=15個(gè)。

筆者在這里研究不成比例的數(shù)量關(guān)系，即題2的這種情況，在正常授課時(shí)是不一定要拓展的。教師們講解“百僧吃百饃”的問題時(shí)，需注意其中的“成比例”（分組數(shù)相同）問題。教師是有必要了解到這一點(diǎn)的，否則，所提供的分組法就還有邏輯上的缺陷。