蔡志杰,陳娓,李大潛,王敬農(nóng)

(1.復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,上海市現(xiàn)代應(yīng)用數(shù)學(xué)重點實驗室,非線性數(shù)學(xué)模型與方法教育部重點實驗室,上海 200433; 2.上海立信會計金融學(xué)院統(tǒng)計與數(shù)學(xué)學(xué)院,上海 201209; 3.中國石油集團(tuán)測井有限公司技術(shù)中心,陜西 西安 710077)

0 引 言

在油氣勘探開發(fā)中,自然電位測井(Spontaneous Potential Well-logging)是最常使用的常規(guī)測井方法之一。由電化學(xué)理論可知,地層中正負(fù)離子具有不同的遷移速度,且泥質(zhì)顆粒經(jīng)常吸附正離子,因此,在不同的地層交界面上會產(chǎn)生穩(wěn)定的電位差,稱為自然電動勢,從而在地層中形成一個電場。為與人為供電產(chǎn)生的人工電場相區(qū)別,稱其為自然電場。自然電場的分布與巖性有密切關(guān)系,特別是在砂/泥巖剖面中能以明顯的曲線異常變化顯示出滲透性地層。通過測量自然電場沿井軸方向的電位變化反映巖性剖面的測井方法稱為自然電位測井。自然電位測井具有方法簡單、應(yīng)用價值高等特點,是劃分巖性,研究儲集層性質(zhì),求取地層水電阻率、泥質(zhì)含量、陽離子交換量和判斷水淹層的有效方法之一[1-3]。

在進(jìn)行自然電位測井時,將測量電極置于井筒內(nèi),測量其上的電位,并不斷提升測量電極,可得到相應(yīng)的自然電位曲線(SP曲線)[4-8]。自然電位測井在軸對稱情形的數(shù)學(xué)模型及其理論基礎(chǔ)與求解方法已在文獻(xiàn)[9-10]中作了系統(tǒng)總結(jié)。然而,在地層的結(jié)構(gòu)不具有軸對稱性,或測量電極不處于井筒的中心位置時,就不能再使用軸對稱模型,而必須考慮三維情形的自然電位測井問題。該問題的有效解決,對研究非軸對稱情況的自然電位測井電極系的特性、電極系的優(yōu)選及考察環(huán)境因素的影響規(guī)律和環(huán)境校正圖版的制作,從而提升利用自然電位求取地層參數(shù)的精度具有重要的價值。

本文重點討論三維自然電位測井的問題,提出相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型,并建立其理論與算法的基礎(chǔ)?；谟邢拊胤ǖ臄?shù)值模擬表明,與常用的測量電極居中的軸對稱模型相比,測量電極緊貼或靠近井壁的三維模型可以得到更接近于靜自然電位的自然電位值,特別對薄目的層的情況是如此。

1 模型的建立

圖1 地層剖面示意圖

(1)

在Ωi中(i=1,…,5)

(2)

取地表面上Γ1部分的電位值為0,作為參考電位

u|Γ1=0

(3)

在井口、無窮遠(yuǎn)邊界及電極的絕緣表面(記為Γ2)上均沒有電流通過,因此其上的邊界條件為

(4)

測量電極主要用來測量電極表面的電位值,而不發(fā)射電流。由于電極是良導(dǎo)體,其表面上的電位值應(yīng)處處相等,為一個(待定)常數(shù),于是在電極表面(記為Γ0)上應(yīng)滿足如下的等位面邊界條件

u|Γ0=U(待定常數(shù))

(5)

(6)

對于空間自然電位測井而言,電極Γ0不一定位于井筒的中心位置,也不一定要求其具有圓柱形的形狀。

在不同子區(qū)域的交界面(記為γk,k=1,…,8)上,由電流的連續(xù)性,應(yīng)滿足如下的交界面條件

(7)

而由于不同介質(zhì)的交界面上存在自然電位差,因而

(u+-u-)|γk=Ek(k=1,…,8)

(8)

式中,Ek為交界面γk(k=1,…,8)上的自然電位差,在應(yīng)用中常設(shè)為常數(shù),“+”和“-”分別表示函數(shù)在交界面兩側(cè)的值,而在交界面上的單位法向量n規(guī)定對兩側(cè)有同一取向。

至此,得到自然電位測井的數(shù)學(xué)模型(2)～(8),將其記為(SP)。

作變換

(9)

式中,u0為如下的分塊常數(shù)函數(shù)

(10)

(u+-u-)|γk=Fk(k=1,…,8)

(11)

式中,

F1=F2=F3=F4=0

F5=E5-E1+E2

F6=E6+E2-E3

F7=E7-E1+E2+E4

F8=E8+E2-E3+E4

(12)

即在垂直交界面上不再存在自然電位差。顯然,經(jīng)變換后的問題比原問題簡單,再回到原先的問題,就易見有如下結(jié)論,它會極大地減少制作相應(yīng)測井解釋圖版的工作量。

定理1.1對任意給定的幾何結(jié)構(gòu)及地層電阻率,井筒Ω1及上圍巖Ω2中的自然電位函數(shù)僅依賴于常數(shù)E1、E5-E1+E2、E6+E2-E3、E7-E1+E2+E4和E8+E2-E3+E4,而不是依賴于獨立的8個常數(shù)Ek(k=1,…,8)。

可以考慮(而且在下面的討論中也要用到)更為一般的情形,即交界面上的自然電位差Ek(k=1,…,8)可以不是常數(shù),而是函數(shù)。假設(shè)Ek(k=1,…,8)是H?lder連續(xù)的,為保證交界面條件(8)與邊界條件(4)的相容性,總假設(shè)

(13)

在今后對自然電位測井的求解中,只用到在

γ1∩γ2∩γ5,γ2∩γ3∩γ6,

γ4∩γ5∩γ7,γ4∩γ6∩γ8

(14)

附近Ek為一般函數(shù),而其余處Ek仍為常數(shù)的情形,此時式(13)自然滿足。

2 相容性條件與解的存在唯一性

為求解上述模型(SP),考慮等價的變分問題,為此先引進(jìn)幾個有關(guān)的函數(shù)集合。

對任意給定的p(1

Vp={v|v∈W1,p(Ωi)(i=1,…,5),

(v+-v-)|γk=Ek(k=1,…,8),

v|Γ1=0,v|Γ0=常數(shù)}

(15)

式中,W1,p(1

W1,p={v|v∈Lp,v∈Lp}

(16)

其上的范數(shù)定義為

(17)

這樣,與模型(SP)等價的變分問題為:求u∈Vp,使得

(18)

式中,

(v+-v-)|γk=0(k=1,…,8),

v|Γ1=0,v|Γ0=常數(shù)}=

{v|v∈W1,p′(Ω),v|Γ1=0,v|Γ0=常數(shù)}

(19)

如果交界面上的自然電位差Ek(k=1,…,8)在各交界面的交會處(14)的代數(shù)和分別為0,即滿足

(20)

則稱交界面上的自然電位差滿足相容性條件。此時,可在分塊H1空間中求解上述問題(SP),并可用有限元素法求其數(shù)值解。

然而,交界面上的自然電位差通常并不滿足相容性條件(20),此時整個電場中的電位函數(shù)具有一定的奇性,不再屬于分塊H1空間,從而不僅在理論分析上有本質(zhì)上的困難,而且不能用有限元素法直接進(jìn)行數(shù)值求解。

下面先考慮在一般情況下解應(yīng)該隸屬的空間,有關(guān)結(jié)論的證明可參見文獻(xiàn)[15]。

(21)

此處及以后,C(p)均表示一個僅依賴于p的正常數(shù)。

(22)

即

(23)

式中,在Ωi中,σ=σi,f=(f1,f2,f3)=σiw(i=1,…,5)。顯然,f∈(L2(Ω))3。

如果相容性條件(20)不滿足,由引理2.1,V2=?,因而變分問題(18)不存在分塊H1解。而由引理2.2,對任意給定的p(1

定理2.1存在ε0>0,對于任意給定的p(2-ε0

(24)

3 求解方法

如果相容性條件(20)成立,變分問題(18)存在唯一的分塊H1解u∈V2,因此可以直接使用有限元素法進(jìn)行數(shù)值計算。

如果相容性條件(20)不滿足,由引理2.1,V2=?,因而變分問題(18)不存在分塊H1解。而由定理2.1,存在ε0>0,對任意滿足2-ε0

由于奇性的存在,此時不能直接使用有限元素法求解(18),需要采用一些方法除去這一奇性。本文采用過渡帶法(又稱為交界面條件相容化方法,參見文獻(xiàn)[5,9-10])。

對充分小的ε>0,定義

(25)

式中,

(26)

而dk(k=1,3,7,8)和dk1,dk2(k=2,4,5,6)分別表示P到各交界面交會處(14)的最小距離

d1=d(P,γ1∩γ2∩γ5),

d3=d(P,γ2∩γ3∩γ6),

d7=d(P,γ4∩γ5∩γ7),

d8=d(P,γ4∩γ6∩γ8),

d21=d1,d22=d3,d41=d7,d42=d8,

d51=d1,d52=d7,d61=d3,d62=d8

定理3.1存在ε0>0,使對任意給定的p(2-ε0

(27)

從而,由線性迭加原理

(28)

所以,uε→u在W1,p(2-ε0

4 數(shù)值模擬

為了進(jìn)行數(shù)值模擬[18],選取參數(shù)值:井筒半徑0.101 6 m,侵入帶半徑0.65 m,電極半徑0.045 m,電極高度0.054 m,所考慮區(qū)域的徑向?qū)挾?0 m,縱向深度100 m,目的層的層厚分別取為4、0.3 m和0.06 m。各交界面γk(k=1,…,8)上的自然電位差分別為E1=10 mV,E2=20 mV,E3=10 mV,E4=0 mV,E5=130 mV,E6=130 mV,E7=100 mV,E8=100 mV,各地層介質(zhì)的電阻率為ρ1:ρ2:ρ3:ρ4:ρ5=1∶10∶10∶50∶100。

圖2 電極居中與電極靠近井壁時自然電位測井曲線的比較

4.1 電極靠近井壁與電極居中2種情況的比較

首先對電極靠近井壁與電極居中這2種測量電極放置方式進(jìn)行數(shù)值模擬,并對相應(yīng)的自然電位測井曲線進(jìn)行比較。

(1) 測量電極靠近井壁,距井壁1～2 mm。此時,由于電極是偏心的,必須在三維空間中進(jìn)行數(shù)值計算,采用過渡帶法計算。

(2) 按照傳統(tǒng)的測量方法將圓柱形電極居中。此時,電極的軸線與井軸線重合。由于地層和電極關(guān)于井軸都是對稱的,可以利用軸對稱問題時的結(jié)果[5-10]。

圖2顯示了對不同的目的層層厚,2種電極放置方式下自然電位測井曲線的相應(yīng)數(shù)值模擬結(jié)果。這些結(jié)果表明,電極居中與電極靠近井壁時的自然電位測井曲線有一定的偏差,后者在目的層附近的異常特征較前者明顯,而且層越薄,這種特點越明顯。圖2(c)顯示,在層厚為0.06 m時,電極靠近井壁時的自然電位測井曲線的異常幅值約為電極居中時的3倍,這會在一定程度上提高對薄層的識別能力。因此,將電極靠近井壁進(jìn)行測量,可以有效地改善對薄目的層的測井質(zhì)量。

4.2 電極靠近井壁與電極緊貼井壁2種測量方式的數(shù)值比較

上面的數(shù)值結(jié)果告訴我們,對于薄層的情形,如果將測量電極靠近井壁進(jìn)行測量,得到的自然電位測井曲線比電極居中時更加清楚直觀,可以在一定程度上提高測井質(zhì)量。值得注意的是,在電極的金屬柱面緊貼井壁的情形,相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型必須要作適當(dāng)?shù)男薷摹＿@是因為,此時在電極與井壁之間的井筒泥漿不再存在,原先在這部分井筒泥漿與其他介質(zhì)(侵入帶或者上下圍巖層)的交界面不再存在,從而在此處不會有自然電位的跳躍。因此,與電極靠近井壁(或居中)的情形不同,僅需考慮在電極金屬表面Γ0上的等位面邊界條件,而不必考慮相應(yīng)的井筒泥漿與其他介質(zhì)的交界面條件,這就需要適當(dāng)?shù)匦薷那懊婺Ｐ椭芯谔幍慕唤缑鏃l件。具體來說,應(yīng)將電極表面Γ0與井壁緊貼的部分從交界面上剔除,而將交界面條件(7)～(8)寫成

(29)

經(jīng)這樣的修改后,在電極緊貼井壁的情形仍可用前述的三維有限元方法來數(shù)值模擬求解,此處不再贅述。

圖3 電極靠近井壁與電極緊貼井壁時自然電位測井曲線的比較

圖3顯示了對不同的目的層層厚,在2種電極放置方式下自然電位測井曲線的相應(yīng)數(shù)值模擬結(jié)果。這些結(jié)果表明,電極緊貼井壁時的自然電位測井曲線在目的層附近異常幅度較為明顯,與電極靠近井壁的情形相比較,對地層的分辨能力大大提高。當(dāng)目的層較薄時,2條測井曲線的差異特別明顯。

在工程中若采用電極緊貼井壁的方式進(jìn)行測量,將顯著提高對薄目的層的識別能力,大大改善測井質(zhì)量。

5 結(jié)束語

本文建立了三維自然電位測井的完整的數(shù)學(xué)模型,分別給出了分塊H1解和分塊W1,p(1

參考文獻(xiàn):

[1] 張庚驥. 電法測井 [M]. 東營: 石油大學(xué)出版社,1996.

[2] 楚澤涵,黃隆基,高杰,等. 地球物理測井方法與原理: 上冊 [M]. 北京: 石油工業(yè)出版社,2007.

[3] 潘和平,馬火林,蔡柏林,等. 地球物理測井與井中物探 [M]. 北京: 科學(xué)出版社,2009.

[4] 彭躍軍. 自然電位測井中的數(shù)學(xué)方法 [J]. 應(yīng)用數(shù)學(xué)與計算數(shù)學(xué)學(xué)報,1988,2(2): 35-43.

[5] LI T T,TAN Y J,PENG Y J,et al. Mathematical Methods for the SP Well-logging: Applied and Industrial Mathematics [M]. Venice-1 (edited by R. Spigler),Kluwer Academic Publishers,1991,343-349.

[6] LI T T,TAN Y J,PENG Y J. Mathematical Model and Method for the Spontaneous Potential Well-logging [J]. European Journal of Applied Mathematics,1994,5: 123-139.

[7] 李海龍. 均勻地層中自然電位測井方程的“精確解” [J]. 數(shù)學(xué)年刊,1996,17A(1): 87-96.

[8] ZHOU Y,CAI Z J. Convergence of a Numerical Method in Mathematical Spontaneous Potential Well-logging [J]. European Journal of Applied Mathematics,1996,7(1): 31-41.

[9] 李大潛,蔡志杰,陳娓,等. 自然電位測井?dāng)?shù)學(xué)模型與求解方法 [J]. 測井技術(shù),2012,36(3): 211-224.

[10] LI T T,TAN Y J,CAI Z J,et al. Mathematical Model of Spontaneous Potential Well-logging and Its Numerical Solutions [M]. Springer-Verlag,2013.

[11] 李大潛,等. 有限元素法在電法測井中的應(yīng)用 [M]. 北京: 石油工業(yè)出版社,1980.

[12] LI T T,et al. Boundary Value Probelms with Equivalued Surface and Resistivity Well-logging: Pitman Research Notes in Mathematics Series 382 [Z]. Chapman & Hall/CRC,1998.

[13] 蔡志杰. 自然電位測井的數(shù)學(xué)模型 [J]. 數(shù)學(xué)建模及其應(yīng)用,2014,3(4): 1-7.

[14] ADAMS R A. 索伯列夫空間 [M]. 葉其孝,王耀東,應(yīng)隆安,等譯. 北京: 人民教育出版社,1981.

[15] 電法測井的數(shù)學(xué)建模及數(shù)值模擬課題組工作報告第24號: 三維自然電位測井的數(shù)學(xué)模型與理論基礎(chǔ) [R]. 2014.

[16] GILBARG D,TRUDINGER N S. 二階橢圓型偏微分方程 [M]. 葉其孝,等譯. 上海: 上海科學(xué)技術(shù)出版社,1981.

[17] 陳亞浙,吳蘭成. 二階橢圓型方程與橢圓型方程組 [M]. 北京: 科學(xué)出版社,1991.

[18] 電法測井的數(shù)學(xué)建模及數(shù)值模擬課題組工作報告第25號: 測量電極緊貼井壁時的三維自然電位測井 [R]. 2014.

[19] GRISVAND P. Elliptic Problems in Nonsmooth Domains [M]. Pitman Advanced Publishing Program. 1985.