徐明坤+丁斯昊+尚孟瑤

摘 要：針對陀螺轉(zhuǎn)子偏轉(zhuǎn)角的測量，采用降維分析的方法，建立了靜態(tài)模型與動(dòng)態(tài)模型。首先根據(jù)空間幾何關(guān)系和坐標(biāo)變換原理得出陀螺轉(zhuǎn)子相關(guān)參數(shù)間的關(guān)系式，基于此推導(dǎo)出具有垂直關(guān)系的兩個(gè)低維度偏轉(zhuǎn)角測量公式，合成偏轉(zhuǎn)角在三維空間中關(guān)于占空比的二元關(guān)系式；并對線性關(guān)系的條件進(jìn)行了仿真分析，發(fā)現(xiàn)方位角在±30°內(nèi)一元線性關(guān)系良好。此種測量方法便捷、精確度較高，具有一定的應(yīng)用價(jià)值。

關(guān)鍵詞：降維分析；靜（動(dòng)）態(tài)模型；線性度；MATLAB仿真；占空比

1 概述

從力學(xué)角度分析，陀螺轉(zhuǎn)子可近似為繞一定支點(diǎn)的做三自由度運(yùn)動(dòng)的剛體，即繞其對稱軸高速旋轉(zhuǎn)的飛輪轉(zhuǎn)子。陀螺轉(zhuǎn)子通常采用同步電機(jī)、磁滯電機(jī)等拖動(dòng)方法來使其繞自轉(zhuǎn)軸高速旋轉(zhuǎn)，且轉(zhuǎn)速近似為常值。

當(dāng)陀螺轉(zhuǎn)子以一定的角速度繞其自轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，其自轉(zhuǎn)軸在三維空間內(nèi)相對于原自轉(zhuǎn)軸位置所偏轉(zhuǎn)的角度為偏轉(zhuǎn)角（工程上稱為方位角），廣泛應(yīng)用于導(dǎo)彈的離軸發(fā)射和制導(dǎo)、雷達(dá)搜索及隨動(dòng)、飛機(jī)船舶的航向陀螺儀等。因此其測量精度具有至關(guān)重要的意義。

典型的陀螺轉(zhuǎn)子成球臺(tái)結(jié)構(gòu)，在其表面涂覆有黑、白相間的條紋圖案，一個(gè)黑色條紋和與其相鄰的白色條紋為一組條紋，如圖1所示。工程上常采用光電傳感器測量陀螺轉(zhuǎn)子的方位角，光電傳感器可以接收到黑、白條紋所反射的光，由于黑白條紋對信號(hào)光的反射率差異，可以定義光電傳感器接收到白條紋反射光的時(shí)間與接收到該組黑白條紋反射光的時(shí)間之比為占空比k。若陀螺轉(zhuǎn)子的自轉(zhuǎn)速度恒定，則占空比可以轉(zhuǎn)換為光電傳感器所在的平面與陀螺轉(zhuǎn)子表面相交的交線在白條紋部分的弧長與在該組黑白條紋部分的弧長之比。

2 位標(biāo)器的分布及基本模型的搭建

2.1 位標(biāo)器分布模型

考慮到陀螺轉(zhuǎn)子做三自由度的運(yùn)動(dòng)，其自轉(zhuǎn)軸在三維空間的偏轉(zhuǎn)角Φ可降成兩個(gè)維度的分量，那么用一個(gè)位標(biāo)器測量的占空比k必然不能反映偏轉(zhuǎn)角Φ真實(shí)值作用，因此在每個(gè)獨(dú)立的維度上放置位標(biāo)器。為了防止位標(biāo)器分布造成的微小誤差，每個(gè)維度上兩個(gè)方向各放置一個(gè)位標(biāo)器，位于與陀螺轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)軸垂直的同心圓上，如圖1所示。

2.2 模型準(zhǔn)備

以陀螺轉(zhuǎn)子的球心為坐標(biāo)原點(diǎn)，自轉(zhuǎn)軸為X軸，建立右手坐標(biāo)系。

假設(shè)在轉(zhuǎn)子表面涂覆的黑、白條紋的數(shù)目均為n，則赤道圓上每個(gè)黑條紋或白條紋所對應(yīng)的角度α=π/n；陀螺轉(zhuǎn)子上下表面對應(yīng)的球心角為Φm，如圖2所示（以紅色標(biāo)識(shí)白條紋）?；BI所在大圓可以看作是過B點(diǎn)的經(jīng)線圓（即弧ABC所在的大圓）以O(shè)B為軸（即Y軸）逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)β角而得到的，弧DEF所在的大圓可以看作是過B點(diǎn)的經(jīng)線圓繞X軸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角而得到的。

當(dāng)轉(zhuǎn)子以一定的角速度繞其自轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，自轉(zhuǎn)軸會(huì)隨著外界環(huán)境以球心為定點(diǎn)發(fā)生偏轉(zhuǎn)。若陀螺轉(zhuǎn)子沒有發(fā)生偏轉(zhuǎn)，四個(gè)光電傳感器所測得的占空比是相同的；若自轉(zhuǎn)軸發(fā)生偏轉(zhuǎn)，則四個(gè)傳感器所測得的占空比也會(huì)發(fā)生變化，根據(jù)光電傳感器測得的占空比即可計(jì)算出陀螺轉(zhuǎn)子的偏轉(zhuǎn)角度。

3 陀螺轉(zhuǎn)子參數(shù)α、Φm和β之間的關(guān)系

模型準(zhǔn)備里已提到，弧DBI所在的大圓（設(shè)為圓O1）可以看作是過B點(diǎn)的經(jīng)線圓以O(shè)B為軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)β角而得到的，弧DEF所在的大圓可以看作是過B點(diǎn)的經(jīng)線圓繞X軸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角而得到的。兩圓交點(diǎn)為D，由幾何關(guān)系：

設(shè)過D點(diǎn)的緯度圓為圓O2，在OXYZ坐標(biāo)系內(nèi) ，圓O2的方程為：

圓O1的坐標(biāo)在OXYZ坐標(biāo)系內(nèi)不易直接求出，可以通過坐標(biāo)變換的方法求出，設(shè)OXYZ坐標(biāo)系以同樣的方式旋轉(zhuǎn)β角后得到的新坐標(biāo)系為OX1Y1Z1，則在新坐標(biāo)系內(nèi)，圓O1可以表示為：

根據(jù)坐標(biāo)變換原理，從坐標(biāo)OXYZ到OX1Y1Z1的坐標(biāo)變換矩陣可以表示為：

從而：

將式（3）代入式（2）得圓O1在OXYZ坐標(biāo)系內(nèi)的公式為：

聯(lián)立式（4）與式（1），求得D點(diǎn)坐標(biāo)為：

則有：

4 陀螺轉(zhuǎn)子偏轉(zhuǎn)角測量模型

4.1 靜態(tài)模型與動(dòng)態(tài)模型的建立

轉(zhuǎn)子偏轉(zhuǎn)角為Φ，但自轉(zhuǎn)軸偏轉(zhuǎn)的方向不定。將偏轉(zhuǎn)角的運(yùn)動(dòng)分解為一個(gè)自轉(zhuǎn)軸在XOY平面的偏轉(zhuǎn)角為Φ1的運(yùn)動(dòng)與一個(gè)自轉(zhuǎn)軸在XOZ平面的偏轉(zhuǎn)角為Φ2的運(yùn)動(dòng)，Φ1與Φ2所對應(yīng)的k值由對應(yīng)的兩個(gè)相鄰的傳感器測得。

利用幾何關(guān)系得Φ、Φ1與Φ2關(guān)系為：

Φ1與Φ2的求法相同，下面以求Φ1與占空比k1的關(guān)系為例，通過建立靜態(tài)坐標(biāo)系與動(dòng)態(tài)坐標(biāo)系求解。

設(shè)轉(zhuǎn)子的自轉(zhuǎn)軸為X'軸，建立右手坐標(biāo)系O'X'Y'Z'該坐標(biāo)系不隨轉(zhuǎn)子的運(yùn)動(dòng)而變，稱為靜態(tài)坐標(biāo)系。然后z軸不動(dòng)，以z軸為軸逆時(shí)針轉(zhuǎn)過一個(gè)角度Φ1，從而z軸與z′軸仍然重合，x軸與y軸相比于X'軸和Y'軸都偏轉(zhuǎn)Φ1角（∠XOX'=∠YOY'=Φ1），此時(shí)旋轉(zhuǎn)軸為X軸，坐標(biāo)系OXYZ與轉(zhuǎn)子固連，稱其為動(dòng)態(tài)坐標(biāo)系。為圖示方便，把偏轉(zhuǎn)后的陀螺轉(zhuǎn)子擺正，如圖3所示。

陀螺轉(zhuǎn)子的自轉(zhuǎn)速度恒定，則占空比k1可以轉(zhuǎn)換為傳感器所在的平面（圓O3）與轉(zhuǎn)子表面相交的交線在白條紋部分（弧MP）的弧長與在該組黑白條紋部分（弧MN）的弧長之比，而弧MP與弧MN均在圓O3上，故弧長之比可等價(jià)為弧所對應(yīng)的圓心角之比。設(shè)弧QP在圓O1上對應(yīng)的圓心角為γ，則：

γ對應(yīng)弧QP，由幾何關(guān)系得到，sin？酌=■，問題轉(zhuǎn)化為求出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)。P點(diǎn)坐標(biāo)可以由弧EPC所對應(yīng)的圓（設(shè)為圓O4）的方程與圓O3所對應(yīng)的方程聯(lián)立求得（在同一坐標(biāo)系下）。

在此過程中，陀螺轉(zhuǎn)子一直以x軸為自轉(zhuǎn)軸高速旋轉(zhuǎn)。聯(lián)立圓O3、圓O4在OXYZ坐標(biāo)系內(nèi)的方程解得交點(diǎn)P的坐標(biāo)為：

則有：

聯(lián)立式（7），得：

同理可得Φ2的表達(dá)式，聯(lián)立（6）式，得出Φ與占空比k的解析關(guān)系式：

容易知道，偏轉(zhuǎn)角Φ在兩個(gè)維度的分量只需兩個(gè)傳感器測量即可，對于其余兩個(gè)傳感器，其測量結(jié)果是與其在一個(gè)條直線上的另一個(gè)傳感器的測量值之和是1，因?yàn)檗D(zhuǎn)子關(guān)于赤道對稱，占空比是互補(bǔ)的，另外兩個(gè)傳感器是起檢測作用。

4.2 對Φ關(guān)于k是否達(dá)到線性關(guān)系的分析

將式（5）代入式（10），可得：

式中，φm和α為參數(shù)，k1、k2為自變量，Φ為因變量，所得圖形應(yīng)為三維空間中的曲面。現(xiàn)論證是否可以改變參數(shù)φm和α使Φ關(guān)于k達(dá)到線性關(guān)系，即觀察對應(yīng)不同的參數(shù)，該曲面是否能變成平面。

先從二維角度分析，即僅考慮Φ1與k1的情況，由式（9）（5）可得：

固定α=■，得出Φ1關(guān)于k1的曲線，如圖4所示。多條曲線中Φ∈[-30°，30°]的部分線性較好，Φm∈（0，30°]時(shí)均有良好的線性。測量角φm顯然越大越有利于傳感器的測量，因此盡可能取更大的值30°。固定φm=30°得出Φ關(guān)于k的曲線，可以看出當(dāng)α≤π/16時(shí)曲線基本重合，即此時(shí)α的大小對線性基本無影響。但考慮實(shí)際情況，n的數(shù)目應(yīng)該適當(dāng)，且保證傳感器對稱性，取n=16，即α=π/16。

綜上所述，φm=30°，α=π/16可以使Φ關(guān)于k達(dá)到線性關(guān)系?？梢?，只有在一個(gè)維度的測量時(shí)，且Φm∈（0，30°]，偏轉(zhuǎn)角分量與該維度的占空比具有良好的線性關(guān)系。

5 結(jié)束語

本文基于光電傳感器的分布測量，采用降維分析的思想，建立了陀螺轉(zhuǎn)子高速旋轉(zhuǎn)下的靜態(tài)模型與動(dòng)態(tài)模型，給出了陀螺轉(zhuǎn)子相關(guān)參數(shù)之間明確的關(guān)系表達(dá)式及偏轉(zhuǎn)角的計(jì)算公式。并對偏轉(zhuǎn)角與兩個(gè)維度的占空比是否成線性關(guān)系及線性關(guān)系成立的條件進(jìn)行了分析，得出當(dāng)Φ∈[-30°，30°]時(shí)，線性關(guān)系良好。相比電磁線圈法，無論是測量范圍還是精度，該方法測量方位角具有較大的優(yōu)勢，具有一定的應(yīng)用價(jià)值。

參考文獻(xiàn)

[1]Zhu Xueping，Zhang Xiaofeng，Yang Jun.et a1.Design and simulation system by vill3ml prototype for infrared imaging seeker[J].Computer Measurement&Control，2010（8）：1828-1833.

[2]穆學(xué)楨，周樹平，趙桂瑾.AJM-9X空空導(dǎo)彈位標(biāo)器新技術(shù)分析和評(píng)價(jià)[J].紅外與激光工程，2006，35（4）：392-393.

[3]徐峰，吳易明，王衛(wèi)峰，等.基于光電傳感的位標(biāo)器方位角測量方法[J].紅外與激光工程，2011，41（5）：1358-1362.