何小亞

（華南師范大學 數學科學學院，廣東 廣州 510631）

高中概率模型學與教中的問題和對策

何小亞

（華南師范大學 數學科學學院，廣東 廣州 510631）

運用質性研究方法揭示高中概率模型學生學習、教師教學和教材編寫中存在的問題，討論存在問題的原因，最后給出解決所存在問題的對策．

概率；學習；教學；問題；反思；對策

作者曾經應邀到廣州某重點中學主持古典概型的同課異構公開課活動，聽了3個老師上的課，看了教師備課的教案和發(fā)給學生的學案．活動結束，思緒萬千，許多問題不吐不快．下面結合教學經驗，討論高中概率模型學與教中的問題、反思和對策．

1 學生學習中存在的問題

（1）不理解隨機事件，無法區(qū)分隨機事件和隨機現象．將數學定理、生活常識或學科的結論當成必然事件；將錯誤的數學命題、違背常理的結論當成不可能事件[1]；不理解古典概型；因不清楚何為基本事件，忽略等可能性要求，而導致在用古典概型求概率時，出現“要不要考慮順序”的困惑．例如，拋擲兩枚完全一樣的硬幣，求花色不同的概率？答案是1/2，還是1/3？

（2）難以理解教材中“幾何概型”的定義，更不理解“貝特朗悖論”以及與之等價的類似問題[2]．

（3）對概率模型的不理解導致下述結論的理解困難．

① 概率為0的事件不一定是不可能事件，概率為1的事件不一定是必然事件；

② 互斥事件不一定是對立事件，對立事件必然是互斥事件．

2 老師教學中存在的問題

（1）學生在概率學習中存在的上述問題，根本原因是教師也存在著這些問題．例如，研究報告（張敏、何小亞，2015）已經指出，教師中存在著嚴重的等可能性偏見[3]．

（2）教師在講教材[4]中例3（同時擲兩個骰子，計算：向上的點數之和是5的概率是多少？）和例5（某種飲料每箱裝6聽，如果其中有2聽不合格，問質檢人員從中隨機抽出2聽，檢測出不合格產品的概率有多大？）時，沒有向學生揭示兩者的區(qū)別？失去了強化等可能性理解的機會．

教師沒有講清楚“隨機抽出2聽”是什么意思？是一次就抓兩個出來，還是不放回地一次抽一個地抽兩次，或者是有放回地一次抽一個地抽兩次？

（3）很多教師在講“古典概型”這一節(jié)內容時，沒有解決好這些問題：我們?yōu)槭裁匆獙W習古典概型？古典概型是什么？古典概型這一理想化的數學模型與真實世界的區(qū)別是什么？

各路學者、雜志編輯以及教師對幾何概型的理解錯誤更是俯拾皆是[5]．

（4）學案教學大行其道，三維目標沒有得到落實，教學目標實際上仍然停留在“知識+解題能力”的層面．

3 教材編寫中存在的問題

（1）教材[6]通過一些實例介紹了確定現象和隨機現象，教材[4]沒有講何為確定現象，何為隨機現象．兩者都沒有明確區(qū)分隨機現象和隨機事件．這兩種教材都沒有講隨機試驗的定義，而把隨機事件定義為：“在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件叫做隨機事件（random event）．”[4]“在條件S下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，叫做相對于條件S的隨機事件（random event），簡稱隨機事件．”[6]定義中的“條件”到底是什么？師生難以理解！

（2）對于概率教學中最基本的概念“概率”，教材[6]都沒有回答清楚什么是概率．

（3）教材[4]通過擲硬幣和擲骰子試驗的結果，以揭示外延的方式定義了基本事件．教材[6]定義為：“在一次試驗中可能出現的每一個基本結果稱為基本事件（elementary event）．”這一定義沒有講清楚什么是一次試驗．不講清楚試驗，如何準確把握隨機事件？

（4）教材[6]對古典概型的定義是，滿足條件①所有的基本事件只有有限個；②每個基本事件的發(fā)生都是等可能的.的隨機試驗的概率模型稱為古典概型（classical probability model）．但沒有說明什么是“隨機試驗”．

教材[4]認為基本事件有兩個特點：①任何兩個基本事件是互斥的；②任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和；具有①試驗中所有可能出現的基本事件只有有限個；②每個基本事件出現的可能性相等這兩個特點的概率模型稱為古典概型（classical model of probability）．

請問什么是“任何事件”，基本事件是不是？什么是“事件”？“青島一只蝦38元”是不是事件？“2015年的中國股市：穿西服進去，穿三點式出來”是不是事件？

請問什么是“概率模型”？“概率”都還沒有講清楚，又冒出個“概率模型”，你叫師生們如何理解？

（5）抽象的幾何概型．

教材[4]定義：“如果每個事件發(fā)生的概率只與構成該事件區(qū)域的長度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型（geometric models of probability）簡稱為幾何概型．”

教材[4]B版定義：“設D是一個可度量的區(qū)域（例如線段、平面圖形、立體圖形等）．每個基本事件可視為從區(qū)域D內隨機地取一點，區(qū)域D內每一點被取到的機會都一樣，隨機事件A的發(fā)生可以視為恰好取到區(qū)域D內的某個指定區(qū)域d中的點，事件A發(fā)生的概率與d的測度（長度、面積、體積等）成正比，我們把滿足這樣條件的概率模型稱為幾何概型．”（北師大版教材的定義也類似）

這兩種定義中均提到了一個條件 “如果事件發(fā)生的概率只與構成該事件區(qū)域的測度成比例”，這句話是什么意思，你叫讀者如何判斷“成比例”？你能判斷它是古典概型嗎？你叫學生求概率，教材、老師都沒有講清楚概率是什么，卻叫學生先判斷概率與長度或角度或面積或體積成正比，這似乎有點勉為其難．本該最講道理的數學學科為什么如此不講道理？

（6）教材[4]第135頁的問題．

兩人玩如圖中的轉盤游戲，規(guī)定指針指向B區(qū)域時，甲獲勝，否則乙獲勝．問甲獲勝的概率是多少？

對于轉盤（2）書上的解答是：甲獲勝的概率是3/5．事實上，甲獲勝的概率與字母 B所在扇形區(qū)域的圓弧的長度有關，而與字母B所在區(qū)域的位置無關．

這一解答的理由是不正確的．轉盤游戲中確定能否獲勝的是指針的方向，而不是指針所在的區(qū)域面積或孤長．若把轉盤割成正方形，則無論用面積還是弧長計算，甲獲勝的概率還是3/5嗎？應該按照指針方向掃過的角度范圍計算．

教材[4]B版也犯了同樣的錯誤．

4 對存在問題的原因分析

（1）導致學生和教師錯誤理解概率問題的根本原因是教材存在的問題．將隨機現象與隨機事件混為一談，不講隨機試驗就來講隨機事件，用隨機現象來定義隨機事件，完全沒有理解好、處理好真實世界與數學世界的關系．

（2）以揭示概念外延的方式來定義基本事件的概念是無法讓學生準確理解基本事件的本質，不理解基本事件，怎么可能準確把握住隨機事件這一概念．這樣就出現了前面所述的各種師生的困惑：學了概率竟然不知道何為概率；不清楚隨機事件，到底要不要考慮順序；等可能性偏見；幾何概型中的概率之爭，等等．也就是說，概率教學僅僅停留在記記公式，算算概率的工具性理解（Instrumental Understanding）水平，完全沒有達到關系性理解（Relational Understanding）水平．

（3）雖然數學新課程改革實施了十余年，但“知識+解題能力”的應試教育依然大行其道．素質教育仍未得到真正落實的原因：一是以筆試成績作為評價學生、老師、校長、教育局長表現的唯一標準；二是兩個課標及其解讀對三維目標的內涵、要素和要求都沒有進行操作性的界定；三是數學教學中三維目標的落實不到位，只重點關注知識與技能目標而忽略了過程與方法和情感態(tài)度價值觀目標．

5 解決所存在問題的對策

5.1 教材編寫及教學思路理論框架

根據組塊化、先行組織者等學習心理學的原理以及國外教材的編寫經驗，建議新修訂的數學教材每一章可以考慮如下結構．

A. 先給出本章的小節(jié)目錄和本章概覽．

在本章概覽中，以一些簡單明了，貼近學生實際的生產問題、生活問題的實際問題，來說明本章要解決什么核心問題．為了解決核心問題，要引進什么概念？介紹什么模型？掌握什么原理？

B. 接著給出引言．

引言部分則主要回答這一數學分支是什么性質的學科？其理論概貌、主要奠基人是誰？為什么要學習這一章？學完以后你能做什么？

C. 然后是各個小節(jié)的內容．

每一小節(jié)的概念、原理的引入，注意聯系生產生活實際，以學生熟悉的、淺顯的背景問題（也可以是純數學問題）引入．學生習作項目有課堂練習、課后習題和思考題．

D. 最后一小節(jié)之后給出本章知識結構圖，并總結指出本章重要的數學思想方法．

E. 接著是本章習題．按照理解性、應用性和拓展性 3種水平設置．問題的類型盡量包括純數學問題、應用題（部分理想化的實際問題）和實際問題．

F. 最后是拓展學生視野，激發(fā)學生興趣的“大開眼界”欄目．目的是開拓學生的眼界，使學生真切感受到數學好玩，以激發(fā)他們的數學學習興趣．

例如，在概率一章，可以設置：（1）概率小常識：誰拿走了 500萬大獎？（2）概率小幽默：最完美的男人；（3）概率小笑話：坐飛機的安全性；（4）概率奇聞：五胞胎的生日[7]．

概率這一章的內容及順序建議如下：

A. 介紹確定性現象、隨機現象、概率論的發(fā)展簡史（可放入本章概覽）．

B. 引入隨機試驗的概念，由此給出基本事件、樣本空間、隨機事件的概念．

C. 通過實例介紹隨機事件的包含、相等、并、交、對立、互斥等關系．

D. 先介紹概率的概念，再介紹通過隨機試驗，用頻率去估計概率．

E. 先指出用頻率去估計概率的局限性，再介紹特殊的、理想化的古典概型可以克服用頻率去估計概率的局限性．

F. 討論概率的基本性質．

G. 先指出古典概型的局限性，再講更特殊、更理想化的幾何概型，最后講隨機模擬試驗．

5.2 需要明確的幾個重要概念

（1）概率和頻率．

概率論是研究隨機現象的科學，隨機現象是通過隨機試驗來研究的．概率是反映隨機事件發(fā)生的可能性大小的數值，人們常常用它來研究刻畫隨機現象．隨機事件由隨機試驗來確定．這一理想化的理論數值無法通過具體實踐獲得．但人們可以通過大量的重復試驗獲得的頻率來估計概率的大小．教師應該讓學生明白：

A. 頻率是用來估計概率的近似值．

B. 頻率是一個在試驗前不能確定的隨機數，做同樣次數的重復試驗得到的頻率可能相同也可能不同．

C. 概率是頻率的穩(wěn)定值，它是一個理想化的理論數值，與每次試驗無關．它反映著隨機事件的偶然性中的必然性．但某個隨機事件的概率是0.1，不能理解為試驗10次該事件就一定會發(fā)生1次．

除了以上3點之外，教師最好還應該知道[1]：

D. 用頻率作概率的近似值雖然會有偏差，但這是最簡單，常用的方法，其理論根據是“數理統(tǒng)計”中的“最大似然法”．

E. 如何估計用頻率作概率造成的偏差及可信程度，可參見數理統(tǒng)計中的區(qū)間估計．

（2）隨機試驗、基本事件、隨機事件．

隨機試驗是滿足如下3個條件的一個數學概念：

① 試驗的所有可能結果可以預知，且不止有一個結果．

② 每次試驗只出現所有可能結果中的一個，但試驗前無法確定哪一個結果會出現．

③ 試驗可以在同一條件下重復進行．

隨機試驗的每一個結果叫做基本事件，也叫做樣本點，所有樣本點的集合叫做樣本空間W．樣本空間的子集A（空集和W除外）叫做隨機事件．

（3）古典概型．

如果隨機試驗只有有限個不同的基本結果，并且每個結果出現的機會是均等的，這一隨機試驗就叫做古典概型．

在古典概型中，如果樣本空間的基本事件總數目為n，隨機事件A包含的基本事件數目為m，用m/n來描述隨機事件A出現的可能性大小，稱它為隨機事件A的概率，記作P(A)，即有P(A)=m/n．

（4）幾何概型．

如果一個隨機試驗有無限個不同的結果，并且每個結果出現的機會均等，而且由所有結果構成的樣本空間W具有非零的、有限的幾何度量（或測度，記為m(W)，如長度、面積、體積等），那么就稱這一隨機試驗是幾何概型．

當隨機試驗的樣本空間W是某個區(qū)域，并且任一點落在度量相同的子區(qū)域內是等可能的，設m(A)表示W的一個子區(qū)域A的度量，則隨機事件“點落在A內”的概率

P(A)=m(A)/m(W)．

5.3 教學反思及建議

5.3.1 教學目標

文章開頭所提的前兩節(jié)古典概型同課異構課，均采用了學案教學．學案教學對低年級的學生，對自律性較差和順從性占優(yōu)的學生，對低認知水平的認知技能學習，有一定的效果．但對高年級學生，對追求數學思想的滲透、數學思維品質的改善、數學意識的形成，以及數學問題解決能力的提高等高認知水平的學習，其效果適得其反！那種“發(fā)發(fā)學案，填填數學概念、原理空缺詞匯，做做例題、習題，對對答案”的學案教學，對追求數學素養(yǎng)[8]的提高更是毫無幫助．不揭示數學概念的形成過程，不揭示數學原理的來龍去脈，不揭示數學問題解決的思路探索過程，學生怎么能理解數學，喜歡數學，為數學所折服？

應試教育是學案教學大行其道的根本原因．當局者迷，許多數學教師沒有意識到，只要學生真正理解數學概念的本質，抓住數學原理結構的不變性，從高一開始就受到數學問題解決的良好教育，學生的考試成績會更好．

建議嚴格按照三維目標的理論標準來設計教學目標[9]，不能只停留在應試計算，不求理解的工具性理解水平，而是要達到數學思想的滲透、數學思維品質的改善、數學能力的提高、數學意識的形成和學會問題解決的關系性理解水平，更要追求數學情感態(tài)度價值觀目標的達成．

要實現這一追求數學素養(yǎng)的教學目標，數學教學要讓學生與數學“談戀愛”[10]，即：相識：創(chuàng)設情境，使其一見鐘情；勾魂：問題驅動，使其欲罷不能；解惑：解決問題，使其豁然開朗；相知：理解數學，使其情意綿綿；動情：欣賞數學，使其情不自禁．

關于古典概型的教學目標、內容、過程設計的改進，可以參考林品吟、何小亞、朱源（2016）的設計：“古典概型的教學思考與教學新設計．”[11]

5.3.2 課程標準和考試要求

高中數學課程標準[12]要求學生理解古典概型及其概率計算公式，初步體會幾何概型的意義．近十年的數學高考考試大綱都是要求考生理解古典概型及其概率計算公式，了解幾何概型的意義．無論是課程標準還是高考大綱均沒有要求幾何概型概率的計算，但遺憾的是2008江蘇卷第6題；2011年湖南卷理科第15題，福建卷理科第4題，江西卷理科第12題；2013年陜西卷理科第5題；2014湖北卷理科第7題，福建卷第14題，遼寧卷第14題；2015年陜西卷第11題等，均是幾何概型概率的計算題．這一導向很不好，導致很多一線教師要求學生做老師、復習資料編寫者、命題者自己也不知道答案對錯的幾何概型概率的計算題．

介紹幾何概型的概念不是為了求一些等可能性不清楚的計算題，而是為隨機模擬方法的引入奠定理論基礎．隨機模擬的探究活動是落實數學新課程要求的數學探究、數學建模目標的重要課程內容．因此，教學必須如此定位，不能南轅北轍地去搞應試訓練．

5.3.3 幾點建議

（1）古典概型題要特別注意等可能性．一道好的古典概型題，在條件中應巧妙地暗藏一個合理的（或幾個等價的），大家都會接受的、等可能的有限基本事件組．若對等可能性的理解，不像擲骰子，摸球那樣鮮明，最好在題中說明、限定．

（2）幾何概型題要充分估計對圖形，對分布的不同理解．否則也要在題中說明、限定．一個好的幾何概型題，條件中應暗藏一個合理的，大家都會接受的“均勻分布”圖形，不然就會產生分歧[13]．

（3）作為一項大型的考試，高考題不要去考一些隨機試驗都不清楚的所謂的“必然事件”、“不可能事件”和“隨機事件”，更不能去考一些等可能性不清楚的幾何概型的概率計算．

（4）請把教材、試卷中“將數學定理、生活常識或學科的結論當成必然事件；將錯誤的數學命題、違背常理的東西當成不可能事件”的習題刪掉，堅決鏟除那些等可能性不清楚的幾何概型的概率計算題．

最后，需要指出的是，無論是古典概型還是幾何概型，都不是真實世界中存在的內容，他們都是理想化的數學世界的內容，是對真實世界模擬的結果，是人類心智的構造！教師要讓學生真正體會到：“數學源于現實，高于現實，用于現實，統(tǒng)領著現實！”

[1]何小亞．概率教學問題探討[J]．中學數學研究（下），2012，（2）：3-5．

[2]李曉峰．辨得清方能解得對——例析幾何概型的常見錯誤[J]．中學數學，2015，（9）：80-81．

[3]張敏，何小亞．高中數學教師古典概型等可能性偏見的調查報告[J]．數學教學，2015，（9）：44-46．

[4]人民教育出版社．普通高中數學課程標準實驗教科書 數學3（必修，A版）[M]．北京：人民教育出版社，2007．

[5]張敏，何小亞．貝特朗悖論之爭的終結[J]．數學教育學報，2015，24（3）：54．

[6]單墫．普通高中數學課程標準實驗教科書 數學3（必修系列）[M]．南京：江蘇教育出版社，2005．

[7]廣東省中等職業(yè)學校教材編寫委員會．數學（選修）[M]．廣州：廣東科技出版社，2008．

[8]何小亞．學生“數學素養(yǎng)”指標的理論分析[J]．數學教育學報，2015，24（1）：13-20．

[9]何小亞．中學數學教學設計[M]．北京：科學出版社，2012．

[10] 詹欣豪，何小亞．數學歸納法教學的困難、對策與價值[J]．中學數學雜志，2014，（9）：6-9．

[11] 林品吟，何小亞，朱源．古典概型的教學思考與教學新設計[J]．中學數學雜志，2016，（5）：20-24．

[12] 中華人民共和國教育部．普通高中數課程標準（試驗）[M]．北京：人民教育出版社，2003．

[13] 孫道椿，何小亞．誰對？誰錯？[J]．中學數學研究，2009，（9）：33-35．

[14] 王梓坤．概率論基礎及其應用[M]．北京：北京師范大學出版社，2007．

[15]B·B·格涅堅科．概率論教程[M]．丁壽田譯．北京：人民教育出版社，1956．

Problems and Countermeasures in Learning and Teaching Probability Model in Senior High School

HE Xiao-ya
(School of Mathematical Sciences, South China Normal University, Guangdong Guangzhou 510631, China)

Using qualitative methods to reveal the problems of learning, teaching and compiling of textbooks in senior high school probability, to discuss the causes of the problems, and finally gives the countermeasures.

probability; learning; teaching; problem; reflection; countermeasure

G632.0

A

1004–9894（2017）01–0037–04

[責任編校：周學智]

2017–01–10

廣東省高水平大學建設本科生拔尖創(chuàng)新人才培養(yǎng)項目（113-S80712）

何小亞（1964—），男，貴州荔波人，教授，主要從事數學教學與數學學習心理研究．