張偉偉田錦邦

(太原科技大學(xué)力學(xué)系,太原030024)

彈性力學(xué)的三段式教學(xué)方法1)

張偉偉2)張偉偉，副教授，主要研究方向?yàn)榻Y(jié)構(gòu)損傷檢測(cè)方法、力學(xué)史與方法論.E-mail:zwwps@tyust.edu.cn田錦邦3)田錦邦，副教授，主要研究方向?yàn)闆_擊動(dòng)力學(xué)、結(jié)構(gòu)抗震分析.E-mail:jinbang 518@126.com

(太原科技大學(xué)力學(xué)系,太原030024)

提出了彈性力學(xué)三段式教學(xué)方法，即圍繞每一知識(shí)點(diǎn),按照工程背景、數(shù)理基礎(chǔ)、力學(xué)原理進(jìn)行劃分，在教學(xué)實(shí)施中遵循先工程，后數(shù)理，再力學(xué)的講解順序.工程背景可與材料力學(xué)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行銜接；數(shù)理基礎(chǔ)與高等數(shù)學(xué)、解析幾何等數(shù)理課程銜接，實(shí)現(xiàn)知識(shí)點(diǎn)的遷移教學(xué)；最后利用力學(xué)原理構(gòu)建彈性力學(xué)的基本理論.以彈性力學(xué)中平衡方程的講解為例，闡述了三段式教學(xué)方法的實(shí)施過程.該方法對(duì)降低學(xué)生學(xué)習(xí)彈性力學(xué)中的畏難情緒，提高學(xué)習(xí)信心有一定的積極作用.

彈性力學(xué),教學(xué)方法,教學(xué)研究,遷移教學(xué)

彈性力學(xué)課程是工程力學(xué)專業(yè)的核心課程之一，在課程順序上一般安排在理論力學(xué)和材料力學(xué)之后.在知識(shí)體系上，材料力學(xué)主要涉及細(xì)長(zhǎng)結(jié)構(gòu)，如承受軸力的桿、柱，承受扭轉(zhuǎn)的軸和承受彎曲的梁三類受力構(gòu)件及其組合形式.由于材料力學(xué)工程背景強(qiáng)，理論相對(duì)簡(jiǎn)單，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中容易形成直觀認(rèn)識(shí)，成為變形體力學(xué)的入門課程.但實(shí)際上，材料力學(xué)的某些結(jié)果僅是彈性力學(xué)解在一定條件下的簡(jiǎn)化，例如對(duì)于梁結(jié)構(gòu)，材料力學(xué)采用平截面假設(shè)得出梁承彎時(shí)正應(yīng)力呈線性分布的結(jié)論，但在彈性力學(xué)中數(shù)理推導(dǎo)表明平截面假設(shè)并不完全正確，只是在長(zhǎng)高比較大時(shí)(例如大于10:1)應(yīng)力分布非常接近于線性分布而采取的一種近似結(jié)果.由于彈性力學(xué)的研究對(duì)象不局限于細(xì)長(zhǎng)結(jié)構(gòu)，材料力學(xué)理論可以借助于彈性力學(xué)加以完善.這說明，一方面材料力學(xué)是彈性力學(xué)的先導(dǎo)課程；另一方面，彈性力學(xué)又是材料力學(xué)課程的有效補(bǔ)充.

此外，彈性力學(xué)課程的重要性還體現(xiàn)在它是幾乎所有變形體力學(xué)的基礎(chǔ)，如塑性力學(xué)、斷裂力學(xué)、流體力學(xué)、計(jì)算力學(xué)等課程.對(duì)于工程力學(xué)專業(yè)學(xué)生而言，學(xué)好彈性力學(xué)對(duì)于理解和掌握其他變形體力學(xué)具有重要意義.因此，彈性力學(xué)教學(xué)方法受到了教師和學(xué)者的廣泛關(guān)注.一部分學(xué)者為了應(yīng)對(duì)課時(shí)減少、學(xué)生學(xué)習(xí)興趣不高的問題展開了教學(xué)改革探討[12]；另一些學(xué)者圍繞課堂教學(xué)，分析和探討如何學(xué)好彈性力學(xué).例如，朱克強(qiáng)等[3]總結(jié)了彈性力學(xué)中平面問題和數(shù)值方法的難點(diǎn)及對(duì)策；王驥等[4]討論了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)造成學(xué)生學(xué)習(xí)彈性力學(xué)的困難；潘東輝等[5]將MATLAB/PDE工具箱引入彈性力學(xué)教學(xué)，實(shí)現(xiàn)彈性力學(xué)的可視化教學(xué).本文將首先對(duì)彈性力學(xué)課程特點(diǎn)進(jìn)行分析、整理，指出學(xué)習(xí)彈性力學(xué)要求學(xué)生同時(shí)在工程、數(shù)理、力學(xué)三個(gè)方面具有較高的素養(yǎng)，為此，本文圍繞彈性力學(xué)知識(shí)點(diǎn)，將每一知識(shí)單元均劃分為工程、數(shù)理和力學(xué)三個(gè)模塊，在教學(xué)上依次展開，稱之為三段式教學(xué)法.該方法對(duì)降低學(xué)生在學(xué)習(xí)彈性力學(xué)中的畏難情緒，提高學(xué)習(xí)信心有一定的積極作用.

1 彈性力學(xué)課程特點(diǎn)與難點(diǎn)分析

工程力學(xué)專業(yè)規(guī)范中對(duì)彈性力學(xué)課程內(nèi)容的指導(dǎo)意見包括12個(gè)知識(shí)單元，分別為基本假設(shè)、應(yīng)力狀態(tài)、應(yīng)變狀態(tài)、應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系、彈性問題的建立、直接坐標(biāo)系解答、極坐標(biāo)系解答、柱坐標(biāo)系解答、彈性力學(xué)方程的通解及其應(yīng)用、熱應(yīng)力、彈性波的傳播、彈性力學(xué)變分解法[6]，除彈性波的傳播作為選修內(nèi)容外，其他均為彈性力學(xué)核心知識(shí)點(diǎn).這些知識(shí)點(diǎn)在彈性理論體系上可分為兩大塊：一是建立彈性力學(xué)基本理論，包括基本假設(shè)、概念，以及彈性理論基本方程的建立；二是彈性力學(xué)典型問題的求解理論，包括力法、位移法和若干專題.圖1所示為彈性力學(xué)知識(shí)體系基本框架結(jié)構(gòu)圖(參考教材徐芝綸《彈性力學(xué)》(第4版)[7]).

圖1 彈性力學(xué)的知識(shí)體系結(jié)構(gòu)圖

顯然，彈性力學(xué)與工程和數(shù)學(xué)密切相關(guān)，因此彈性力學(xué)要求學(xué)生同時(shí)在工程、數(shù)理、力學(xué)三個(gè)方面具有良好的素養(yǎng).然而，在實(shí)踐中三者訓(xùn)練的思維方式各有不同.工程學(xué)主要訓(xùn)練學(xué)生直觀的工程想象能力，研究對(duì)象主要是看得見、摸得著的實(shí)體模型；而數(shù)理推導(dǎo)則恰好是要求養(yǎng)成抽象能力，培養(yǎng)嚴(yán)密的邏輯推理能力.我們見過工程技能很強(qiáng)的學(xué)生，也見過數(shù)學(xué)推理很強(qiáng)的學(xué)生，但同時(shí)具備較強(qiáng)工程技能和數(shù)理推理能力的學(xué)生并不多見，這主要在于這兩者培養(yǎng)的思維方式不同，養(yǎng)成一種思維習(xí)慣的同時(shí)，有可能丟掉另外一些思維習(xí)慣.在教學(xué)中也容易出現(xiàn)數(shù)理推導(dǎo)能力強(qiáng)的學(xué)生不擅長(zhǎng)構(gòu)建工程模型，這類學(xué)生容易形成嚴(yán)密的邏輯推理但缺乏直觀的空間想象能力；相反擅長(zhǎng)構(gòu)建工程模型的學(xué)生在數(shù)理推導(dǎo)上又有欠缺，這類學(xué)生易形成直觀的空間想象能力但缺乏嚴(yán)密的邏輯推理能力.對(duì)于力學(xué)學(xué)習(xí)者則不僅需要把這兩種思維進(jìn)行調(diào)和，還需要能夠利用力學(xué)原理能對(duì)其互相表述，互相翻譯.不同思維方式的培養(yǎng)，容易在學(xué)習(xí)過程中顧此失彼，這就是彈性力學(xué)在思維培養(yǎng)上的難點(diǎn)所在，也是彈性力學(xué)的教學(xué)難點(diǎn)所在.

為了克服這一難點(diǎn)，在彈性力學(xué)的講解中，有必要先對(duì)彈性力學(xué)的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行劃分，圍繞知識(shí)點(diǎn)再分割出工程背景、數(shù)理推導(dǎo)和力學(xué)原理3個(gè)部分，逐步分次培養(yǎng)學(xué)生的兩種思維能力，并培養(yǎng)學(xué)生在工程和數(shù)理之間互相翻譯、解讀的能力.按照該思路，圖2粗略對(duì)彈性力學(xué)的知識(shí)三段式教學(xué)進(jìn)行知識(shí)點(diǎn)劃分.工程背景不外乎解決工程中的強(qiáng)度、剛度、穩(wěn)定性問題，或者為其逆問題研究.而彈性力學(xué)中所用到主要數(shù)理基礎(chǔ)包括函數(shù)、解析幾何和微分方程、數(shù)理方程的相關(guān)內(nèi)容.在教學(xué)實(shí)踐中，可與圖1結(jié)合，進(jìn)行更為詳細(xì)的分解.

圖2 彈性力學(xué)知識(shí)點(diǎn)劃分與材料力學(xué)與數(shù)理課程的銜接關(guān)系

彈性力學(xué)的三段式教學(xué)法可形象地比作橋梁的施工工序，先幫助學(xué)生建立工程意識(shí)，然后準(zhǔn)備數(shù)理基礎(chǔ)，這兩項(xiàng)工作相當(dāng)于橋梁的橋墩，最后利用力學(xué)原理建立工程與數(shù)理之間的溝通.力學(xué)一方面建立在工程與數(shù)理基礎(chǔ)之上，另一方面又是溝通工程與數(shù)理之間的橋梁.三段式教學(xué)法旨在有針對(duì)性地培養(yǎng)學(xué)生工程、數(shù)理和力學(xué)三方面的思維能力，將彈性力學(xué)知識(shí)點(diǎn)先化解為前期課程相關(guān)知識(shí)，利用遷移教學(xué)降低學(xué)習(xí)難度，然后，以前期課程為基礎(chǔ)建立彈性力學(xué)的知識(shí)體系，同時(shí)促成知識(shí)教學(xué)和思維教學(xué).以下將以建立平衡微分方程為例說明三段式教學(xué)法的實(shí)施過程.

2 三段式教學(xué)法案例：平衡微分方程的建立

平衡微分方程是彈性理論的重要內(nèi)容，是彈性力學(xué)的理論基礎(chǔ).本節(jié)以平衡微分方程(徐芝綸《彈性力學(xué)》[7])為例說明三段式教學(xué)法的實(shí)施過程，其分析和數(shù)理推導(dǎo)代表了典型的力學(xué)思維方式.學(xué)生對(duì)該部分內(nèi)容的掌握和理解程度很大程度上會(huì)對(duì)后續(xù)內(nèi)容產(chǎn)生影響.如果在這一部分教學(xué)中幫助學(xué)生養(yǎng)成一定的力學(xué)思維方式，學(xué)生將在后續(xù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)中達(dá)到事半功倍的效果.

知識(shí)點(diǎn)三段式劃分：彈性力學(xué)具有和材料力學(xué)相同的研究目標(biāo)，即解決工程問題的強(qiáng)度、剛度、穩(wěn)定性問題.平衡方程建立物體內(nèi)各點(diǎn)之間應(yīng)力分量需要滿足的關(guān)系，對(duì)其求解可確定出物體在變形過程中各點(diǎn)所承受的應(yīng)力.由于強(qiáng)度問題大多與應(yīng)力相關(guān)，可將平衡方程的工程背景視為解決強(qiáng)度問題.其次，應(yīng)力分量作為未知數(shù)，利用函數(shù)和幾何知識(shí)對(duì)應(yīng)力分量進(jìn)行合理描述.最后，利用力學(xué)平衡原理列出應(yīng)力分量需要滿足的平衡方程.因此，將平衡微分方程知識(shí)點(diǎn)按照三段式劃分，可分為：(1)工程背景，求解應(yīng)力可解決工程中的強(qiáng)度問題；(2)數(shù)理基礎(chǔ)，利用函數(shù)和幾何知識(shí)描述微元體上的應(yīng)力分量；(3)力學(xué)原理，依據(jù)平衡原理建立應(yīng)力分量需要滿足的微分方程.

教學(xué)實(shí)施過程：平衡微分方程的講解可依據(jù)圖3所示步驟依次進(jìn)行，同時(shí)注意與已學(xué)過的材料力學(xué)、高等數(shù)學(xué)、理論力學(xué)的知識(shí)銜接.

第一階段包括圖3中的①.介紹平衡方程的應(yīng)用背景在于解決工程中的強(qiáng)度問題，做好彈性力學(xué)與材料力學(xué)的銜接.材料力學(xué)(包括結(jié)構(gòu)力學(xué))主要任務(wù)在于解決構(gòu)件的強(qiáng)度、剛度、穩(wěn)定性問題.從力學(xué)參量來看，強(qiáng)度問題依賴于應(yīng)力分量，材料力學(xué)中4種強(qiáng)度理論以及莫爾強(qiáng)度理論均由應(yīng)力分量表示，這就是說只要能求出構(gòu)件內(nèi)各點(diǎn)處的應(yīng)力分量，就可以解決構(gòu)件中的強(qiáng)度問題.彈性力學(xué)平衡方程，相當(dāng)于先設(shè)出構(gòu)件中的應(yīng)力分量作為未知量，然后利用力學(xué)原理建立未知量應(yīng)滿足的關(guān)系，最后希望通過求解方程獲得構(gòu)件應(yīng)力分量，再返回到強(qiáng)度理論，對(duì)構(gòu)件進(jìn)行強(qiáng)度校核或強(qiáng)度設(shè)計(jì).當(dāng)然，只有平衡方程并不能形成封閉解答，仍需要補(bǔ)充幾何方程和物理方程.但如果獨(dú)立地看平衡方程，它表示應(yīng)力分量需要滿足的微分方程，如果可以求得應(yīng)力分量即可解決工程中強(qiáng)度問題.由于學(xué)生在學(xué)習(xí)彈性力學(xué)前學(xué)習(xí)了材料力學(xué)，因此工程中需要解決強(qiáng)度問題的概念相對(duì)容易建立，在講解中可通過回顧材料力學(xué)中強(qiáng)度理論的工程背景，使學(xué)生建立彈性力學(xué)的工程意識(shí).

第二階段包括圖3中的②③④.利用函數(shù)和幾何知識(shí)描述微元體上的應(yīng)力分量，是本知識(shí)點(diǎn)的難點(diǎn)所在，需要深入講解.繼續(xù)細(xì)分，該難點(diǎn)的理解包含兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：(1)微元體的概念與作用(圖3中③)；(2)微元體上的應(yīng)力分量如何確定(圖3中④).

圖3 平衡微分方程知識(shí)點(diǎn)劃分及學(xué)習(xí)過程

圖4 微元體的應(yīng)力分量圖

第三階段，完成了第一、第二部分就相當(dāng)于橋梁的兩個(gè)橋墩施工完成，第三部分則要依據(jù)平衡原理建立平衡方程，即完成連通數(shù)理推導(dǎo)與工程應(yīng)用的橋梁.在講解中，強(qiáng)調(diào)此處的平衡方程與理論力學(xué)中平衡方程具有相同的本質(zhì)，做好知識(shí)遷移準(zhǔn)備.并且強(qiáng)調(diào)建立的是力的平衡方程，而不是應(yīng)力的平衡方程.因此，在圖4所示的應(yīng)力分量下，利用應(yīng)力乘以面積、體力乘以體積在x和y兩個(gè)方向合力為0列平衡方程，并進(jìn)行化簡(jiǎn)得到彈性力學(xué)平衡微分方程；對(duì)微元體某點(diǎn)取矩，合力矩為0可導(dǎo)出剪應(yīng)力互等.

至此，平衡微分方程主要內(nèi)容基本完成，有一點(diǎn)需要引起注意.學(xué)生在聽講完課堂知識(shí)后，容易封閉在課程知識(shí)內(nèi)，認(rèn)為平衡方程就是這樣.為了避免學(xué)生形成封閉思維，本知識(shí)點(diǎn)結(jié)束后應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行開放思考.如提出問題：假如存在電場(chǎng)、磁場(chǎng)力等耦合作用,應(yīng)該如何建立平衡方程？按照力學(xué)思路，電場(chǎng)、磁場(chǎng)的作用效果將以體力的形式作用于微元體，在體力基礎(chǔ)上疊加電場(chǎng)、磁場(chǎng)產(chǎn)生的體力即可建立耦合條件下的平衡方程.這樣可避免學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)閉合在課堂學(xué)習(xí)中，容易養(yǎng)成開放式學(xué)習(xí)心態(tài).

3 總結(jié)

三段式學(xué)習(xí)法在于先將知識(shí)點(diǎn)分解為工程、數(shù)理、力學(xué)三個(gè)模塊，依照先工程,后數(shù)理，再力學(xué)的講解步驟進(jìn)行教學(xué).要點(diǎn)在于將彈性力學(xué)知識(shí)分解后，可與先前課程如高等數(shù)學(xué)、解析幾何、微分方程、理論力學(xué)、材料力學(xué)等課程相關(guān)聯(lián)，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中感覺都是在學(xué)之前學(xué)過的知識(shí)點(diǎn)，利用好遷移教學(xué)，這樣可在一定程度上降低學(xué)生學(xué)習(xí)彈性力學(xué)的畏難情緒.同時(shí)，三段式教學(xué)法分析了三部分內(nèi)容在教學(xué)中對(duì)學(xué)生不同思維能力的養(yǎng)成，即要有直觀的工程建模思維，也要培養(yǎng)良好的數(shù)理邏輯思維，而力學(xué)思維就是要在工程與數(shù)理之間建立暢通的溝通，相互解釋和翻譯.

1趙春香,南景富.《彈性力學(xué)》教學(xué)改革的探索與實(shí)踐.高教學(xué)刊, 2016,(2):113-114

2樓文娟，梁洪超，楊驪先.《彈性力學(xué)》課程教學(xué)改革探析.高教論壇,2015,(7):40-44

3朱克強(qiáng),王志東,姚震球等.彈性力學(xué)教學(xué)中的重點(diǎn)與難點(diǎn)評(píng)析.華東船舶工業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào),1999,13(4):89-91

4王驥,杜建科,馬廷鋒等.研究生《彈性力學(xué)》課程中的難點(diǎn)根源及其對(duì)策思考.中國(guó)力學(xué)大會(huì),西安，2015

5潘東輝,馬崇武.MATLAB/PDE在彈性力學(xué)可視化教學(xué)中的應(yīng)用.力學(xué)與實(shí)踐,2014,36(4):500-504

6教育部高等學(xué)校力學(xué)教學(xué)指導(dǎo)委員會(huì)力學(xué)類專業(yè)教學(xué)指導(dǎo)分委員會(huì).高等學(xué)校理工科工程力學(xué)專業(yè)規(guī)范.北京：高等教育出版社,2012

7徐芝綸.彈性力學(xué)(上)(第4版).北京：高等教育出版社,2011

(責(zé)任編輯:胡漫)

G642.1

A

10.6052/1000-0879-16-287

2016–09–01收到第1稿，2016–11–24收到修改稿.

1)太原科技大學(xué)研究生教研資助項(xiàng)目(20133002).

張偉偉,田錦邦.彈性力學(xué)的三段式教學(xué)方法.力學(xué)與實(shí)踐,2017,39(2):191-195 Zhang Weiwei,Tian Jinbang.A three stages teaching method of elastic mechanics course.Mechanics in Engineering, 2017,39(2):191-195