馬天麒趙靖宇

(清華大學(xué)航天航空學(xué)院，北京100084)

由機(jī)械能守恒給出第二類Lagrange方程的探究

馬天麒1)馬天麒,清華大學(xué)航天航空學(xué)院錢學(xué)森力學(xué)班2015級(jí)學(xué)生.E-mail:matq15@mails.tsinghua.edu.cn趙靖宇2)趙靖宇,清華大學(xué)航天航空學(xué)院錢學(xué)森力學(xué)班2015級(jí)學(xué)生.E-mail:zhaojing15@mails.tsinghua.edu.cn

(清華大學(xué)航天航空學(xué)院，北京100084)

保守系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程，可以使用第二類Lagrange方程列寫，從Langrage方程也可以推導(dǎo)出保守系統(tǒng)的機(jī)械能守恒.有老師提到，曾有學(xué)生在作業(yè)中用機(jī)械能守恒給出正確的Lagrange方程.本文探討這種做法的可行性，并針對(duì)某些特殊情況給出了由機(jī)械能守恒得到Lagrange方程的具體步驟.

機(jī)械能守恒,第二類Lagrange方程，保守系統(tǒng)

1 問題的導(dǎo)入

以橢圓擺為例，來(lái)說(shuō)明本文研究的求Lagrange方程的方法.如圖1所示，取兩物塊質(zhì)量分別為m1和m2，物塊1的位移為x，擺與豎直方向的夾角為θ.擺的長(zhǎng)度為l，質(zhì)量不計(jì)，則

由Lagrange方程可以很容易地求得系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程

圖1

這種方法究竟是否具有普適的正確性？操作步驟又該是什么樣的？本文將從Lagrange方程出發(fā)，試著探討在什么情況下，用這種“能量求導(dǎo)”的方法，可以得到正確的微分方程，并具體討論了從能量守恒得到Lagrange方程的方法.

2 由機(jī)械能守恒給出Lagrange方程的方法

對(duì)于保守系統(tǒng)，機(jī)械能是一個(gè)守恒量，即E= T+V=const.且由于保守系統(tǒng)的約束必是理想、完整、定常的，則有

即aij是關(guān)于廣義坐標(biāo)q1,q2,···,qk的函數(shù)，且觀察表達(dá)式可得aij=aji.此時(shí)Lagrange方程可以寫為

現(xiàn)將式(7)代入式(9)得

接下來(lái)再來(lái)看機(jī)械能守恒，即

事實(shí)上，由分析力學(xué)知識(shí)可知，在推導(dǎo)廣義能量守恒時(shí)已經(jīng)運(yùn)用過上面的方法，所以由式(10)可以很容易地推得式(11)，即這種方法從理論上講是可以實(shí)現(xiàn)的.現(xiàn)在的問題是如何從式(11)反推出式(10),可以看出式(11)中

這2k2+k項(xiàng)，恰好是式(10)中

3 方法的可行性

在由式(10)和式(11)推導(dǎo)式(12)時(shí)可以發(fā)現(xiàn)，求和之前的2k3個(gè)含廣義坐標(biāo)一階導(dǎo)數(shù)交叉乘積的項(xiàng)通過求和后得到的2k3項(xiàng)，將會(huì)通過合并同類項(xiàng)變成k3項(xiàng)，因此當(dāng)反向進(jìn)行上述過程，即從機(jī)械能守恒推導(dǎo)Lagrange方程時(shí)，就可能需要人為地將某些已經(jīng)合并過的項(xiàng)拆分出來(lái)，但是這在一般情況下是不容易做到的.接下來(lái)對(duì)一些比較簡(jiǎn)單的特殊情況做一些討論.

3.1 不含交叉項(xiàng)的情況

由于主要難度出現(xiàn)在廣義速度的交叉項(xiàng)上，因此只要想辦法在機(jī)械能守恒中不出現(xiàn)交叉項(xiàng)，就一定能夠保證可以直接拆分，即要求

在此條件下，由機(jī)械能守恒得到Lagrange方程的步驟概括如下：

(1)確定廣義坐標(biāo)qi(i=1,2,···,k)，并列寫系統(tǒng)機(jī)械能E；

(2)求E對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)；

3.2 弱耦合情況

3.1 節(jié)中對(duì)aij的要求是比較高的，一般情況下較難達(dá)到，所以將上述要求放寬，即要求aij滿足

即動(dòng)能中的每項(xiàng)系數(shù)只與它所關(guān)聯(lián)的兩個(gè)廣義坐標(biāo)有關(guān).此時(shí)，式(10)和式(11)分別可以化為

研究表明,高血壓患者的QRS-T夾角大于正常人群。Dern等[17]發(fā)現(xiàn)在高血壓治療過程中,高血壓人群的QRS-T夾角隨著血壓的降低而減小,因此認(rèn)為QRS-T夾角的變化可能與心肌缺血及心肌肥厚有關(guān)。Atsma等[18]在969名不伴有左室肥厚的絕經(jīng)后婦女中發(fā)現(xiàn),血壓的升高與QRS-T夾角增大相關(guān),并提出在發(fā)生左室肥厚前,血壓升高可導(dǎo)致心室去極化和復(fù)極化異常。至于能否在臨床上應(yīng)用QRS-T夾角來(lái)評(píng)價(jià)高血壓治療效果,仍需進(jìn)一步的研究證實(shí)。

對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，上下兩個(gè)方程同樣具有相似的形式，只需令˙qm的系數(shù)分別等于0，同樣可以得到系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的微分方程.并且注意到，在上式中將˙qm提出后，只有廣義速度的平方項(xiàng)，而沒有交叉項(xiàng)，所以可以較容易地寫出.此時(shí)由機(jī)械能守恒得到Lagrange方程的步驟概括如下：

(1)確定廣義坐標(biāo)qi(i=1,2,···,k)，并列寫系統(tǒng)機(jī)械能E；

(2)求E對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)；

容易看出，引言中的橢圓擺問題的解答就是這樣做的.

3.3 一般情況

為了方便進(jìn)行重組，將動(dòng)能對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)寫成下面的形式

那么，可以證明

即為系統(tǒng)的第m個(gè)運(yùn)動(dòng)微分方程.事實(shí)上，對(duì)比式(10)與式(11)可以很容易驗(yàn)證上述結(jié)論成立.

現(xiàn)在用一個(gè)簡(jiǎn)單的問題驗(yàn)證上述方法.

研究一個(gè)質(zhì)量為m質(zhì)點(diǎn)的二維運(yùn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)在xOy平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且xOy平面為鉛垂面，y軸指向正上方，質(zhì)點(diǎn)只受重力作用.如果選取直角坐標(biāo)，則為第1小節(jié)中的情況.為了說(shuō)明本小節(jié)中的情況，我們現(xiàn)在選取極坐標(biāo)研究些問題，則有

顯然，此時(shí)的動(dòng)能不滿足上述兩種特殊情況的

容易驗(yàn)證上述兩個(gè)方程是正確的.如果仍直接套用第1小節(jié)的方法，無(wú)法得到正確的結(jié)果.

綜上，進(jìn)行上述拆分后，仍可以在保守系統(tǒng)下得到系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的微分方程，但是運(yùn)算已經(jīng)十分繁瑣.然而，通過之前的分析可以知道，采用這種方法只需要算出k3個(gè)廣義速度的交叉項(xiàng)，相比之下Lagrange方程共需要計(jì)算2k3個(gè)廣義速度的交叉項(xiàng).所以采用本方法會(huì)減少運(yùn)算量.

4 結(jié)論

本文研究了理想完整定常約束下的保守系統(tǒng)中機(jī)械能守恒和Lagrange方程的關(guān)系，并就某些特殊情況給出了由機(jī)械能守恒得到Lagrange方程的具體步驟.需要指出的是，本文所論證和給出的方法僅是求Lagrange方程的一個(gè)小技巧，在某些簡(jiǎn)單情況下確實(shí)可以用，可以幫助我們理解為什么有些同學(xué)用錯(cuò)誤的方法“將錯(cuò)就錯(cuò)”得到了正確的Lagrange方程.

(責(zé)任編輯:胡漫)

O31

A

10.6052/1000-0879-16-414

2016–12–20收到第1稿，2017–01–03收到修改稿.

馬天麒,趙靖宇.由機(jī)械能守恒給出第二類Lagrange方程的探究.力學(xué)與實(shí)踐,2017,39(2):214-217,174 Ma Tianqi,Zhao Jingyu.Derivation of Lagrange equation from the law of conservation of mechanical energy.Mechanics in Engineering,2017,39(2):214-217,174