楊柳楊紹普楊月婷

?(北京交通大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，北京100044)

?(石家莊鐵道大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，石家莊050043)

兩自由度可調(diào)非線性減振器1)

楊柳?,2)楊柳，博士生,主要研究方向?yàn)榉蔷€性振動(dòng).E-mail:yang 8873@126.com楊紹普?楊月婷?

?(北京交通大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，北京100044)

?(石家莊鐵道大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，石家莊050043)

研究了可調(diào)非線性減振器的優(yōu)化設(shè)計(jì).基于哈密爾頓最小勢(shì)能原理建立非線性動(dòng)力學(xué)模型，系統(tǒng)局域參數(shù)內(nèi)，實(shí)現(xiàn)非線性系統(tǒng)幅值優(yōu)化.利用平均法求解可調(diào)非線性減振器頻響方程.分析系統(tǒng)解的穩(wěn)定性，優(yōu)化系統(tǒng)參數(shù)，降低系統(tǒng)幅值響應(yīng).

可調(diào)，非線性,穩(wěn)定性,優(yōu)化

振動(dòng)是一種常見(jiàn)現(xiàn)象，經(jīng)常引起結(jié)構(gòu)的疲勞破壞，影響正常使用.為了減小機(jī)器振動(dòng)，吸振器已經(jīng)有了廣泛的應(yīng)用及發(fā)展.

本文建立了完整的動(dòng)態(tài)模型.通過(guò)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性分析及系統(tǒng)可調(diào)參數(shù)下的優(yōu)化，設(shè)計(jì)非線性可調(diào)吸振器.

Ormondroyd等[1]首次提出線性吸振器的參數(shù)設(shè)計(jì)及其優(yōu)化方法.Warbuton對(duì)線性吸振器進(jìn)行優(yōu)化方法的設(shè)計(jì)及優(yōu)化參數(shù)的改進(jìn)[2]，如何更加有效地設(shè)計(jì)吸振器以及保證減振的效果成為研究重點(diǎn).首先，線性吸振器的發(fā)展，對(duì)系統(tǒng)提出不同的優(yōu)化方案[3]，系統(tǒng)參數(shù)設(shè)計(jì)已經(jīng)有了精確解[4].然而，由于頻率間距較窄，一旦激振頻率偏離調(diào)諧點(diǎn)就產(chǎn)生較大振動(dòng).為了解決這個(gè)問(wèn)題，一些研究者開(kāi)始研究非線性吸振器[5].之后，非線性吸振器得到發(fā)展，最初，Arnold[6]考慮無(wú)阻尼立方非線性彈簧吸振器，在相應(yīng)的非線性條件下不同參數(shù)優(yōu)化方法有了發(fā)展. Natsiavas[7]研究了非線性穩(wěn)定性分析，及在軟、硬剛度下，非線性吸振器的動(dòng)態(tài)響應(yīng).近年來(lái)，在系統(tǒng)內(nèi)共振條件下，出現(xiàn)飽和吸振現(xiàn)象,降低了系統(tǒng)的響應(yīng)[810].另外，非線性也使得系統(tǒng)在一定條件下出現(xiàn)不穩(wěn)定、分岔及多解情況,降低了系統(tǒng)幅值.

1 動(dòng)力學(xué)模型

圖1為可調(diào)非線性系統(tǒng).x1為主質(zhì)量m1的位移，x2為振子m2的位移

圖1 可調(diào)非線性減振模型

基于可調(diào)非線性減振器的動(dòng)能及勢(shì)能,利用哈密爾頓最小勢(shì)能原理，減振動(dòng)態(tài)模型為

其中,l為彈簧在橫向的投影長(zhǎng)度,為可調(diào)因數(shù)；L為彈簧k2的實(shí)際伸長(zhǎng)量.

下面對(duì)方程進(jìn)行簡(jiǎn)化和無(wú)量綱化析非線性項(xiàng),對(duì)方程做二階近似處理展開(kāi)，系統(tǒng)矩陣形式為

其中，質(zhì)量、阻尼、剛度矩陣及相關(guān)系數(shù)為

2 近似求解

利用平均法，對(duì)系統(tǒng)方程穩(wěn)定解做近似展開(kāi)，解的形式

其中,u(τ)，v(τ)為慢時(shí)變函數(shù)

則

由式(5)得

將式(7)，式(5)，式(4)代入式(3)整理得

方程(6)乘以M cosτ,式(8)乘以-sinτ，將兩式相加，在周期內(nèi)積分取平均，化簡(jiǎn)得

方程(6)乘以M sinτ,式(8)乘以cosτ，將兩式相加，在周期內(nèi)積分取平均，化簡(jiǎn)得

整理式(11)得到

3 穩(wěn)定域分析

在小擾動(dòng)下，方程(12)為

其中

根據(jù)Roth判據(jù)

4 參數(shù)下系統(tǒng)方程的響應(yīng)及其優(yōu)化

4.1 系統(tǒng)幅頻響應(yīng)解析解

令主質(zhì)量幅值R2及振子R1幅值為

其中R2是高階次方程隱函數(shù)公式

式中

選取數(shù)據(jù)ξ1=0.02，ξ2=0.03，ε=0.01，f=0.1/ω2.如圖2和圖3所示，R1主質(zhì)量系統(tǒng)的共振幅值響應(yīng)較大，R2振子的幅頻響應(yīng)，振動(dòng)幅值一定區(qū)域內(nèi)存在多值解的情況，出現(xiàn)明顯的不穩(wěn)定性及幅值差較大，且共振峰值較大，可調(diào)節(jié)振子與主質(zhì)量的減振效果不明顯.

圖2 主質(zhì)量幅頻響應(yīng)

圖3 振子幅頻響應(yīng)

4.2 系統(tǒng)優(yōu)化參數(shù)

為了能更好的滿足設(shè)計(jì)要求及穩(wěn)定性，對(duì)系統(tǒng)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行H∞優(yōu)化，如下

給定不同數(shù)值區(qū)間下ξ1，ξ2，λ，ε，f，系統(tǒng)參數(shù)在可行域(20)內(nèi)，求解方程式(19)條件下的最優(yōu)值問(wèn)題.其中，參數(shù)變因子R2內(nèi)的可行域[0,1]，阻尼系數(shù)ξ1,ξ2設(shè)計(jì)區(qū)間：[0.01,0.2]，頻率比λ設(shè)計(jì)區(qū)間[0.5,3]，質(zhì)量比值參數(shù)υ區(qū)間為[0.04,0.2].

通過(guò)全局?jǐn)?shù)值搜索，系統(tǒng)數(shù)值最優(yōu)參數(shù)為：ξ1= 0.03，ξ2=0.03，λ=0.85，υ=0.05，ε=0.01.圖4為主質(zhì)量幅頻響應(yīng).可知主質(zhì)量系統(tǒng)經(jīng)優(yōu)化幅值得到明顯的降低，系統(tǒng)峰值近似相等.

圖4 主質(zhì)量幅頻響應(yīng)

在圖5中，虛線為線性優(yōu)化條件下近似解析解，實(shí)線為非線性優(yōu)化條件下數(shù)值結(jié)果.不同優(yōu)化條件下平均幅值差比為10%，可調(diào)非線項(xiàng)對(duì)系統(tǒng)的優(yōu)化效果明顯.

圖5 主質(zhì)量幅值

圖6～圖9為可調(diào)振子幅值響應(yīng).給定系統(tǒng)優(yōu)化參數(shù)：ξ1=0.03，ξ2=0.03，λ=0.85，υ=0.05，ε=0.01，振子共振幅值出現(xiàn)近似相等.

圖6為頻率比λ對(duì)振子的影響，隨著頻率比的增加，振子幅值減小，共振區(qū)間向右平移.在滿足系統(tǒng)優(yōu)化條件下，頻率比對(duì)振子幅值的影響并不明顯.

圖6 頻率比λ參數(shù)的影響

圖7為阻尼系數(shù)ξ2對(duì)振子的影響.隨著阻尼系數(shù)的增加，振子幅值明顯減小.

圖7 阻尼系數(shù)ξ2參數(shù)的影響

圖8為質(zhì)量比υ對(duì)振子的影響，隨υ的增加，振子幅值減小，共振區(qū)間增大.

圖8 質(zhì)量比υ參數(shù)的影響

圖9中，ε(k2,L,l)是可調(diào)節(jié)因子，隨著ε的增加，振子的響應(yīng)變大.在軟剛度下，振子幅值降低明顯.通過(guò)改變參數(shù)l值的大小，可調(diào)節(jié)減振效果.

圖9 可調(diào)參數(shù)ε的影響

5 總結(jié)

研究了可調(diào)非線性振子被動(dòng)減振器.建立可調(diào)節(jié)的非線性減振模型，分析非線性條件下幅頻響應(yīng)函數(shù)主要影響參數(shù)，在滿足穩(wěn)定性條件下，優(yōu)化系統(tǒng)參數(shù)，可使主質(zhì)量系統(tǒng)及振子幅值得到明顯降低.在被動(dòng)減振下，該模型為工程實(shí)際應(yīng)用及其參數(shù)選取提供設(shè)計(jì)依據(jù).

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(責(zé)任編輯:劉希國(guó))

2-D TUNABLE NONLINEAR ABSORBER1)

YANG Liu?,2)YANG Shaopu?YANG Yueting??(School of Mechanical Engineering,Beijing Jiaotong University,Beijing 100044,China)
?(Department of Mechanical Engineering,Shijiazhuang Railway Institute,Shijiazhuang 050043,China)

This paper presents the optimal design of a tunable nonlinear absorber.A nonlinear dynamic model is established based on the Hamilton principle of the minimum potential energy.The response equation of the two-DOF(degree of freedom)tunable nonlinear absorber is solved by the average method and the stability of the system is analyzed.,It is shown that with the optimized parameters,the amplitude of the vibration is reduced.

tunable,nonlinear,stability,optimization

O322

A

10.6052/1000-0879-16-241

2016–07–20收到第1稿，2016–10–11收到修改稿.

1)國(guó)家自然科學(xué)基金(50625518)和教育部科學(xué)技術(shù)研究重點(diǎn)資助項(xiàng)目.

楊柳,楊紹普,楊月婷.兩自由度可調(diào)非線性減振器.力學(xué)與實(shí)踐,2017,39(2):175-179 Yang Liu,Yang Shaopu,Yang Yueting.2-D tunable nonlinear absorber.Mechanics in Engineering,2017,39(2): 175-179