劉華東

斐波那契解“棋盤問題”

古印度有一個國王，很喜歡下棋.國王從來沒有遇到過敵手，只贏不輸.一天，國王下令：誰能贏了他，就可以滿足這個人提出的一個愿望.

一位從未跟國王下過棋的大臣要求與國王對弈.結(jié)果聰明的大臣贏了.

國王大度地說：“提出你的要求吧，我會信守諾言的.”

大臣輕輕地說：“我只想要一些麥粒，能把棋盤放滿.這個棋盤共有64個方格，陛下，請在第一個格子里放一粒麥粒，第二個格子里放2粒，第三個格子里放4粒，第四個格子里放8粒……依此類推，直至第64個格子.”

國王一聽，不假思索地說：“這個小小的要求，我立刻就滿足你.”于是，命令管糧食的大臣按計算方式算好麥粒的數(shù)目.管糧食的大臣計算后，走到國王面前悄聲說：“陛下，按照他的要求，全國的糧食加起來也不夠?。　闭f完大臣把計算結(jié)果給國王看，得數(shù)是18 446 744 073 709 551 615（粒），1立方米的麥粒大約是1 500萬粒，一共要給他12 000立方米的麥粒.國王一聽傻了眼，這可怎么辦？

中世紀(jì)，意大利數(shù)學(xué)家斐波那契（L.Fibonacci，1170～1250）再解這個問題時，遇到了難以表達(dá)的大數(shù)問題，斐波那契被迫給出了一種記法：先算出棋盤前兩行之和，再加1得65 536，將65 536枚金幣裝入一保險箱，將65 536個保險箱放入一座房子，再將65 536座這樣的房子放進(jìn)一座城市，65 536座這樣的城市所含的金幣減去1，就是棋盤上所有麥粒數(shù)字的和.

在沒有冪的表示方法的時代，要表達(dá)一個大數(shù)是多么不容易??！

海邊的奇思

敘拉古是古希臘的一個獨立城邦.敘拉古國王希羅（Hiero）之子蓋羅（Gelo）是大數(shù)學(xué)家阿基米德（Archimedes，前287～前212）的好朋友.

一天，阿基米德同蓋羅在海邊一起散步，阿基米德三句話不離本行，談起了大數(shù)問題.

“我們腳下的這片沙灘共有多少粒沙呢？”阿基米德問朋友.

“有無窮多粒吧.”蓋羅回答.

“那么整個西西里島上的沙粒數(shù)呢？”阿基米德接著問.

“當(dāng)然也是無窮多.”蓋羅不假思索地答道.

“可是，親愛的朋友，不僅西西里島，世界上任何地方的沙粒數(shù)都是有限的.我可以證明，我能找到一個大數(shù)，使得整個地球，甚至整個宇宙的沙粒數(shù)不超過這個數(shù)！”阿基米德自信地說.（那時候的天文學(xué)家認(rèn)為，宇宙就是以地球為中心、地日距離為半徑的球.）

“是真的嗎？太不可思議了！”蓋羅睜大眼睛看著眼前的這位數(shù)學(xué)家.

“對于一個沒有學(xué)過數(shù)學(xué)的人來說，那的確令人難以置信.”阿基米德回答.

接下來，阿基米德開始向朋友介紹自己的大數(shù)計數(shù)法：從1數(shù)到1萬，再從1萬數(shù)到1萬萬，將1到1萬萬稱之為一階數(shù)；從1萬萬數(shù)到1萬萬個1萬萬，稱之為二階數(shù)；從1萬萬個1萬萬數(shù)到1萬萬個1萬萬個1萬萬，稱之為三階數(shù)……最后數(shù)到一萬萬階數(shù).

雖然蓋羅平日里常常向阿基米德學(xué)數(shù)學(xué)，但他還是有點頭暈.阿基米德告訴朋友，根據(jù)他的證明，若將沙粒看成罌粟殼那么大，裝滿整個宇宙不超過1000個七階數(shù)（1后面有51個零）.而裝滿整個阿里斯塔克斯恒星球的沙粒數(shù)不超過10 000 000個八階數(shù)（1后面有63個零）.

蓋羅強(qiáng)烈要求阿基米德將其大數(shù)計數(shù)法和計算沙粒的計算方法寫成書，讓更多的希臘人學(xué)習(xí).

計算沙粒數(shù)時，要面對1051這個大數(shù)，但在17世紀(jì)以前，人們并沒有簡便的大數(shù)記法.阿基米德采用“萬萬進(jìn)”的記數(shù)方法表達(dá)了這個大數(shù)，并提出了一個定理——用今天的記號，就是10m×10n=10m+n.

在阿基米德之后，古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖（Diophantus，3世紀(jì)）、阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家阿爾·卡拉吉（al-Karaji，953～1029）、意大利數(shù)學(xué)家斐波那契（L.Fibonacci，1170～1250）等都采用“加法法則”來記四次及更高次冪，如用“平方——平方”表示四次冪，用“平方——立方”表示五次冪等等.

15～16世紀(jì)的歐洲數(shù)學(xué)家則通過等差和等比數(shù)列之間的對應(yīng)關(guān)系來呈現(xiàn)同底數(shù)冪的運算法則.德國數(shù)學(xué)家斯蒂菲爾（M.Sifel，1487～1567）在《整數(shù)算術(shù)》中討論了四種對應(yīng)關(guān)系：冪的運算中的乘、除、乘方、開方分別對應(yīng)于四則運算中的加、減、乘、除.以第二種為例，同底數(shù)冪的除法對應(yīng)的是指數(shù)相減（如2m÷2n=2m-n）.

1637年法國數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家笛卡爾（R.Descar，1596～1650）在《方法論》附錄（《幾何學(xué)》）中創(chuàng)用了冪的新記號：如用a3表示a·a·a，用a4表示a·a·a·a等等.有了笛卡爾的新記號，同底數(shù)冪運算等冪的運算法則的導(dǎo)出就變得自然而然了.

數(shù)學(xué)之精妙在于人們在生活中的不斷探索、思考、發(fā)現(xiàn)和應(yīng)用，站在巨人的肩上我們可以看得更高、更遠(yuǎn).同學(xué)們，讓我們擁抱數(shù)學(xué)，明天你也許就是一位“數(shù)學(xué)巨人”.

（作者單位：江蘇省鹽城市中興實驗學(xué)校）