康凱

基于EGARCH模型的滬深300指數(shù)波動性及其收益率分布的研究

康凱

波動率衡量的是資產(chǎn)收益的不確定性，它代表了金融資產(chǎn)的風險，成為金融資產(chǎn)一個非常重要的特征，因此利用金融時間序列對金融產(chǎn)品的波動進行估計和建模不論是在現(xiàn)代資產(chǎn)定價理論方面，還是在風險管理理論方面，都是十分重要且必要的。文章基于滬深300指數(shù)的收盤價數(shù)據(jù)，利用EGARCH模型成功地擬合了其對數(shù)化后的收益率數(shù)據(jù)，并分析了滬深300指數(shù)的波動特征。

滬深300指數(shù)；EGARCH；杠桿效應；t分布

一、研究背景和意義

隨著世界經(jīng)濟的不斷增長，各國金融市場不斷成熟和完善，金融創(chuàng)新層出不窮，每天都有大量新的金融產(chǎn)品問世，金融產(chǎn)品尤其是股票的收益率是很難預測的，但是收益率的波動率卻相對比較容易預測，因此利用金融時間序列對金融產(chǎn)品的波動進行估計和建模不論是在現(xiàn)代資產(chǎn)定價理論方面，還是在風險管理理論方面，亦或是其他相關方面，都是十分重要且必要的。

二、GARCH族模型的簡介與發(fā)展

（一）ARCH模型

自回歸條件異方差(ARCH)模型是Engle于1982年提出的，當時由于該模型能很好地擬合金融資產(chǎn)收益率的時間序列中的異方差問題，迅速在計量經(jīng)濟學理論體系中站穩(wěn)腳跟，隨后被許多實證所證明。Engle和Kraft(1983)指出，ARCH模型對時間序列波動率的擬合程度，在一定程度上取決于能得到的信息的完整度。其數(shù)學表達如下：

ARCH模型也僅僅是一種比較簡單的線性模型，對金融市場的時間序列數(shù)據(jù)擬合能力有限，為了彌補理論與現(xiàn)實的差距，ARCH模型有了進一步的擴展與改進。

（二）GARCH模型

Bollerslev(1986)擴展了Engle的原始模型，引入了一種允許條件方差轉化為一個ARMA過程的方法。假定，且。由于{ZT}是白噪聲過程，所以其條件和無條件均值均等于零。

GARCH模型相對于標準的ARCH模型有很多優(yōu)點，一個高階的ARCH模型可能有一個更為簡潔且更易識別和估算的GARCH表達式。顯然，模型越簡潔，對系數(shù)的限制越少。當然，GARCH模型也有其限制，為保證條件方差是有限的，GARCH模型的波動方程的所有特征根必須都在單位圓內。

（三）EGARCH模型

Glosten、Jaganathan和Runkle(1994)提出了一個考慮好消息和壞消息對波動不同影響的門限GARCH(Threshold-GARCH, TGARCH)過程，這個模型在一定程度上解決了杠桿效應的問題，但是仍不能突破所有估計系數(shù)都為正的問題。Nelson(1991)提出了一個不需要非負限制的表達式，即指數(shù)GARCH (EGARCH)模型。

該模型具有以下優(yōu)點：條件方差為線性對數(shù)形式，可以允許系數(shù)為負；EGARCH模型使用標準化的rt-1值（即rt-1/ht-10.5），用這種標準化的值能夠更準確地解釋沖擊的大小和持續(xù)性；考慮了杠桿效應，如果rt-1/ht-10.5為正，沖擊對取對數(shù)的條件方差的影響是α1+λ1，反之則是-α1+λ1。

三、EGARCH模型的實證結果

本文選取滬深300指數(shù)05.04.08至15.12.31共2610個交易日的日收盤數(shù)據(jù)。

（一）滬深300指數(shù)的統(tǒng)計特性

收盤價很序列明顯是非平穩(wěn)的，所以我們將其收益率構造為rt=100×ln(ct/ct-1)。對新得到的收益率序列進行ADF單位根檢驗，結果得到統(tǒng)計量的值為-49.07542，其對應的p值為0.0001，在α=0.05的條件下拒絕存在一個單位根的原假設，說明序列平穩(wěn)。

觀察序列{rt}的基本統(tǒng)計量，2609個觀測值的均值為0.0503，樣本標準差為1.0890，同時，偏度為-0.4774、峰度為6.0859，呈現(xiàn)尖峰厚尾的特征。從下圖可以看出，收益率的分布比正態(tài)分布陡峭，與分布的形狀更加相似，因此我們猜想，用t分布來估計{rt}序列是有意義的，這在下文中得到了驗證。

（二）均值方程的擬合分別構造{rt}序列的ARIMA(p,d,q)模型的幾種情況，結果見表1：

表1 幾種ARIMA(p,d,q)模型對{rt}序列的擬合情況

ARMA(1,1)的AIC和SBC最小，同時結合簡練性原則，可以得出上述均值方程應使用ARMA(1,1)的結論。

（三）EGARCH模型的實現(xiàn)和檢驗

杠桿效應的存在，使得我們必須用非對稱模型來解決收益率序列的擬合。同時，杠桿效應的大小并不只取決于方向，更取決于沖擊的幅度。用EGARCH模型來擬合序列的波動方程，同時上文已經(jīng)證明均值模型為ARMA(1,1)較合適，故整個模型為：

表2 EGARCH(1,1)擬合結果

表2中的擬合結果，分別是假設其殘差服從正態(tài)分布、T分布、GED分布下的結果，無論是哪種結果都不能令我們滿意。T分布和GED分布下的擬合結果在AIC和SBC下均比正態(tài)分布的結果好，但是在T分布下，均值方程的常數(shù)項不顯著；在GED分布下，波動方程的的一階自回歸系數(shù)不顯著。

進一步觀察可以發(fā)現(xiàn)，對比三種分布，均值方程的常數(shù)項在取值較小時會比較顯著，換句話說，α0對序列{rt}的影響較小。同理，γ1也具有相同的性質。故考慮令二者系數(shù)為零，再次擬合結果見表3。

表3 加入約束后的EGARCH(1,1)擬合結果

再次觀察加入限定后的結果，各個系數(shù)均有顯著性影響，對比三種分布下的AIC和SBC，發(fā)現(xiàn)T分布下的情況最好，這也與上文對殘差分布的分析吻合。

四、總結

通過以上對滬深300指數(shù)的EGARCH實證分析，可以得出以下結論：

（一）對滬深300指數(shù)的收盤價進行平穩(wěn)處理后，其收益率序列在分布上具有尖峰厚尾和波動聚集的特性，通過比較，發(fā)現(xiàn)實際觀測值并不像我們想象中的一樣服從正態(tài)分布，而是對于Student-t分布和GED分布具有較好的吻合度。實證結果也證明，在這兩個分布的假設下擬合得到的結果較好，其中尤其出色的是Student-t分布。

（二）ARMA(1,1)模型特征如下：根據(jù)所建立的ARMA(1,1)模型，AR過程和MA過程出現(xiàn)了共軛復根，此時對數(shù)收益率的自相關函數(shù)呈現(xiàn)出減幅的正弦或余弦波圖像，其中AR過程的周期性約為1，說明對數(shù)收益率受自身影響的內生波動周期為1天；MA過程的周期性為1，說明對數(shù)收益率受外在影響的外生波動周期為1天。以上結果說明，對數(shù)收益率只受上一交易日的內在和外在的影響，這與當前大多數(shù)金融分析師認為的資本市場運作規(guī)律十分吻合。

[1]Engle R F.Autoregressive Conditional Heteroscedasticity with Estimates of the Variance ofUnited Kingdom inflation[J]. Econometrica,1982，50(4):987-1007.

[2]Bollerslev T.Generalized Autoregressive Conditional Heterosceda sticity[J].Journal ofEconometrics,1986，（31）:307-327.

[3]Fama E F.The behavior of stock-market prices[J].Journal of Business,1965，31(5):34-105.

[4]賴艷麗.GARCH模型族在滬深300中的比較研究[J].上海管理科學,2012，(04).

[5]王未卿,李秋夢,邢德鑫.基于GARCH模型族的滬深300波動率實證分析[J].中國證券期貨,2013，(05).

康凱，男，河南新鄉(xiāng)人，天津商業(yè)大學碩士在讀，研究方向：數(shù)量經(jīng)濟學理論與方法。

F830.91

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1008-4428（2017）04-73-02