董 令，李 巖，楊宏韜，劉克平

(長(zhǎng)春工業(yè)大學(xué),長(zhǎng)春 130012)

0 引 言

近年來,龍門式工業(yè)機(jī)器人雙電機(jī)耦合同步控制越來越多地應(yīng)用在工業(yè)、農(nóng)業(yè)和交通運(yùn)輸?shù)刃袠I(yè)中。由于2個(gè)永磁伺服電機(jī)之間存在速度、位置等約束，傳統(tǒng)的PID計(jì)算繁瑣求解困難，因此需要設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)目刂破鲗?duì)各電機(jī)的轉(zhuǎn)速進(jìn)行協(xié)調(diào)控制。自從1980年Koren提出交叉耦合控制器以來[1]，又有許多研究人員將魯棒控制[2]、滑模變結(jié)構(gòu)[3]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[4]與模糊控制[5]等現(xiàn)代控制方法應(yīng)用到多電機(jī)協(xié)調(diào)控制中，采用速度和轉(zhuǎn)角(位置)雙重同步多電機(jī)協(xié)調(diào)控制，取得了很好的效果。

區(qū)間矩陣方法是研究線性時(shí)變系統(tǒng)穩(wěn)定性的重要方法之一[6]。由于雙電機(jī)系統(tǒng)是一個(gè)多變量、強(qiáng)耦合、非線性時(shí)變系統(tǒng)，研究一種簡(jiǎn)單的提高同步性能的控制方法，保證電機(jī)在負(fù)載發(fā)生變化時(shí)仍能保持良好的同步控制性能。

本文基于區(qū)間矩陣?yán)碚搶㈦姍C(jī)不確定參數(shù)進(jìn)行最大值最小值估計(jì)，然后進(jìn)行狀態(tài)矩陣分解，并構(gòu)造正定矩陣?？紤]到雙電機(jī)的動(dòng)態(tài)性能及交叉耦合特性，將雙電機(jī)的電流、速度和位置誤差信號(hào)加入耦合雙電機(jī)同步控制系統(tǒng)控制器中。設(shè)計(jì)負(fù)載轉(zhuǎn)矩觀測(cè)器辨識(shí)負(fù)載變化，依據(jù)負(fù)載變化調(diào)節(jié)變負(fù)載對(duì)轉(zhuǎn)速的影響，根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性定理驗(yàn)證了雙電機(jī)同步系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

1 雙電機(jī)同步數(shù)學(xué)模型建立

1.1 坐標(biāo)變換

建立永磁伺服電機(jī)控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的坐標(biāo)系通常分為2大類，一類是靜止坐標(biāo)系，包括三相A-B-C坐標(biāo)系和α-β坐標(biāo)系；另一類是旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系，常用的是兩相d-q坐標(biāo)系。d-q坐標(biāo)系與A-B-C坐標(biāo)系變換關(guān)系：

(1)

(2)

利用坐標(biāo)變換關(guān)系式(1)和式(2)以及永磁同步電動(dòng)機(jī)(以下簡(jiǎn)稱PMSM)在A-B-C坐標(biāo)系中的數(shù)學(xué)模型[7]，可以得到PMSM在d-q旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中的數(shù)學(xué)模型：

(3)

式中:Lsd和Lsq分別表示d軸和q軸的電感;Rs是定子電阻;ψr是永磁電機(jī)的磁鏈;p是極對(duì)數(shù);B是摩擦系數(shù);J是慣性力矩;id,iq分別是d,q軸定子電流;ω是轉(zhuǎn)子速度;ud,uq分別是d,q軸的電壓;Tl是負(fù)載轉(zhuǎn)矩。

1.2 雙電機(jī)同步模型建立

龍門式工業(yè)機(jī)器人兩永磁伺服電機(jī)系統(tǒng)可以用如圖1所示的兩耦合伺服電機(jī)同步控制原理圖來描述[8]。該系統(tǒng)可分為控制器、驅(qū)動(dòng)器和觀測(cè)器等幾部分，給定同步控制角速度ω*，控制器輸出ud1,uq1和ud2,uq2分別經(jīng)過驅(qū)動(dòng)器作用于永磁伺服電機(jī)PMSM1和PMSM2。兩電機(jī)實(shí)時(shí)的角速度反饋給控制器，同步控制系統(tǒng)是非線性耦合的，當(dāng)負(fù)載發(fā)生變化時(shí)，角速度ω1和ω2以及各軸電流值都將發(fā)生變

圖1 兩耦合伺服電機(jī)同步控制原理圖

化，通過負(fù)載觀測(cè)器辨識(shí)得到2個(gè)負(fù)載的變化，并反饋給控制器，控制器調(diào)整ud1,uq1和ud2,uq2各值，從而完成雙電機(jī)非線性耦合同步控制。

如果轉(zhuǎn)子角位置相同，這種同步是理想狀態(tài)，此時(shí)兩電機(jī)的耦合力是不存在的。當(dāng)2個(gè)電機(jī)中的負(fù)載發(fā)生變化，這時(shí)控制2個(gè)電機(jī)速度同步是比較困難的，相互之間的影響可能會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)的不穩(wěn)定，所以設(shè)計(jì)同步控制器是必要的。為了得到較好的控制效果，永磁伺服電機(jī)的動(dòng)態(tài)模型和雙電機(jī)之間的耦合關(guān)系有必要考慮。作用在轉(zhuǎn)子和定子上的耦合力直接影響同步速度，2個(gè)電機(jī)的耦合是多變量非線性的，根據(jù)單個(gè)電機(jī)的模型可以得出雙電機(jī)模型的表達(dá)式[8-9]：

(4)

式中:Lsdi和Lsqi分別表示d軸和q軸的電機(jī)i的電感;Rsi是電機(jī)i的電阻;ψri是電機(jī)i的磁鏈;p1i是電機(jī)i的極對(duì)數(shù);Βi是電機(jī)i的摩擦系數(shù);Ji是電機(jī)i的慣性力矩;idi和iqi分別是d,q軸電機(jī)i的定子電流;ωi是電機(jī)i的轉(zhuǎn)子速度;θi是電機(jī)i的轉(zhuǎn)子角速度;udi和uqi分別是d軸和q軸電機(jī)i的電壓;Tli是電機(jī)i的負(fù)載轉(zhuǎn)矩;f1(θ1-θ2)和f2(θ1-θ2)分別是作用在電機(jī)1和電機(jī)2上的耦合力，而且是非線性的。

實(shí)際應(yīng)用中，通常作如下假設(shè)：

(5)

2 2臺(tái)耦合伺服電機(jī)同步控制器設(shè)計(jì)

為了保持2臺(tái)耦合伺服電機(jī)的同步運(yùn)行，需要設(shè)計(jì)一個(gè)同步控制器，令：

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

式中:uffd1,uffd2分別是電機(jī)1和電機(jī)2的d軸正反饋信號(hào);uffq1,uffq2分別是電機(jī)1和電機(jī)2的q軸正反饋信號(hào);ufbd1,ufbd2分別是電機(jī)1和電機(jī)2的d軸負(fù)反饋信號(hào);ufbq1,ufbq2分別是電機(jī)1和電機(jī)2的q軸負(fù)反饋信號(hào)。令 :

(11)

(12)

(13)

(14)

令:

(15)

ufb=[ui]4×1=[ufbd1ufbq1ufbd2ufbq2]T

(16)

uff=[uffd1uffq1uffd2uffq2]T

(17)

控制輸入：

U=Uff+Ufb=[ud1uq1ud2uq2]T

(18)

根據(jù)以上公式，可以表述成狀態(tài)方程的形式：

(19)

(20)

(21)

(22)

根據(jù)實(shí)際工程實(shí)驗(yàn),有如下不等式成立：

(23)

Δ*={Δ∈Rn2×n2|Δ=diag{χ11…χ1n…χn1χnnn}},(|χij|≤1,i,j=1,…,n)。

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

式中：α=ATc0Pc1+Pc1Ac0+KTcBTPc1+Pc1BKc+εMTcMc+L。

控制輸入U(xiǎn)=Uff+KcXc，則有Ufb=Kcc，狀態(tài)方程式(19)可以寫成下式：

(32)

選擇李雅普諾夫函數(shù)：

Vc1=XTcPc1Xc

(33)

c(ATc0Pc1+Pc1Ac0+KTcBTPc1+Pc1BKc+

AXTcPc1GcAf1(θ1-θ2)

(34)

讓：

Zc=[XTcfT1(θ1-θ2)]T

(35)

根據(jù)式(23)，式(34)可以寫成如下不等式：

(36)

(37)

(1)s(x)<0；

根據(jù)等價(jià)不等式(3)，可得Qc1<0,可以寫成式(31)。根據(jù)李雅普諾夫函數(shù)，可知系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

3 負(fù)載轉(zhuǎn)矩觀測(cè)器模型建立

控制系統(tǒng)式(32)穩(wěn)定的前提是電機(jī)1和電機(jī)2的負(fù)載轉(zhuǎn)矩是已知的，但是實(shí)際電機(jī)運(yùn)行時(shí)，電機(jī)的負(fù)載轉(zhuǎn)矩是未知的，所以，需要設(shè)計(jì)負(fù)載轉(zhuǎn)矩觀測(cè)器。通常情況下負(fù)載轉(zhuǎn)矩是常數(shù)或者變化速度很慢，因此有下式：

(38)

(39)

Y=C0X0

(40)

式中:

Y=[id1iq1ω1id2iq2ω2]T

負(fù)載轉(zhuǎn)矩可以被表示：

(41)

( (42)

Ufb=KcXc=[ui]4×1

Kc=[kij]4×7

ki7(θ1-θ2)

ufbd1=χ11+χ12

ufbd2=χ31+χ32

ufbq2=χ41+χ42

其中:

χ11和χ21是電機(jī)1的自反饋，χ32和χ42是電機(jī)2的自反饋，χ12,χ22,χ31和χ41是雙電機(jī)交叉耦合信號(hào)。從表達(dá)式可以看出，交叉耦合信號(hào)包括電流信號(hào)、速度誤差信號(hào)和位置誤差信號(hào)。如果增強(qiáng)交叉反饋信號(hào)，那么同步性能和動(dòng)態(tài)性能將會(huì)得到提高。把ufbd1表達(dá)式做如下處理：

改寫為：

k17(θ1-θ2)

4 實(shí)驗(yàn)研究及結(jié)果分析

圖2 電機(jī)1轉(zhuǎn)速變化曲線

圖3 電機(jī)2轉(zhuǎn)速變化曲線

圖4 電機(jī)1轉(zhuǎn)矩變化曲線

圖5 電機(jī)2轉(zhuǎn)矩變化曲線

圖6 雙電機(jī)同步速度差變化曲線

為了驗(yàn)證本文提出的龍門式工業(yè)機(jī)器人控制器的同步精度，本文基于KUKA龍門式工業(yè)機(jī)器人平臺(tái)進(jìn)行了實(shí)際實(shí)驗(yàn)研究。兩永磁伺服電機(jī)的給定轉(zhuǎn)速為250 r/min，帶動(dòng)負(fù)載300 kg物體同步轉(zhuǎn)動(dòng)，通過在線監(jiān)控得到實(shí)驗(yàn)結(jié)果，如圖7、圖8所示。從圖中可以看出，控制器實(shí)時(shí)調(diào)整兩電機(jī)編碼器的輸出值，保持兩電機(jī)同步狀態(tài)。為得到同步系統(tǒng)的控制精度，在檢測(cè)畫面上選取任意2個(gè)時(shí)刻t1和t2，采集2組編碼器輸出值和2組轉(zhuǎn)速值進(jìn)行分析，可以得到表1和表2?？梢钥闯?，誤差在0.3 r/min左右。

圖7 編碼器位置輸出值變化曲線

圖8 同步轉(zhuǎn)速變化曲線

編碼器Y(t1)Y(t2)SERVO-03401417300401438300SERVO-04401417100401438000ΔY200300

表2 t1和t2時(shí)刻雙電機(jī)同步轉(zhuǎn)速

5 結(jié) 語

為了解決龍門式工業(yè)機(jī)器人多變量、非線性、強(qiáng)耦合雙電機(jī)的復(fù)雜同步控制問題，本文提出了基于區(qū)間矩陣及李雅普諾夫穩(wěn)定性理論的雙電機(jī)同步控制方法。首先，為得到良好的監(jiān)測(cè)效果，設(shè)計(jì)了負(fù)載轉(zhuǎn)矩觀測(cè)器，將負(fù)載力矩值反饋至控制器，調(diào)節(jié)編碼器的輸出。實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示，負(fù)載轉(zhuǎn)矩觀測(cè)器可以有效地辨識(shí)負(fù)載力矩，反映負(fù)載力矩的變化情況。其次，采用PID積分的思想，增強(qiáng)耦合作用強(qiáng)度，進(jìn)而調(diào)節(jié)同步轉(zhuǎn)速值。最后，通過仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了控制器的合理性和有效性，基于實(shí)驗(yàn)室龍門式工業(yè)機(jī)器人控制平臺(tái)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，得到良好的控制效果，提高了雙電機(jī)控制系統(tǒng)的同步性能。

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