鐘 超,吳敬玉,陸智俊

(上海航天控制技術(shù)研究所,上海 201109)

?

基于PD控制的大撓性衛(wèi)星輸入成型姿態(tài)機(jī)動(dòng)方法研究

鐘 超,吳敬玉,陸智俊

(上海航天控制技術(shù)研究所,上海 201109)

對(duì)有快速姿態(tài)機(jī)動(dòng)要求的大撓性衛(wèi)星，為減小撓性振動(dòng)對(duì)姿態(tài)機(jī)動(dòng)時(shí)間的影響，對(duì)基于比例微分(PD)控制的輸入成型姿態(tài)機(jī)動(dòng)方法進(jìn)行了研究，提出用輸入成型方法在快速機(jī)動(dòng)過(guò)程中直接對(duì)附件的撓性振動(dòng)進(jìn)行抑制。將動(dòng)力學(xué)方程擴(kuò)展到狀態(tài)空間，通過(guò)求解狀態(tài)矩陣的特征值解出系統(tǒng)的等效振動(dòng)頻率與阻尼比，以獲得成型輸入器。給出了一種簡(jiǎn)化的且能滿足工程使用的輸入成型頻率參數(shù)確定方法。設(shè)計(jì)了輸入成型的PD控制器，實(shí)現(xiàn)歐拉軸快速姿態(tài)機(jī)動(dòng)，同時(shí)有效抑制附件的振動(dòng)。對(duì)輸入成型器的誤差進(jìn)行了分析。仿真分析了ZVD，EI，ZVDD，EI-Twohump四種輸入成型器對(duì)某衛(wèi)星太陽(yáng)陣撓性振動(dòng)的抑制效果，以及慣量和撓性參數(shù)分別在標(biāo)稱及拉偏狀態(tài)下衛(wèi)星姿態(tài)機(jī)動(dòng)時(shí)的姿態(tài)誤差與振動(dòng)模態(tài)。結(jié)果表明：該方法可滿足工程使用要求，簡(jiǎn)易地獲取輸入成型參數(shù)，設(shè)計(jì)繞歐拉軸近似最短路徑的機(jī)動(dòng)方式，能有效抑制附件的撓性振動(dòng)，實(shí)現(xiàn)快速的姿態(tài)機(jī)動(dòng)。

大撓性衛(wèi)星； 輸入成型； PD控制； 姿態(tài)機(jī)動(dòng)； 撓性參數(shù)； 姿態(tài)控制； 帶寬隔離； 撓性抑制

0 引言

隨著衛(wèi)星功能的增強(qiáng)，有效載荷增加，為保證星上能源的供應(yīng)，太陽(yáng)能帆板的面積需相應(yīng)增大，衛(wèi)星的動(dòng)力學(xué)特性表現(xiàn)為星體大慣量和附件大撓性。對(duì)無(wú)姿態(tài)機(jī)動(dòng)要求的大撓性衛(wèi)星，姿態(tài)控制器都是通過(guò)減小系統(tǒng)帶寬的方法減弱附件撓性振動(dòng)對(duì)控制系統(tǒng)的影響[1-8]。對(duì)有快速姿態(tài)機(jī)動(dòng)要求的衛(wèi)星，執(zhí)行機(jī)構(gòu)輸出的大力矩易激發(fā)撓性附件振動(dòng)，從而對(duì)姿態(tài)機(jī)動(dòng)過(guò)程的快速與穩(wěn)定造成影響，進(jìn)而影響姿態(tài)機(jī)動(dòng)時(shí)間。

對(duì)大撓性附件衛(wèi)星控制的研究主要有頻率隔離、變結(jié)構(gòu)控制和分力合成等方法。頻率隔離法屬被動(dòng)控制方法，簡(jiǎn)單易行，但隨著技術(shù)的發(fā)展，對(duì)衛(wèi)星姿態(tài)機(jī)動(dòng)提出了新的要求，而該方法難以滿足這些新要求[8]。變結(jié)構(gòu)控制方法對(duì)系統(tǒng)參數(shù)和干擾有較強(qiáng)的魯棒性，但需利用全狀態(tài)信息反饋，而衛(wèi)星上撓性部件的模態(tài)振動(dòng)一般難以通過(guò)測(cè)量得到[9-11]。分力合成方法可有效抑制撓性附件的振動(dòng)，但需準(zhǔn)確獲知撓性附件的撓性參數(shù)，對(duì)參數(shù)的魯棒性較差，但航天器準(zhǔn)確的在軌撓性參數(shù)無(wú)法獲得[12-13]。

輸入成型方法是指由脈沖序列與給定的期望輸入卷積，形成的成型輸入信號(hào)作用于被控對(duì)象。輸入成型是一種減小系統(tǒng)余振的前饋控制，通過(guò)合理設(shè)計(jì)這些脈沖的大小及時(shí)間可消除殘余振動(dòng)[14-16]。輸入成型控制設(shè)計(jì)需求取整星的非約束模態(tài)撓性參數(shù)。衛(wèi)星動(dòng)力學(xué)按狀態(tài)空間改寫后，將面臨從高階矩陣中求取對(duì)應(yīng)的整星等效撓性參數(shù)的問(wèn)題，其計(jì)算非常復(fù)雜且量大，不利于工程實(shí)現(xiàn)[17-19]。

本文將輸入成型方法與PD控制結(jié)合，設(shè)計(jì)了一種易于工程使用同時(shí)又能滿足工程要求的輸入成型器撓性參數(shù)獲取方法。根據(jù)多撓性體動(dòng)力學(xué)輸入成型設(shè)計(jì)方法，先將動(dòng)力學(xué)方程擴(kuò)展至狀態(tài)空間，由狀態(tài)矩陣的特征值解出系統(tǒng)的等效振動(dòng)頻率與阻尼比；在分析狀態(tài)矩陣的基礎(chǔ)上，給出了一種誤差范圍在工程中可接受的系統(tǒng)特征值求取方法；設(shè)計(jì)了跟蹤期望軌跡的PD控制方法。此外，還設(shè)計(jì)了添加輸入成型的繞歐拉軸快速機(jī)動(dòng)的控制器，能在實(shí)現(xiàn)快速機(jī)動(dòng)的同時(shí)有效抑制附件的振動(dòng)。最后用數(shù)學(xué)仿真對(duì)本文方法在姿態(tài)機(jī)動(dòng)過(guò)程中抑制撓性附件振動(dòng)的有效性進(jìn)行驗(yàn)證。

1 輸入成型方法

輸入成型方法是一種通過(guò)對(duì)輸入力矩信號(hào)進(jìn)行某種改變，在力矩輸入完成后能保證衛(wèi)星機(jī)動(dòng)指定角度，同時(shí)使衛(wèi)星的柔性附件沒(méi)有殘余振動(dòng)的方法。通常來(lái)講，輸入成型器相當(dāng)于一個(gè)濾波器，可將輸入力矩中與帆板振動(dòng)頻率相同的信號(hào)濾除，從而避免衛(wèi)星在機(jī)動(dòng)過(guò)程中激發(fā)帆板振動(dòng)。

衛(wèi)星的動(dòng)力學(xué)模型可表示為

(1)

式中：φ為衛(wèi)星的三軸姿態(tài)角；I為衛(wèi)星慣量；T為控制力矩；a為剛?cè)狁詈舷禂?shù)；η為撓性附件的模態(tài)坐標(biāo)；ωc為撓性振動(dòng)的頻率；ξ為模態(tài)振動(dòng)阻尼比。

首先，考察單位脈沖力矩激發(fā)的撓性附件的振動(dòng)。將撓性附件的振動(dòng)方程改寫為

(2)

將控制力矩T視作零初始條件下的一系列的脈沖輸入，則可得系統(tǒng)的響應(yīng)

(3)

展開(kāi)式(3)，并令其中含有時(shí)間項(xiàng)的系數(shù)為零，則可得

(4)

(5)

求解式(4)、(5)可得作用于衛(wèi)星的n個(gè)脈沖力矩的Aj，tj，并能保證在第n個(gè)脈沖力矩作用后系統(tǒng)的殘余振動(dòng)為零。

對(duì)實(shí)際衛(wèi)星，帆板的振動(dòng)頻率和阻尼比常存在一定的拉偏，常用的方法是引入約束方程

(6)

使成型器對(duì)不確定性具有一定的魯棒性。N的數(shù)值不同，成型器的名稱也不相同，稱為N階魯棒輸入成型器。當(dāng)衛(wèi)星攜帶帆板1個(gè)，但帆板有振動(dòng)頻率m個(gè)時(shí)，可分別對(duì)各階振動(dòng)頻率求解輸入成型器，最后將所得成型器進(jìn)行卷積以得到新的成型器，新的成型器能抑制上述m個(gè)頻率的振動(dòng)。

目前應(yīng)用較廣的成型器有ZD，ZVD，ZVDD，EI，EI-Twohump成型器。ZD成型器是雙脈沖成型器，該成型器適于無(wú)頻率拉偏狀況，能精確抑制振動(dòng)。當(dāng)存在頻率拉偏時(shí)，ZD成型器的殘余振動(dòng)過(guò)大，不具有很好的魯棒性。ZVD，ZVDD成型器通過(guò)對(duì)殘余振動(dòng)的導(dǎo)數(shù)進(jìn)行限制以增強(qiáng)控制器的魯棒性，但這會(huì)增加成型器的長(zhǎng)度，如ZVDD成型器的長(zhǎng)度為ZD成型器的兩倍。EI，EI-Twohump成型器都有更好的魯棒性，在標(biāo)稱狀態(tài)下允許有誤差存在，但當(dāng)頻率偏離標(biāo)稱狀態(tài)一小段距離時(shí)，殘余振動(dòng)幅值減??；當(dāng)頻率偏差達(dá)到一定值時(shí)，系統(tǒng)的殘余振動(dòng)為零。EI，EI-Twohump成型器正是利用這種方法增強(qiáng)魯棒性的。

1.1 ZD，ZVD，ZVDD成型器

傳統(tǒng)輸入成型方法通過(guò)求解約束表達(dá)式(4)、(5)，使n個(gè)脈沖作用過(guò)后，系統(tǒng)的殘余振動(dòng)為零。令n取極小值，求解上述的約束方程。

通過(guò)優(yōu)化方法可得，此成型器的最小脈沖數(shù)為2個(gè)，其作用時(shí)間與幅值見(jiàn)表1。

表1 ZD成型器參數(shù)Tab.1 Parameters of ZD input shaper

表1中，K，t滿足關(guān)系

(7)

為增加系統(tǒng)的魯棒性，增加以下約束條件

(8)

由此則得到ZVD成型器。式(8)約束了脈沖結(jié)束時(shí)刻系統(tǒng)殘余振動(dòng)的變化率，系統(tǒng)殘余振動(dòng)的變化率最小，從而增加了系統(tǒng)的魯棒性。ZVD成型器參數(shù)見(jiàn)表2。

表2 ZVD成型器參數(shù)Tab.2 Parameters of ZVD input shaper parameters

為使系統(tǒng)的魯棒性更強(qiáng)，常采用以下約束

(9)

由此得到ZVDD輸入成型器。式(9)不僅約束了殘余振動(dòng)的一階導(dǎo)數(shù)，而且對(duì)二階導(dǎo)數(shù)也進(jìn)行了限制。ZVDD成型器參數(shù)見(jiàn)表3。

表3 ZVDD成型器參數(shù)Tab.3 Parameters of ZVDD input shaper

理論上可無(wú)限制地增加約束條件，從而使成型器獲得更強(qiáng)的魯棒性，但過(guò)長(zhǎng)的成型器并不合適。此外，限制殘余振動(dòng)的更高階導(dǎo)數(shù)對(duì)系統(tǒng)魯棒性的影響并不明顯。因此，實(shí)際應(yīng)用最廣的是ZVD，ZVDD成型器。

1.2 EI，EI-Twohump成型器

EI成型器是在研究ZVD成型器向量圖的條件下提出的。對(duì)ZVD成型器的相位進(jìn)行微小的調(diào)整能較好地提高系統(tǒng)的魯棒性，但這種魯棒性有方向性，即對(duì)某個(gè)方向拉偏的頻率偏差有較強(qiáng)的魯棒性。

EI成型器參數(shù)見(jiàn)表4。表4中：A1～A3滿足關(guān)系

(10)

式中：V為標(biāo)稱狀態(tài)時(shí)系統(tǒng)的殘余振動(dòng)幅值。

表4 EI成型器參數(shù)Tab.4 Parameters of EI input shaper

EI-Twohump成型器是對(duì)4個(gè)脈沖的ZVDD方法改進(jìn)后得到的。其約束條件是：標(biāo)稱頻率時(shí)系統(tǒng)無(wú)殘余振動(dòng)，在標(biāo)稱頻率的兩邊存在對(duì)稱的兩點(diǎn)，在這兩點(diǎn)上系統(tǒng)的殘余振動(dòng)為允許的最大值；在這兩點(diǎn)的外部存在另外兩個(gè)對(duì)稱點(diǎn)，這兩個(gè)點(diǎn)的殘余振動(dòng)為零。這種振動(dòng)形式是在允許條件下4個(gè)脈沖能達(dá)到最大魯棒性的脈沖形式。

EI-Twohump成型器參數(shù)見(jiàn)表5。

表5 EI-Twohump成型器參數(shù)Tab.5 Parameters of EI-Twohump input shaper

表5中：A1～A4滿足關(guān)系

(11)

兩種脈沖數(shù)最多的輸入成型器的魯棒性如圖1所示。

2 多撓性附件動(dòng)力學(xué)輸入成型器設(shè)計(jì)

2.1 輸入成型器求取

攜帶多個(gè)撓性附件的衛(wèi)星動(dòng)力學(xué)模型可表示為

(12)

設(shè)撓性附件有振動(dòng)頻率m個(gè)，將式(12)寫成狀態(tài)空間形式

(13)

式中：A，B分別為(2nm+6)， (2nm+6)×3維的常值矩陣，A，B的具體表達(dá)式對(duì)推導(dǎo)過(guò)程無(wú)影響；

(14)

式中：x0為系統(tǒng)的初始狀態(tài)。一般，對(duì)姿態(tài)機(jī)動(dòng)控制問(wèn)題，系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零，則得

(15)

式中:uj為第j個(gè)脈沖輸入。為在機(jī)動(dòng)結(jié)束后有效消除振動(dòng)，需式(15)在t>tn時(shí)恒為零。式(15)改寫為

(B1uxj+B2uyj+B3uzj)=0

(16)

式中：Bi為矩陣B的第i列；uxj，uyj，uzj分別為第j個(gè)脈沖力矩在x、y、z軸的分量。

需說(shuō)明的是，因無(wú)法事先知道三軸控制力矩的比例，故不能通過(guò)對(duì)某一軸力矩的成型消除另一軸的振動(dòng)，需分別對(duì)三軸力矩進(jìn)行成型處理。

不失一般性，以滾動(dòng)軸為例，根據(jù)成型器條件推導(dǎo)，若A含有不同的特征值n個(gè)，則式(16)中的e-A(t-tj)可寫成

(17)

式(17)中P的第i列是A的第i個(gè)特征值對(duì)應(yīng)的特征向量。則式(17)可化簡(jiǎn)為

(18)

對(duì)簡(jiǎn)單的無(wú)耦合的二階系統(tǒng)，可在時(shí)域內(nèi)得到簡(jiǎn)單的輸入成型器的約束方程，約束方程可寫成式(18)的形式，式(18)中的特征值恰好對(duì)應(yīng)于各二階系統(tǒng)的頻率與阻尼比。

因此，對(duì)有多個(gè)撓性附件的系統(tǒng)，只需將其寫成狀態(tài)空間的形式，并求解A的特征值，就可通過(guò)A的特征值解出系統(tǒng)的等效振動(dòng)頻率與阻尼比，進(jìn)而根據(jù)等效振動(dòng)頻率與阻尼比求解成型器。除與控制器對(duì)應(yīng)的6個(gè)特征值外，其余的特征值是與附件的運(yùn)動(dòng)相對(duì)應(yīng)的，振動(dòng)系統(tǒng)的特征值成對(duì)出現(xiàn)，并互為共軛。一對(duì)共軛特征值可求解出一個(gè)等效的振動(dòng)頻率和阻尼比。共軛特征值與等效振動(dòng)頻率、阻尼比的滿足關(guān)系

(19)

式中：λ為振動(dòng)系統(tǒng)的特征值；i為虛數(shù)單位。由式(19)可求出振動(dòng)系統(tǒng)的等效振動(dòng)頻率和阻尼。

2.2 撓性附件等效振動(dòng)頻率工程簡(jiǎn)化求取

A與撓性附件的耦合系數(shù)有關(guān)，而耦合系數(shù)在附件轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)會(huì)發(fā)生變化，因此其特征值的求取有一定難度。本文推導(dǎo)了一種誤差范圍在工程中可接受的特征值求取方法。

將衛(wèi)星姿態(tài)控制系統(tǒng)寫成狀態(tài)空間的形式，其表達(dá)式為

(20)

式中：

x=

(21)

A=

(22)

(23)

此處：Ic=I-Brot·(Brot)T；H=(E-(Brot)TI-1Brot)-1；q#=0.5(q0E3+(qv)×)；E為對(duì)應(yīng)維數(shù)的單位矩陣;qv為四元數(shù)矢部；符號(hào)“”表示反對(duì)稱陣。

將PD控制器代入式(20)可得

(24)

式中：qvd為期望四元數(shù)矢部；Kp，Kd分別為控制器的比例系數(shù)和微分系數(shù)；ad為期望角加速度；e為歐拉軸。另

(25)

此處：

僅需求取出A*的所有特征值，并分離出其中與撓性附件振動(dòng)頻率對(duì)應(yīng)的特征值即可應(yīng)用輸入成型方法。但通常控制系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程是非線性的，即A*的表達(dá)式中含有q#項(xiàng)，因此無(wú)法精確得到A*的特征根。

分析A*特征根的形式，并討論非線性運(yùn)動(dòng)學(xué)方程對(duì)撓性振動(dòng)對(duì)應(yīng)的特征根的影響?？紤]一般的控制形式，則

(26)

式中：q0為姿態(tài)四元數(shù)的標(biāo)部。在衛(wèi)星機(jī)動(dòng)過(guò)程中，q0隨時(shí)間而變，其變化范圍為0～1。

以某衛(wèi)星為例分析q0變化對(duì)A*中對(duì)應(yīng)的撓性附件振動(dòng)頻率的影響。衛(wèi)星太陽(yáng)電池陣的1～6階模態(tài)頻率分別為 0.181，0.589，0.909，0.993，2.402，2.726 Hz；X側(cè)太陽(yáng)電池陣振動(dòng)與轉(zhuǎn)動(dòng)的柔性耦合系數(shù)矩陣分別見(jiàn)表6、7。

表6 +X側(cè)太陽(yáng)電池陣振動(dòng)與轉(zhuǎn)動(dòng)的柔性耦合系數(shù)矩陣Tab.6 Vibration and flexible coupling coefficient array of +X side solar cell array

表7 -X側(cè)太陽(yáng)電池陣振動(dòng)與轉(zhuǎn)動(dòng)的柔性耦合系數(shù)矩陣Tab.7 Vibration and flexible coupling coefficient array of -X side solar cell array

將上述參數(shù)代入式(26)，計(jì)算撓性附件對(duì)應(yīng)的頻率，與用簡(jiǎn)化矩陣計(jì)算的附件振動(dòng)頻率進(jìn)行對(duì)比，分析附件頻率計(jì)算的誤差，以及q0變化對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響，誤差分析結(jié)果見(jiàn)表8。計(jì)算中，Kp=0.04，Kd=0.4。

表8 特征值誤差Tab.8 Error of eigenvalue

由表8可知：q0的變化對(duì)A*附件振動(dòng)頻率的影響很小，最大影響相當(dāng)于附件頻率拉偏了0.26%。簡(jiǎn)化計(jì)算的結(jié)果與實(shí)際的振動(dòng)頻率偏差約2.49%，對(duì)比衛(wèi)星實(shí)際振動(dòng)頻率的拉偏，2.49%的計(jì)算誤差可接受。

3 PD控制器設(shè)計(jì)

本章設(shè)計(jì)了一種輸入成型的PD控制快速姿態(tài)機(jī)動(dòng)方法，該法適于繞歐拉軸機(jī)動(dòng)的衛(wèi)星，并可抑制機(jī)動(dòng)過(guò)程中激發(fā)的振動(dòng)，同時(shí)能獲得姿態(tài)快速穩(wěn)定的效果。

為實(shí)現(xiàn)衛(wèi)星的快速姿態(tài)機(jī)動(dòng)，可先規(guī)劃出一條期望的歐拉角速度ωd與期望的歐拉角軌跡Φd，用PD控制算法使衛(wèi)星狀態(tài)跟蹤這個(gè)期望的狀態(tài)。為使系統(tǒng)能同時(shí)跟蹤上期望的歐拉角速度與歐拉角，ωd，Φd應(yīng)滿足關(guān)系

(27)

為使系統(tǒng)能精確跟蹤期望的姿態(tài)與姿態(tài)角速度，在一般PD控制器的基礎(chǔ)上引入沿歐拉軸的ad的前饋，ad，ωd需滿足條件

(28)

利用第2章中得到的輸入成型脈沖序列F，將規(guī)劃的路徑與其進(jìn)行卷積處理得到成型后的期望路徑，即

(29)

根據(jù)期望歐拉角計(jì)算出qvd，其表達(dá)式為

(30)

式中：e0為機(jī)動(dòng)歐拉軸。

含有期望角加速度前饋的PD跟蹤控制算法為

ade0)

(31)

直接用式(31)控制方式即可對(duì)衛(wèi)星姿態(tài)進(jìn)行控制，能保證在機(jī)動(dòng)結(jié)束后沒(méi)有因姿態(tài)機(jī)動(dòng)而留下的殘余振動(dòng)。因振動(dòng)在機(jī)動(dòng)后被有效抑制，故可將系統(tǒng)的帶寬設(shè)計(jì)得更大，使其能精確跟蹤軌跡Φd，ωd。

4 輸入成型器誤差分析

對(duì)實(shí)際的衛(wèi)星姿態(tài)控制系統(tǒng)，輸入成型器并不能在機(jī)動(dòng)結(jié)束后完全消除附件的振動(dòng)，主要原因如下。

a)實(shí)際的控制系統(tǒng)為離散控制系統(tǒng)，因離散時(shí)間是固定的，故無(wú)法保證輸入成型器延時(shí)的準(zhǔn)確性，這樣會(huì)造成時(shí)間上的誤差。如振動(dòng)的半周期小于離散系統(tǒng)的時(shí)間，將無(wú)法應(yīng)用輸入成型控制器。

b)實(shí)際的帆板振動(dòng)頻率存在偏差，與標(biāo)稱的振動(dòng)頻率并不嚴(yán)格相同，這將會(huì)導(dǎo)致實(shí)際的振動(dòng)抑制效果偏離理論結(jié)果。

c)由于轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與衛(wèi)星的帆板振動(dòng)頻率有關(guān)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的拉偏將會(huì)影響帆板的實(shí)際振動(dòng)頻率，其效果相當(dāng)于振動(dòng)頻率的拉偏。

d)若機(jī)動(dòng)過(guò)程中帆板發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)，則需在理論上說(shuō)明帆板轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)衛(wèi)星振動(dòng)抑制的影響。

首先分析原因b)、c)。帆板振動(dòng)頻率拉偏產(chǎn)生的偏差可直接轉(zhuǎn)化為成型器時(shí)間節(jié)點(diǎn)的不準(zhǔn)確。這樣轉(zhuǎn)化的根據(jù)是：在成型器的兩個(gè)參數(shù)(脈沖幅值與作用時(shí)間)中，只有作用時(shí)間是振動(dòng)頻率的函數(shù)，由式(7)可知：脈沖幅值是關(guān)于K的函數(shù)，作用時(shí)間是關(guān)于t的函數(shù)，振動(dòng)頻率的拉偏將導(dǎo)致脈沖作用時(shí)間不準(zhǔn)確。但這可通過(guò)應(yīng)用魯棒性更強(qiáng)的輸入成型器盡量減小由振動(dòng)頻率拉偏帶來(lái)的影響。

其次分析原因a)。這相當(dāng)于將脈沖作用時(shí)間延后，脈沖作用時(shí)間變?yōu)閷?shí)際脈沖作用時(shí)間后且距其最近的離散時(shí)間整數(shù)倍的時(shí)間點(diǎn)。如離散時(shí)間為0.5 s，脈沖作用時(shí)間為2.6 s，則實(shí)際的脈沖作用時(shí)間為3 s。這種由離散化造成的脈沖作用時(shí)間的不確定性可轉(zhuǎn)化為振動(dòng)頻率的不確定，相當(dāng)于振動(dòng)頻率正向拉偏。對(duì)一階頻率，相當(dāng)于撓性頻率5%之內(nèi)的拉偏。

最后分析原因d)。對(duì)帆板的耦合矩陣參數(shù)進(jìn)行分析可知：帆板轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)衛(wèi)星振動(dòng)頻率的影響很小，而耦合系數(shù)的變化將導(dǎo)致脈沖作用時(shí)間點(diǎn)的輸入矩陣B不同，這樣導(dǎo)致的等效變化相當(dāng)于脈沖幅值發(fā)生了變化；但若帆板的轉(zhuǎn)動(dòng)速度較慢，則B的變化速度也相對(duì)較慢，這樣在兩個(gè)脈沖作用時(shí)間間隔內(nèi)B的變化就非常小，因此對(duì)振動(dòng)抑制效果的影響也就非常小。

5 仿真

本文以某衛(wèi)星為例進(jìn)行仿真。該衛(wèi)星太陽(yáng)電池陣展開(kāi)后的面積31 m2，第一階模態(tài)0.181 Hz，第二階模態(tài)0.589 Hz，姿軌控分系統(tǒng)采用角動(dòng)量50 N·m·s的五棱錐構(gòu)型控制力矩陀螺群作為執(zhí)行機(jī)構(gòu)，需繞滾動(dòng)方向在180 s內(nèi)機(jī)動(dòng)66°，姿態(tài)機(jī)動(dòng)結(jié)束指標(biāo)為姿態(tài)角小于0.02°，姿態(tài)角速度小于0.000 5 (°)/s。

由于采用控制力矩陀螺群作為執(zhí)行機(jī)構(gòu)，輸出力矩達(dá)到10 N·m，此大力矩作用于衛(wèi)星上，姿態(tài)機(jī)動(dòng)時(shí)電池陣撓性模態(tài)激發(fā)嚴(yán)重，無(wú)法滿足姿態(tài)機(jī)動(dòng)時(shí)間的指標(biāo)要求。取整星的慣量參數(shù)為：Ixx=8 063 kg·m2；Iyy=14 784 kg·m2；Izz=12 225 kg·m2；Ixy=-368 kg·m2；Iyz=2 657 kg·m2；Ixz=345.6 kg·m2。PD控制器參數(shù)設(shè)計(jì)為：無(wú)阻尼角頻率ωn=0.2 rad/s；阻尼比ξ=0.9；最大機(jī)動(dòng)角速度ωn=0.8 (°)/s；歐拉軸方向最大力矩Tx=10 N·m。

因系統(tǒng)控制周期0.5 s，離散時(shí)間較長(zhǎng)，僅能對(duì)一階與二階振動(dòng)頻率產(chǎn)生一定的抑制作用，故只設(shè)計(jì)了抑制一階、二階頻率的ZVD、EI、ZVDD、EI-Twohump輸入成型器，各成型器參數(shù)見(jiàn)表9～12。期望軌跡時(shí)間節(jié)點(diǎn)見(jiàn)表13。

表9 ZVD輸入成型器參數(shù)Tab.9 Parameters of ZVD input shaper

表10 EI輸入成型器參數(shù)Tab.10 Parameters of EI input shaper

表11 ZVDD輸入成型器參數(shù)Tab.11 Parameters of ZVDD input shaper

表12 EI-Twohump輸入成型器參數(shù)Tab.12 Parameters of EI-Twohump input shaper

表13 期望軌跡時(shí)間節(jié)點(diǎn)Tab.13 Anticipant track time node

5.1 輸入成型方法比較

分別用ZVD，EI，ZVDD，EI-Twohump輸入成型器進(jìn)行姿態(tài)機(jī)動(dòng)控制仿真，所得兩翼太陽(yáng)電池陣的撓性模態(tài)激發(fā)分別如圖2～9所示，對(duì)太陽(yáng)陣殘余振動(dòng)的抑制結(jié)果見(jiàn)表14。

成型ZVDEIZVDDEI-Twohump右翼帆板2%2%2.5%2.5%左翼帆板10%4.4%5%5%

由表14可知：ZVDD，EI-Twohump輸入成型方法對(duì)太陽(yáng)陣撓性振動(dòng)的抑制效果相當(dāng)，且均優(yōu)于EI，ZVD輸入成型方法，ZVD輸入成型方法的抑制效果最差。

5.2 姿態(tài)機(jī)動(dòng)仿真

用Matlab/Simulink軟件編制仿真程序，針對(duì)PD控制的跟蹤輸入成型軌跡方法進(jìn)行仿真，采用ZVDD輸入成型方法。采用ODE4算法，取積分步長(zhǎng)0.02 s，仿真時(shí)長(zhǎng)6 000 s，在時(shí)刻2 000 s機(jī)動(dòng)。慣量和撓性參數(shù)為標(biāo)稱值時(shí)，仿真所得姿態(tài)角誤差、姿態(tài)角速度誤差、兩翼帆板振動(dòng)模態(tài)分別如圖10～15所示。

帆板模態(tài)頻率拉偏+20%時(shí)，仿真所得姿態(tài)角誤差、姿態(tài)角速度誤差、兩翼帆板振動(dòng)模態(tài)分別如圖16～21所示。

帆板模態(tài)頻率拉偏-20%時(shí)，仿真所得姿態(tài)角誤差、姿態(tài)角速度誤差、兩翼帆板振動(dòng)模態(tài)分別如圖22～27所示。

慣量拉偏+15%、帆板模態(tài)頻率拉偏+20%、耦合系數(shù)拉偏-20%時(shí)，仿真所得姿態(tài)角誤差、姿態(tài)角速度誤差、兩翼帆板振動(dòng)模態(tài)分別如圖28～33所示。

慣量拉偏-15%，帆板模態(tài)頻率拉偏-20%，耦合系數(shù)拉偏+20%時(shí)，仿真所得姿態(tài)角誤差、姿態(tài)角速度誤差、兩翼帆板振動(dòng)模態(tài)分別如圖34～39所示。

在標(biāo)稱和上述不同拉偏條件下，仿真所得姿態(tài)控制和撓性模態(tài)振動(dòng)幅值見(jiàn)表15。

5.3 仿真小結(jié)

由圖10～15可知：采用本文簡(jiǎn)化的輸入成型參數(shù)獲取方法，結(jié)合跟蹤期望軌跡的PD控制算法，在標(biāo)稱的慣量和撓性參數(shù)條件下，姿態(tài)機(jī)動(dòng)結(jié)束用時(shí)131 s，遠(yuǎn)優(yōu)于總體對(duì)姿態(tài)機(jī)動(dòng)的指標(biāo)要求(180 s)。與其它方法相比，本文提出的設(shè)計(jì)方法可有效抑制姿態(tài)機(jī)動(dòng)過(guò)程中的撓性模態(tài)激發(fā)，縮短了姿態(tài)機(jī)動(dòng)時(shí)間。

由表15可知：在各種參數(shù)拉偏情況下，系統(tǒng)的控制精度和穩(wěn)定度一致，但姿態(tài)機(jī)動(dòng)時(shí)間和模態(tài)抑制程度相當(dāng)，姿態(tài)機(jī)動(dòng)時(shí)間最大136 s，最小123 s，相差不大，對(duì)應(yīng)的撓性模態(tài)振幅分別為0.25，0.009。由此可認(rèn)為，本文提出的方法能適應(yīng)衛(wèi)星慣量參數(shù)和附件模態(tài)的拉偏，具一定的魯棒性，可滿足工程應(yīng)用。

表15 姿態(tài)控制和撓性模態(tài)振動(dòng)幅值Tab.15 Attitude control and flexible modal vibration range

6 結(jié)束語(yǔ)

本文針對(duì)衛(wèi)星控制系統(tǒng)進(jìn)行狀態(tài)空間建模，從理論上推導(dǎo)出了系統(tǒng)設(shè)計(jì)輸入成型器時(shí)等效頻率與狀態(tài)矩陣的關(guān)系，結(jié)合PD控制器的形式，設(shè)計(jì)了一種誤差范圍在工程中可接受的簡(jiǎn)單的特征值求取方法。將輸入成型器的脈沖對(duì)姿態(tài)機(jī)動(dòng)路徑進(jìn)行卷積處理得到期望的軌跡，設(shè)計(jì)了跟蹤期望軌跡的PD控制方法。以某衛(wèi)星為背景進(jìn)行了數(shù)學(xué)仿真，結(jié)果表明：采用該方法后姿態(tài)機(jī)動(dòng)過(guò)程中附件的撓性振動(dòng)被有效抑制，姿態(tài)機(jī)動(dòng)時(shí)間遠(yuǎn)優(yōu)于技術(shù)指標(biāo)的要求。分析仿真可知：該方法對(duì)參數(shù)的拉偏具魯棒性，能適應(yīng)慣量參數(shù)±15%、帆板撓性模態(tài)參數(shù)±20%的拉偏。

本文方法依賴于地面整星慣量和撓性參數(shù)的準(zhǔn)確測(cè)量，如整星參數(shù)的地面測(cè)量誤差較大，輸入成型器所需的等效頻率就會(huì)產(chǎn)生較大的誤差，這會(huì)對(duì)控制效果產(chǎn)生一定影響。后續(xù)將對(duì)在軌整星慣量和撓性參數(shù)的辨識(shí)進(jìn)行研究，以獲得較準(zhǔn)確的辨識(shí)參數(shù)，用辨識(shí)參數(shù)對(duì)輸入成型器和PD控制器進(jìn)行修正，期望獲得更好的控制效果。

[1] 章仁為. 衛(wèi)星姿軌道姿態(tài)動(dòng)力學(xué)與控制[M]. 北京: 北京航空航天大學(xué)出版社, 2006.

[2] SINGHOSE W E, BANERJEE A K. Flexible spacecraft with deflection-limiting input shaping[J]. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 2015, 20(2): 291-298.

[3] 原勁鵬, 楊旭， 楊滌. 輸入成型在衛(wèi)星噴氣姿態(tài)機(jī)動(dòng)控制中的應(yīng)用[J]. 東南大學(xué)學(xué)報(bào), 2005, 35(S2): 137-141.

[4] 劉剛, 李傳江， 馬廣富， 等. 應(yīng)用SGCMG的衛(wèi)星姿態(tài)快速機(jī)動(dòng)控制[J]. 航空學(xué)報(bào), 2011, 32(10): 1905-1912.

[5] 宋曉娟, 岳寶增, 閆玉龍, 等. 液體多模態(tài)晃動(dòng)充液航天器姿態(tài)機(jī)動(dòng)復(fù)合控制[J]. 宇航學(xué)報(bào), 2015, 36(7): 819-825.

[6] LEVE F A, NORMAN G. Hybrid sterring logic for

single-gimbal control moment gyroscopes[J]. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 2012, 33(4): 1202-1212.

[7] CUI Mei-yu, XU She-jie. Optimal attitude control of flexible spacecraft with minimum vibration[C]// AIAA Guidance, Navigation, and Control Conference. Toronto: AIAA, 2010: 1-16.

[8] 陳新龍, 楊滌, 翟坤. 某撓性衛(wèi)星姿態(tài)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)[J]. 哈爾濱工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào), 2008, 40(5): 678-682.

[9] UTKIN V I. Variable structure system with sliding modes[J]. IEEE Trans Autom Control, 1997, 22(2): 212-222.

[10] 李勇, 吳宏鑫. 撓性航天器旋轉(zhuǎn)機(jī)動(dòng)的變結(jié)構(gòu)控制[J]. 航天控制, 1996, 53(1): 19-61.

[11] 管萍, 劉小河, 劉向杰. 撓性衛(wèi)星的變結(jié)構(gòu)姿態(tài)控制[J]. 控制理論與應(yīng)用, 2007, 24(3): 480-484.

[12] 陜晉軍. 撓性空間飛行器的分力合成主動(dòng)振動(dòng)抑制方法研究[D]. 哈爾濱: 哈爾濱工業(yè)大學(xué), 2002: 20-31.

[13] 陜晉軍, 劉暾. 撓性結(jié)構(gòu)的分力合成主動(dòng)振動(dòng)抑制方法研究[J]. 上海航天, 2001, 18(6): 28-37.

[14] SINGER N C, SEERING W P. Pre-shaping command inputs to reduce system vibration[J]. Journal of Dynamic Systems, Measurement, and Control, 1990, 112(1): 76-82.

[15] CHANG Pyung-hun, PARK Juyi, PARK Joon-yong. Commandless input shaping technique[C]// Proceedings of the American Control Conference. Arlington: [s. n.], 2001: 25-27.

[16] SINIGH T, SINGHOSE W. Tutorial on input shaping/time delay control of maneuvering flexible structures[C]// Proceeding of American Control Conference. Anchorage: [s. n.], 2002: 1717-1731.

[17] TUZCU I. Dynamics and control of flexible aircraft[D]. Blacksburg: Virginia Polytechnic Institute, 2003.

[18] MEIROVITCH L, TUZCU I. Integrated approach to flight dynamics and aeroservoelasticity of whole flexible aircraft-part II: control design: AIAA Guidance, Navigation, and Control Conference and Exhibit[C]// Monterey: 2002.

[19] HU Qing-lei, MA Guang-fu. Vibration suppression of flexible spacecraft during attitude maneuvers[J]. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 2005, 28(2): 377-380.

Research on Input Shaping Attitude Maneuver Method for Large Flexible Satellite Based on PD Control

ZHONG Chao, WU Jing-yu, LU Zhi-jun

(Shanghai Institute of Spaceflight Control Technology, Shanghai 201109, China)

For some large flexible satellites required fast attitude maneuver, an input shaping attitude maneuver method based on PD control was studied to reduce the effect of flexible vibration on attitude maneuver time in this paper, in which input shaping method was applied to suppress adjunct’s flexible vibration during fast attitude maneuver. The dynamic equation was extended to the state space. The equivalent vibration frequency and damping ratio of the system were solved by computing eigenvalue of the state matrix, so the input shaper was obtained. An input shaping frequency parameters determination method was designed, which was simple and met the requirement in engineering. The PD controller of input shaping was designed, which could realize fast attitude maneuver by Euler axis and reduce adjunct flexible vibration as well. The errors of input shaper were analyzed. The suppress effects of flexible vibration for solar array of some satellite using ZVD, EI, ZVDD and EI-Twohump input shapers were analyzed by simulation. And the attitude error and vibration modal under nominal and deflection of inertia and flexible parameters in maneuvering were also discussed. It found that the method proposed could satisfy the engineering requirement. This method can satisfy engineering requirement, obtain input shaping parameters simply, design approximately the shortest maneuver route, restrain flexible vibration effectively, and complete fast attitude maneuver.

large flexible satellite; input shaping; PD control; attitude maneuver; flexible parameter; attitude control; bandwidth isolation; flexible supression

1006-1630(2017)02-0085-14

2017-02-14；

2017-03-22

鐘 超(1984—)，男，高級(jí)工程師，主要從事航天器控制研究。

V448.2

A

10.19328/j.cnki.1006-1630.2017.02.009