鄭 金

(凌源市職教中心,遼寧 朝陽(yáng) 122500)

利用阿氏圓 巧解物理題

鄭 金

(凌源市職教中心,遼寧 朝陽(yáng) 122500)

以物理方法推導(dǎo)并歸納了有關(guān)阿氏圓的數(shù)學(xué)結(jié)論以及和兩個(gè)不等量異號(hào)點(diǎn)電荷電場(chǎng)中電勢(shì)為0的等勢(shì)面有關(guān)的物理結(jié)論,用兩個(gè)結(jié)論來解答有關(guān)的物理疑難問題.

阿氏圓;點(diǎn)電荷;等勢(shì)面;球面

在平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比為不等于1的常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓,稱為阿波羅尼斯圓,簡(jiǎn)稱阿氏圓.可以證明,在空間到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比為定值(不等于1)的點(diǎn)的集合是球面;位于空間的兩個(gè)異號(hào)點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)中電勢(shì)為0的等勢(shì)面是球面.

圖1

1 結(jié)論歸納

如圖1所示,有兩個(gè)異種點(diǎn)電荷,其電荷量絕對(duì)值之比為n,二者間距為d,在它們產(chǎn)生的電場(chǎng)中電勢(shì)為0的等勢(shì)面為一球面.以電荷量的

整理得

物理結(jié)論： 在兩個(gè)不等量異號(hào)點(diǎn)電荷電場(chǎng)中的等勢(shì)面是一個(gè)球面.兩個(gè)點(diǎn)電荷到球面的距離之比等于電荷量的絕對(duì)值之比;兩個(gè)點(diǎn)電荷到球心的距離之積等于球面半徑的平方.

2 結(jié)論應(yīng)用

2.1 兩個(gè)異號(hào)點(diǎn)電荷電場(chǎng)中的等勢(shì)面

這種等勢(shì)面是一個(gè)球面,表面各點(diǎn)處的場(chǎng)強(qiáng)垂直于球面.

圖2

例1.(2011年卓越聯(lián)盟自主招生考題)半徑為R的接地金屬球外有一電荷量為q的點(diǎn)電荷,點(diǎn)電荷與球心O相距d=2R,如圖2所示.金屬球上的感應(yīng)電荷量為

圖3

例2.(第12屆全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽預(yù)賽第8題)一個(gè)由絕緣細(xì)線構(gòu)成的剛性圓形軌道,其半徑為R,此軌道水平放置,圓心在O點(diǎn).一個(gè)金屬小珠P穿在此軌道上,可沿軌道無摩擦滑動(dòng),小珠P帶有電荷Q.已知在軌道平面內(nèi)A點(diǎn)(OA=r

解析:由于帶電小球沿軌道做勻速圓周運(yùn)動(dòng),則電場(chǎng)力對(duì)小球不做功,那么軌道上各處的場(chǎng)強(qiáng)垂直于軌道,所以軌道所在的圓周為等勢(shì)線.

2.2 兩個(gè)異號(hào)點(diǎn)電荷電場(chǎng)中的等大場(chǎng)強(qiáng)面

圖4

例3.如圖4所示,在真空中有兩個(gè)點(diǎn)電荷帶電荷量分別為+Q和-2Q,二者相距為2a,兩個(gè)點(diǎn)電荷各自產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)大小分別為EA、EB,試確定坐標(biāo)系中的有限平面內(nèi)EA=EB的位置.

圖5

2.3 兩個(gè)異號(hào)點(diǎn)電荷電場(chǎng)中的同向場(chǎng)強(qiáng)面

若兩個(gè)電荷量的絕對(duì)值不相等的點(diǎn)電荷在空間各處產(chǎn)生電場(chǎng)的合場(chǎng)強(qiáng)矢量方向相同且平行于兩個(gè)點(diǎn)電荷的連線,則滿足該條件的空間各點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)球面．

圖6

例4.如圖6所示,在真空中有兩個(gè)點(diǎn)電荷A、B,帶電分別為-Q和2Q,它們相距為L(zhǎng)=2a,在兩個(gè)點(diǎn)電荷連線的中點(diǎn)O處,有一個(gè)半徑為r(2r

解析:當(dāng)金屬球殼達(dá)到靜電平衡時(shí),球殼是一個(gè)等勢(shì)體,內(nèi)部場(chǎng)強(qiáng)處處為0,即球殼上的感應(yīng)電荷在球殼內(nèi)任一點(diǎn)所產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)與兩個(gè)點(diǎn)電荷A、B在該點(diǎn)產(chǎn)生的合場(chǎng)強(qiáng)大小相等,方向相反,因此,對(duì)于判斷金屬球上的感應(yīng)電荷在球內(nèi)各點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)是否都相等或都不相等,就是判斷兩個(gè)點(diǎn)電荷A、B在球殼內(nèi)產(chǎn)生的合場(chǎng)強(qiáng)是否處處相等或者都不相等.由于不是勻強(qiáng)電場(chǎng),因此在球殼內(nèi)的合場(chǎng)強(qiáng)不可能處處相等.

圖7

判斷兩個(gè)點(diǎn)電荷A、B在球殼內(nèi)產(chǎn)生的合場(chǎng)強(qiáng)是否處處都不相等,就是判斷內(nèi)部是否有存在合場(chǎng)強(qiáng)相等的特殊點(diǎn).假設(shè)在球殼內(nèi)部有兩點(diǎn)C、D處的場(chǎng)強(qiáng)相等,根據(jù)電場(chǎng)線的對(duì)稱性,直線AB是對(duì)稱軸,先考慮平面圖,則這兩點(diǎn)關(guān)于直線AB對(duì)稱,而場(chǎng)強(qiáng)E的方向只能與直線AB平行,如圖7所示.

圖8

虛線圓的半徑為

可知圓心O到虛線圓的距離為

對(duì)于上述疑難物理問題的解答,關(guān)鍵是先推導(dǎo)出結(jié)論,然后利用結(jié)論進(jìn)行解答,這種分步解答問題的方法,簡(jiǎn)便快捷.同時(shí),凸顯了數(shù)學(xué)知識(shí)的重要性,體現(xiàn)了物理與數(shù)學(xué)密切相關(guān),即利用物理知識(shí)推導(dǎo)數(shù)學(xué)結(jié)論,形象直觀;反之,利用數(shù)學(xué)結(jié)論解答物理問題,巧妙快捷.

1 司德平.兩個(gè)不等量異種點(diǎn)電荷的等勢(shì)線[J].物理教學(xué),2012,34(3):49，55.

2 徐成華.不等量異種電荷的等勢(shì)面[J].物理教師,2015,36(12):84-85.

3 沈晨.專題17 靜電場(chǎng)原理與方法[J].中學(xué)物理教學(xué)參考,2005,34(11):52,54.

4 于志毅,李永兵.對(duì)一道靜電平衡習(xí)題條件的討論[J].中學(xué)物理,2004,22(5):8,45.

2016-11-28)