李研海

(吉林省永吉實(shí)驗(yàn)高中，吉林 永吉 132200)

關(guān)于間接測(cè)量的平均值問(wèn)題探討

李研海

(吉林省永吉實(shí)驗(yàn)高中，吉林 永吉 132200)

物理實(shí)驗(yàn)中大多數(shù)被測(cè)量都是間接測(cè)出的,為了減小偶然誤差,通常多次測(cè)量以平均值作為真實(shí)值,究竟是對(duì)直接測(cè)量量取平均,還是對(duì)間接測(cè)量量取平均,本文棄繁就簡(jiǎn)通過(guò)案例分析加以研討,并抒己見(jiàn)．

直接測(cè)量； 間接測(cè)量； 算術(shù)平均值； 線性關(guān)系； 離散程度

很多物理量都是間接測(cè)量的,所謂的間接測(cè)量是指由一個(gè)或幾個(gè)直接測(cè)得量經(jīng)已知函數(shù)關(guān)系計(jì)算出被測(cè)量量值的測(cè)量．為了減小偶然誤差，通常都進(jìn)行多次測(cè)量,并用算術(shù)平均值作為測(cè)量值,那么究竟是對(duì)直接測(cè)量量取平均,還是對(duì)間接測(cè)量量取平均呢?

1 問(wèn)題由來(lái)

1.1 直接間接兩可說(shuō)

物理實(shí)驗(yàn)中大多數(shù)被測(cè)量都不是用儀器直接測(cè)出的,在討論實(shí)驗(yàn)原理時(shí),找出此被測(cè)量和某些直接測(cè)得量之間的函數(shù)關(guān)系(測(cè)量公式),間接測(cè)量就是依據(jù)此關(guān)系,將間接測(cè)量轉(zhuǎn)化為若干直接測(cè)量,再用直接測(cè)量值求出間接測(cè)量值．

設(shè)間接測(cè)得量y=y(x1,x2,…,xm),其中x1,x2,…,xm為不同的直接測(cè)得量．現(xiàn)在對(duì)x1,x2,…,xm各測(cè)量n次．計(jì)算間接測(cè)量值有兩種方法.

方法A:求出各直接測(cè)量值的算術(shù)平均值,將其代入測(cè)量公式,算出間接測(cè)量值,即

方法B:從各直接測(cè)量值中,分別取一個(gè)數(shù)值,計(jì)算y值,可得n個(gè)y值,取其平均值為間接測(cè)量結(jié)果,即

從理論分析可知,兩種方法求出的結(jié)果并不一致,但是實(shí)際上在大多數(shù)情形下,它們的差異甚小或沒(méi)有差異,因此可根據(jù)問(wèn)題選用一種．

例如,測(cè)單擺的擺長(zhǎng)l及周期T,求重力加速度g，測(cè)量數(shù)據(jù)見(jiàn)表1.

表1

方法A:g=4π2×101.155/2.0172=981.6016 cm/s2.

方法B:g=(983.50+979.13+975.93+987.91)/4=981.6175 cm/s2.

兩方法的差異出現(xiàn)在第5位,對(duì)此實(shí)驗(yàn)從第5位開(kāi)始已無(wú)意義,因此可認(rèn)為兩種方法的結(jié)果是一致的[1]．

1.2 直測(cè)平均否定說(shuō)

測(cè)定金屬電阻率的注意事項(xiàng): (1) 為了減小金屬絲橫截面積帶來(lái)的誤差,測(cè)量直徑時(shí)用螺旋測(cè)微器在金屬絲的3個(gè)不同位置各測(cè)量1次,取平均值．(2) 測(cè)量金屬絲的長(zhǎng)度應(yīng)該在接入電路后且在拉直的狀態(tài)下進(jìn)行,為減小誤差測(cè)量3次取平均值．(3) 為了減小實(shí)驗(yàn)誤差,測(cè)量金屬絲的電阻時(shí)一般電流I、電壓U測(cè)量多次,求出對(duì)應(yīng)的電阻后取電阻的平均值,不能對(duì)U、I取平均[2]．

對(duì)于間接測(cè)量的物理量取平均值問(wèn)題,第1種觀點(diǎn)認(rèn)為,對(duì)直接測(cè)量值和對(duì)間接測(cè)量值兩種方法均可．第2種觀點(diǎn)中,金屬絲的直徑、長(zhǎng)度及電壓、電流同樣都是直接測(cè)量值,為什么對(duì)電壓、電流就不能取平均呢?上述兩種觀點(diǎn)是否矛盾,究竟孰是孰非,在處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)時(shí)該怎么做呢?下面我們避開(kāi)繁難的誤差理論,通過(guò)具體案例加以分析與探討．

2 案例分析

案例1.表2是測(cè)某一電阻的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),試求待測(cè)電阻的阻值．

表2 電阻的測(cè)量

可見(jiàn),對(duì)于這一實(shí)驗(yàn),無(wú)論對(duì)直接測(cè)量值U、I取平均,還是對(duì)間接測(cè)量值R取平均,結(jié)果幾乎是一致的．如果利用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)作出U-I圖像,可以看出,所有數(shù)據(jù)點(diǎn)幾乎在一條直線上,因此兩種方法所得結(jié)果幾乎相等;倘若所有數(shù)據(jù)點(diǎn)絕對(duì)在一條直線上,那么兩種方法所得結(jié)果將嚴(yán)格相等,這緣于U與I為線性函數(shù)之故．

案例2.表3是測(cè)量玻璃磚折射率的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),求玻璃磚的折射率．

表3 測(cè)量玻璃磚折射率

可見(jiàn),兩種方法所得結(jié)果明顯不同．筆者猜想,這可能是因?yàn)檎液瘮?shù)圖像不是直線,折射角r跟入射角i不存在線性關(guān)系,即這些角度的正弦值不在一條直線上,所以對(duì)角度取算術(shù)平均值會(huì)出現(xiàn)較大的偏差,并且當(dāng)幾個(gè)不同的入射角度取值相差越大,所求的結(jié)果偏差就越大,反之越小．

可以看出,兩種方法所得結(jié)果幾乎相等,從而證明上述猜想是正確的．

案例3.表4是用單擺測(cè)定重力加速度的實(shí)驗(yàn)測(cè)量數(shù)據(jù),試求重力加速度的數(shù)值．

表4 用單擺測(cè)定重力加速度

解法3：對(duì)間接測(cè)量值g取平均,有g(shù)1=9.800000 m/s2,g2=9.800000 m/s2,g3=9.7999995 m/s2,則加速度平均值為

需要說(shuō)明的是,在上述運(yùn)算中,為了防止截尾引入的誤差過(guò)大而掩蓋問(wèn)題的本質(zhì),因此參與運(yùn)算的數(shù)字都保留了較多的位數(shù)．可以看出,對(duì)直接測(cè)量值取平均與對(duì)間接測(cè)量值取平均所得結(jié)果明顯不同,這是因?yàn)闀r(shí)間t或周期T跟擺長(zhǎng)l呈非線性函數(shù)的緣故,倘若幾次實(shí)驗(yàn)的擺長(zhǎng)相近,兩種方法所得結(jié)果也必相近,如果是對(duì)同一擺長(zhǎng)進(jìn)行幾次測(cè)量,兩種方法所得結(jié)果則幾乎相等．

3 筆者之見(jiàn)

3.1 取平均值注意的問(wèn)題

取平均值必須注意3個(gè)問(wèn)題,即對(duì)哪個(gè)量取平均、取何種平均(算術(shù)平均值、幾何平均值、調(diào)和平均值、加權(quán)平均值等)以及在什么范圍內(nèi)取平均,本文所謂的平均皆指算術(shù)平均值,且在不同范圍內(nèi)取平均所得結(jié)果往往不同．

3.2 兩種觀點(diǎn)不矛盾

“直接間接兩可說(shuō)”中方法A,是指對(duì)同一條件(幾個(gè)直接測(cè)量值的離散程度極小,一般不超過(guò)儀器的最小分度值)下的幾個(gè)直接測(cè)量值取平均值．原例中是作者對(duì)擺長(zhǎng)約為101.1cm(同一條件)的條件下進(jìn)行的幾次擺長(zhǎng)和周期測(cè)量,由于讀數(shù)的偶然誤差導(dǎo)致實(shí)驗(yàn)測(cè)量數(shù)據(jù)各異;對(duì)不同條件(幾個(gè)直接測(cè)量值的離散程度很大)下的幾個(gè)直接測(cè)量值取平均,實(shí)非作者本意,不可曲解,若任意加以推廣可能會(huì)出現(xiàn)問(wèn)題,有時(shí)甚至顯得荒謬．

前述的“直測(cè)平均否定說(shuō)”中,測(cè)定金屬電阻率實(shí)驗(yàn),測(cè)金屬絲直徑和長(zhǎng)度時(shí),是對(duì)同一條件(直徑和長(zhǎng)度未變)的直接測(cè)量值取平均．而測(cè)電阻時(shí)是對(duì)不同條件(不同電壓、電流)下間接測(cè)量值取平均,一般來(lái)說(shuō)是不可行的,不過(guò)在這一實(shí)驗(yàn)中對(duì)電流和電壓取平均也未嘗不可．

3.3 兩種平均勿濫用

從上述的案例分析可知,無(wú)論何種情況,對(duì)間接測(cè)量值取平均總是切實(shí)可行的．而對(duì)直接測(cè)量值取平均是有條件的.

(1) 只有當(dāng)兩個(gè)直接測(cè)量值存在線性關(guān)系時(shí),既可以對(duì)間接測(cè)量值取平均,也可以對(duì)直接測(cè)量值取平均,且在多大范圍內(nèi)取平均都行(與離散程度無(wú)關(guān))．

(2) 當(dāng)兩個(gè)直接測(cè)量值不存在簡(jiǎn)單的線性關(guān)系,例如指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等，對(duì)不同條件下的直接測(cè)量值,在大范圍內(nèi)取平均,將會(huì)引起較大的誤差;只有當(dāng)所測(cè)的幾個(gè)直接測(cè)量值極為接近時(shí)(離散程度較小),即較小范圍內(nèi)才可以對(duì)直接測(cè)量值取平均．對(duì)同一條件下的幾個(gè)直接測(cè)量值取平均值是完全可以的．

就物理實(shí)驗(yàn)中的間接測(cè)量而言,對(duì)間接測(cè)量值取平均最為穩(wěn)妥可靠,且無(wú)條件限制,對(duì)不同條件下的幾個(gè)直接測(cè)量值取平均,務(wù)必慎重,最好不用,但并非絕對(duì)不行,只不過(guò)有條件限制．關(guān)鍵是正確理解,靈活運(yùn)用．

1 楊述武.普通物理實(shí)驗(yàn)(一、力學(xué)·熱學(xué)部分)第2版[M].北京:高等教育出版社，1990:30-31.

2 杜志建.試題調(diào)研特輯·高考5年真題分類詳解物理[M].烏魯木齊:新疆青少年出版社，2013:129.

2016-11-28)