宋家瑋 陳 晨

(1. 南京師范大學(xué)教師教育學(xué)院,江蘇 南京 210000; 2. 南京市金陵中學(xué)仙林分校中學(xué)部,江蘇 南京 210000)

紙鉗子
——一種奇妙自鎖現(xiàn)象的研究

宋家瑋1陳 晨2

(1. 南京師范大學(xué)教師教育學(xué)院,江蘇 南京 210000; 2. 南京市金陵中學(xué)仙林分校中學(xué)部,江蘇 南京 210000)

本文是關(guān)于2016年IYPT賽題中紙鉗子的研究,探究了影響分開(kāi)兩本交疊在一起的書(shū)所需要的臨界拉力的因素,從交疊深度、交疊頁(yè)數(shù)、紙的摩擦因數(shù)、厚度等主要影響因素進(jìn)行定量分析．通過(guò)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行理論驗(yàn)證,最后得出結(jié)論即拉力越大,紙間的摩擦力越大,越難拉開(kāi)．同時(shí)也發(fā)現(xiàn)紙鉗子是一種自鎖現(xiàn)象,通過(guò)對(duì)其研究也加深了我們對(duì)自鎖現(xiàn)象的理解,對(duì)高中物理教學(xué)也有一定的啟示和借鑒．

紙鉗子；自鎖現(xiàn)象；摩擦力

1 引 言

國(guó)際青年物理學(xué)家錦標(biāo)賽(IYPT)以其別具一格的比賽形式和獨(dú)具特色的賽題而聞名世界,并且越來(lái)越受到中學(xué)物理教育的關(guān)注,對(duì)其賽題的理論和實(shí)驗(yàn)研究可以幫助學(xué)生加深對(duì)相關(guān)物理知識(shí)的理解,同時(shí)賽題本身也可以作為高中物理實(shí)驗(yàn)的重要補(bǔ)充,便于中學(xué)物理教師的資源開(kāi)發(fā)．

本文探討的是2016年IYPT賽題“紙鉗子”,從理論和實(shí)驗(yàn)兩個(gè)角度對(duì)其進(jìn)行研究,通過(guò)研究進(jìn)一步理解摩擦力的形成原因,并知道這也是一種自鎖現(xiàn)象．同時(shí),在實(shí)驗(yàn)的探索過(guò)程中,也提高了學(xué)生的實(shí)驗(yàn)?zāi)芰Γ?/p>

圖1 預(yù)實(shí)驗(yàn)圖

2 現(xiàn)象介紹

紙鉗子的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象比較明顯,將兩本紙質(zhì)相同的書(shū)一次性交織一頁(yè)或若干頁(yè),再將兩本書(shū)推在一起．用力拉住兩本書(shū)的書(shū)脊并嘗試將它們分開(kāi),兩本書(shū)會(huì)越拉越緊,需要很大的力才能將兩本書(shū)分開(kāi),如圖1．

2 理論探討

2.1 定性解釋

我們先對(duì)這個(gè)現(xiàn)象做一個(gè)較為定性的解釋,當(dāng)兩本書(shū)交疊在一起后,由于厚度的變化,書(shū)產(chǎn)生的形變使得書(shū)頁(yè)在法向方向有合攏的趨勢(shì),產(chǎn)生了摩擦力,由于摩擦力的作用使得兩書(shū)難以分開(kāi)．拉力越大,法向的力也越大,使得兩書(shū)越難拉開(kāi)．

圖2 模型示意圖

2.2 模型建立

首先進(jìn)行受力分析,為了排除重力的影響,這里先考慮豎直方向放置的情況,書(shū)本受拉力和摩擦力,兩書(shū)交疊產(chǎn)生的傾角使得書(shū)有自動(dòng)合攏的趨勢(shì),在水平方向有一個(gè)正壓力,導(dǎo)致了摩擦力．在不考慮書(shū)頁(yè)彎曲的情況下,模型示意圖簡(jiǎn)化為如圖2.

我們不妨假設(shè)紙與紙之間緊密接觸．臨界拉力產(chǎn)生在靜摩擦轉(zhuǎn)變?yōu)榛瑒?dòng)摩擦的時(shí)候,我們?nèi)∨R界時(shí)的摩擦因數(shù)為滑動(dòng)摩擦因數(shù)．這里我們研究一種最為簡(jiǎn)單的情況,單頁(yè)交疊．每本書(shū)有2M張紙,ε表示每張紙的厚度,μ表示紙之間的滑動(dòng)摩擦因數(shù),d表示書(shū)脊到交疊部分的距離,L-d表示交疊部分的長(zhǎng)度,Tn表示第n張紙受到的拉力．(中間為第一張紙,向左右兩邊編號(hào)依次增大)

由幾何知識(shí)得第n張紙與豎平面的夾角為

(1)

根據(jù)受力平衡,紙的法向受到的力為

Nn=Tntanθn.

(2)

每一面紙受到的最大靜摩擦力為

fmax=μN(yùn)n.

(3)

由此得到遞推

Tn-Tn+1=4μN(yùn)n.

(4)

(5)

2.3 模型拓展研究

2.3.1 多頁(yè)交疊

(6)

2.3.2 模型的修正

在T的表達(dá)式中我們并沒(méi)有看到摩擦力與書(shū)本面積的關(guān)系,但是實(shí)際實(shí)驗(yàn)中我們發(fā)現(xiàn)改變書(shū)本的面積(僅僅改變書(shū)的寬度,L不變),臨界拉力也隨著變化．在摩擦力作用面積很大的情況下,最大靜摩擦力需要加一個(gè)和面積有關(guān)的修正項(xiàng),即Fs=μsN+CsA.

2.4 模型的分析

根據(jù)受力平衡，有

N=Ttanθ.

(7)

產(chǎn)生自鎖現(xiàn)象的條件為

T<μN(yùn).

(8)

μMε

(9)

在M、μ、ε、D都不變的情況下,L變大,T減小. 即當(dāng)書(shū)脊到交疊部分的水平距離占據(jù)書(shū)長(zhǎng)的比例相同時(shí),書(shū)越長(zhǎng),拉力越?。瑯?定義每頁(yè)紙占總厚度的比例為無(wú)量綱量時(shí),可得在總厚度相同的情況下,M越大,拉力越小．

3 實(shí)驗(yàn)探究

3.1 實(shí)驗(yàn)器材

A4紙和拉力傳感器，為了方便使用力傳感器,我們制作了若干寬度為20mm、長(zhǎng)為297mm,頁(yè)數(shù)不等的實(shí)驗(yàn)書(shū),如圖3、圖4所示．(事先測(cè)得紙的厚度為0.1mm,滑動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.3)，

圖3 實(shí)驗(yàn)書(shū)

圖4 拉力傳感器

3.2 實(shí)驗(yàn)過(guò)程

將實(shí)驗(yàn)書(shū)的兩端固定在力傳感器上,由于分開(kāi)兩本書(shū)的臨界拉力是書(shū)所受摩擦力從最大靜摩擦突變?yōu)榛瑒?dòng)摩擦的瞬間,所以力傳感器上的示數(shù)有一個(gè)突變點(diǎn),如圖5所示,我們?nèi)⊥蛔凕c(diǎn)的示

圖5 拉力傳感器圖像顯示

數(shù)為臨界拉力的值．另外由于在拉力很小的時(shí)候,紙會(huì)在自身重力作用下散開(kāi),故我們?cè)诜ㄏ蚴┘恿艘欢ǖ牧?即給T*賦值．

實(shí)驗(yàn)1:豎直情況下臨界拉力與紙張頁(yè)數(shù)的關(guān)系.

實(shí)驗(yàn)參數(shù):L=16cm,d=1cm,μ=0.3,ε=0.1mm，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)見(jiàn)表1.

表1 豎直情況下臨界拉力與紙張頁(yè)數(shù)的關(guān)系

實(shí)驗(yàn)2:豎直情況下臨界拉力與書(shū)脊到交疊部分的距離d的關(guān)系.

實(shí)驗(yàn)參數(shù):2M=50,L=16cm,μ=0.3,ε=0.1mm，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)見(jiàn)表2.

表2 豎直情況下臨界拉力與

實(shí)驗(yàn)3:豎直情況下臨界拉力與交疊頁(yè)數(shù)的關(guān)系(s為一次交疊的頁(yè)數(shù))

實(shí)驗(yàn)參數(shù):2M=72,L=16cm,μ=0.3,ε=0.1mm，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)見(jiàn)表3.

表3 豎直情況下臨界拉力與交疊頁(yè)數(shù)的關(guān)系

在水平放置的情況下,則需要修改遞推公式,由于我們?nèi)≈虚g一頁(yè)為n,則上下的遞推公式形式不同，修改為

(10)

可同樣用上述方法求解,只是上下兩部分的T*不同,最下面一張紙所受T*主要是由重力造成的．

3.3 實(shí)驗(yàn)分析

由于力太小,在豎直放置情況下紙會(huì)散開(kāi),故每一組都在法向施加了一定的力．

(1) 豎直情況下臨界拉力與紙張頁(yè)數(shù)的理論值與實(shí)驗(yàn)值對(duì)比(T*=0.1N)，實(shí)線為理論值，圓點(diǎn)為實(shí)驗(yàn)值.

圖6 臨界拉力與紙張頁(yè)數(shù)的理論值與實(shí)驗(yàn)值對(duì)比

(2) 豎直情況下臨界拉力與書(shū)脊到交疊部分的距離d的理論值與實(shí)驗(yàn)值對(duì)比(T*=2.5N).

圖7 臨界拉力與書(shū)脊到交疊部分的距離d的

(3) 豎直情況下臨界拉力與紙張頁(yè)數(shù)的理論值與實(shí)驗(yàn)值對(duì)比,實(shí)線為理論值,圓點(diǎn)為實(shí)驗(yàn)值．(T*=5.8N．在力過(guò)大時(shí),由于紙張打滑所以有偏差)

圖8 臨界拉力與紙張頁(yè)數(shù)的理論值與實(shí)驗(yàn)值對(duì)比

3.4 實(shí)驗(yàn)結(jié)論

(1) 臨界拉力隨紙張的增加而增大．

(2) 臨界拉力隨書(shū)脊到交疊部分的水平距離的減小而增大,且變化趨勢(shì)先快后慢．

(3) 臨界拉力隨一次性交疊頁(yè)數(shù)的增加而減?。?/p>

4 結(jié)論和啟示

本實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)過(guò)程簡(jiǎn)單易行,兩本看似不起眼的書(shū),卻可以承受我們難以想象的巨大的力．這一實(shí)驗(yàn)可作為高中力學(xué)實(shí)驗(yàn)的重要補(bǔ)充,加深學(xué)生對(duì)摩擦力、對(duì)自鎖現(xiàn)象的理解;另一方面,也可以豐富教學(xué)內(nèi)容,激起學(xué)生探索物理的興趣,培養(yǎng)他們的探究能力．

1 潘志民，楊景，廖星覺(jué).關(guān)于拉開(kāi)兩本交叉重疊的書(shū)所需力的研究[J].物理教師,2015(2):63-65.

2 薄宏超.挖掘高考熱點(diǎn)，解密自鎖現(xiàn)象[J].湖南中學(xué)物理,2013(3):65-66.

3 H. Alarcon, T. Salez, C. Poulard, J.-F. Bloch, E. Raphael, K. Dalnoki-Veress, F. Restagno. The enigma of the two interleaved phonebooks[J]. 2015,arXiv:1508.03290

4 D. Van Domelen. Showing Area Matters: A Work of Friction. Phys[J]. Teach，2010，48(1)：28-29.

2016-12-21)