宋曉霞++李勇

摘 要 由于營(yíng)養(yǎng)搭配問(wèn)題與人們的健康狀況緊密相關(guān)，因此它是一個(gè)極其重要的問(wèn)題。目前的研究方法主要是定性研究，研究結(jié)論在實(shí)踐中很難把握和執(zhí)行。基于此，為了定量研究營(yíng)養(yǎng)膳食搭配問(wèn)題，從食品數(shù)量和種類上給出更易于操作的營(yíng)養(yǎng)膳食搭配方案，本文根據(jù)不同人群對(duì)營(yíng)養(yǎng)成分的不同需求、現(xiàn)有食物、食物所含營(yíng)養(yǎng)成分及食物價(jià)格等條件建立數(shù)學(xué)模型，該模型可歸結(jié)為最優(yōu)化問(wèn)題，利用仿真能力強(qiáng)的MATLAB進(jìn)行優(yōu)化求解并獲得營(yíng)養(yǎng)搭配方案。本文模擬實(shí)例說(shuō)明了所提方法的有效性和可行性。本文不僅能從理論角度將營(yíng)養(yǎng)搭配問(wèn)題建模為最優(yōu)化問(wèn)題，而且通過(guò)MATLAB仿真獲得有效而可行的營(yíng)養(yǎng)搭配方案。

【關(guān)鍵詞】計(jì)算機(jī)應(yīng)用 優(yōu)化問(wèn)題 營(yíng)養(yǎng)搭配 數(shù)學(xué)模型

隨著生活質(zhì)量的提高，人們?cè)絹?lái)越關(guān)注營(yíng)養(yǎng)價(jià)值和膳食均衡問(wèn)題，因?yàn)轲B(yǎng)生學(xué)認(rèn)為它是與人們健康狀況息息相關(guān)的重要問(wèn)題。按照性別區(qū)分，有些研究者關(guān)注女性營(yíng)養(yǎng)搭配，有些研究者關(guān)注男性營(yíng)養(yǎng)搭配。按照年齡段分，有些學(xué)者關(guān)注嬰幼兒營(yíng)養(yǎng)搭配，有的學(xué)者關(guān)注青少年?duì)I養(yǎng)搭配，有的研究人員關(guān)注大學(xué)生營(yíng)養(yǎng)搭配，有的研究人員關(guān)注成年人營(yíng)養(yǎng)搭配，而老年專家更關(guān)注老年人的營(yíng)養(yǎng)搭配。這些研究都是從醫(yī)學(xué)、食品學(xué)的角度來(lái)宏觀定性地進(jìn)行研究，并且這些研究結(jié)論在實(shí)踐中很難把握，難以準(zhǔn)確執(zhí)行。為了定量研究營(yíng)養(yǎng)膳食搭配問(wèn)題，從食品數(shù)量和種類上給出更易于操作的營(yíng)養(yǎng)膳食搭配，本文首先對(duì)營(yíng)養(yǎng)膳食搭配問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，然后采用仿真能力強(qiáng)的MATLAB軟件進(jìn)行求解，從而給出滿足多種約束和需求的營(yíng)養(yǎng)膳食搭配方案。

本文根據(jù)不同人群、不同需求、食物種類、食物所含的營(yíng)養(yǎng)成分及食物價(jià)格等約束條件建立數(shù)學(xué)模型，該模型可歸結(jié)為優(yōu)化問(wèn)題。本文針對(duì)建立的模型，利用仿真能力強(qiáng)的MATLAB進(jìn)行求解。模擬實(shí)例針對(duì)成人正常營(yíng)養(yǎng)搭配、減肥需求搭配和學(xué)齡前兒童搭配進(jìn)行了仿真，結(jié)果說(shuō)明了本文所提方法的有效性和可行性。該方法不僅對(duì)文中實(shí)例有效，而且只要用戶給出食物，并且給出不同人群對(duì)食物營(yíng)養(yǎng)的需求，所提方法就能獲得可行的營(yíng)養(yǎng)搭配方案。因此，該方法能從理論上將營(yíng)養(yǎng)搭配問(wèn)題建模為最優(yōu)化問(wèn)題，利用MATLAB進(jìn)行仿真，從定量的角度獲得可行、有效和易于執(zhí)行的營(yíng)養(yǎng)搭配方案。

1 營(yíng)養(yǎng)搭配問(wèn)題的數(shù)學(xué)建模

本節(jié)首先給出營(yíng)養(yǎng)搭配問(wèn)題中使用的數(shù)學(xué)符號(hào)，然后針對(duì)營(yíng)養(yǎng)需求建立數(shù)學(xué)模型。建立的模型基于表1中的數(shù)據(jù)。更詳細(xì)的數(shù)據(jù)可以進(jìn)一步參考由中國(guó)營(yíng)養(yǎng)學(xué)會(huì)提供的中國(guó)居民膳食營(yíng)養(yǎng)素參考日攝入量和中國(guó)疾病預(yù)防控制中心營(yíng)養(yǎng)與食品安全所編著出版的食物成分表。

1.1 數(shù)學(xué)符號(hào)

設(shè)有N種食物，用來(lái)表示，其中。N種食物的攝入量用來(lái)表示。N種食物共含M種營(yíng)養(yǎng)成分。對(duì)于M種營(yíng)養(yǎng)成分， 某人群每天需攝入總量用表示，其中，且bj表示某人群每天需要攝入的第j種營(yíng)養(yǎng)成分。N種食物所含的M種營(yíng)養(yǎng)成分用表示，其中Ai可表示為，且Aij表示第i種食物所含的第j種營(yíng)養(yǎng)成分。

1.2 數(shù)學(xué)模型

針對(duì)表1 所給定的N種食物含有M種營(yíng)養(yǎng)成分的數(shù)據(jù)，結(jié)合某人群每天對(duì)每種營(yíng)養(yǎng)成分的攝入量需求，建立下面的數(shù)學(xué)模型。

為滿足該人群對(duì)于第一種營(yíng)養(yǎng)成分的需求，可用下面的（1）式表示。

（1）

同理為滿足該人群對(duì)于第二種營(yíng)養(yǎng)成分的需求，可用下面的（2）式表示。

（2）

依次類推，對(duì)于第j種營(yíng)養(yǎng)成分的需求，可用下面的（3）式表示。

（3）

總之，該營(yíng)養(yǎng)搭配問(wèn)題需滿足下面（4）式所描述的矩陣方程。

（4）

在具體應(yīng)用時(shí)，如果要求費(fèi)用盡可能低，則該營(yíng)養(yǎng)搭配問(wèn)題可建模為（5）式所描述的優(yōu)化問(wèn)題，假設(shè)第i種食物ni的價(jià)格為ci。

（5）

如果要求食物品種盡可能豐富，則該營(yíng)養(yǎng)搭配問(wèn)題可建模為（6）式所描述的優(yōu)化問(wèn)題。

（6）

在模型（6）中，目標(biāo)函數(shù)用x的零范數(shù)來(lái)表示最大化食物的種類。當(dāng)然我們還可以加入其它限制因素。最基本的營(yíng)養(yǎng)搭配問(wèn)題可建模為（7）式所描述的優(yōu)化問(wèn)題。

（7）

2 基于MATLAB的營(yíng)養(yǎng)搭配方法

根據(jù)上一節(jié)建立的數(shù)學(xué)模型，圖1給出基于MATLAB的營(yíng)養(yǎng)搭配方法。

在圖1中，第一步首先輸入A和B，并確定其維數(shù)為M×N和M。第二步利用MATLAB優(yōu)化技術(shù)求解模型所描述的優(yōu)化問(wèn)題，優(yōu)化結(jié)束獲得該問(wèn)題的解。第三步將優(yōu)化問(wèn)題的解與每種食物的攝入量相對(duì)應(yīng)。第四步利用MATLAB的繪圖功能繪出該人群在現(xiàn)有食物種類條件下每種食物每天應(yīng)攝入量的圖形。

3 仿真實(shí)例

2.1 實(shí)例1

表2為由七種食物提供七種營(yíng)養(yǎng)成分和成人每天對(duì)七種營(yíng)養(yǎng)成分的攝入量要求，請(qǐng)給出營(yíng)養(yǎng)搭配方案。

根據(jù)第1節(jié)所建立的模型，用圖1所描述的基于MATLAB的營(yíng)養(yǎng)搭配方法進(jìn)行求解，所得結(jié)果如圖2所示，七種食物攝入量分別為2.7774， 0.4753， 0.2281， 5.3116， 5.4477， 1.0723， 0.0061百克。

2.2 實(shí)例2

表3為由四種食物提供三種營(yíng)養(yǎng)成分的有減肥需求攝入量要求的數(shù)據(jù)，請(qǐng)給出營(yíng)養(yǎng)搭配方案。

根據(jù)第1節(jié)所建立的模型對(duì)表3中的數(shù)據(jù)進(jìn)行建模，然后用圖1所描述的基于MATLAB的營(yíng)養(yǎng)搭配方法進(jìn)行求解，所得結(jié)果如圖3所示。

2.3 實(shí)例3

表4為由六種食物提供七種營(yíng)養(yǎng)成分和成人每天對(duì)七種營(yíng)養(yǎng)成分的攝入量，請(qǐng)給出營(yíng)養(yǎng)搭配方案。

根據(jù)第1節(jié)所建立的模型對(duì)表4中的數(shù)據(jù)進(jìn)行建模，然后用圖1所描述的基于MATLAB的營(yíng)養(yǎng)搭配方法進(jìn)行求解，所得結(jié)果如圖4所示。

2.4 實(shí)例4

表5為學(xué)齡前兒童從提供的五種食物攝入五種營(yíng)養(yǎng)的數(shù)據(jù)和每種營(yíng)養(yǎng)每天需要的攝入量，請(qǐng)給出滿足兒童營(yíng)養(yǎng)需求的食物搭配方案。

根據(jù)第1節(jié)所建立的模型對(duì)表5中的數(shù)據(jù)進(jìn)行建模，然后用圖1所描述的基于MATLAB的營(yíng)養(yǎng)搭配方法進(jìn)行求解，所得結(jié)果如圖5所示，五種食物攝入量分別為0.7681，0.2433，8.1445，12.7771和1.5948百克， 即獲得該種條件下學(xué)齡前兒童營(yíng)養(yǎng)搭配方案。

3 結(jié)論

由于營(yíng)養(yǎng)搭配問(wèn)題與人們的健康狀況緊密相關(guān)，因此它成為人們廣泛關(guān)注的熱點(diǎn)問(wèn)題，并且取得了大量研究成果。然而，這些研究成果大多從定性的角度進(jìn)行研究，實(shí)際中很難操作。我們從定量的角度出發(fā)，針對(duì)不同人群對(duì)營(yíng)養(yǎng)成分的不同需求、現(xiàn)有食物以及食物所含營(yíng)養(yǎng)成分等條件通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型，利用MATLAB求解，并給出易于操作的營(yíng)養(yǎng)搭配方案。本文不僅從理論角度將營(yíng)養(yǎng)搭配問(wèn)題建模為優(yōu)化問(wèn)題，還給出利用MATLAB仿真獲得營(yíng)養(yǎng)搭配問(wèn)題的方法。

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作者簡(jiǎn)介

宋曉霞（1975-），女，博士學(xué)位?，F(xiàn)為山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院教授。主要研究方向?yàn)閮?yōu)化算法，無(wú)線傳感器網(wǎng)絡(luò)等。

作者單位

山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院 山西省大同市 037009