羅 鈞， 劉 綱,2， 黃宗明,2

(1.重慶大學土木工程學院 重慶，400045) (2.重慶大學山地城鎮(zhèn)建設與新技術教育部重點實驗室 重慶，400045)

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基于子結構模型剪切型框架結構損傷識別*

羅 鈞1， 劉 綱1,2， 黃宗明1,2

(1.重慶大學土木工程學院 重慶，400045) (2.重慶大學山地城鎮(zhèn)建設與新技術教育部重點實驗室 重慶，400045)

提出了適用于剪切型框架結構的損傷定位和損傷定量識別方法。首先,用剪切型框架結構的運動方程和中心差分法確定子結構的劃分方式；然后，根據(jù)子結構的輸入輸出關系和已知輸入自回歸移動平均(autoregressive moving-average with exogenous inputs,簡稱ARMAX)模型的對應關系，提出了利用子結構輸入輸出數(shù)據(jù)建立ARMAX模型的定階方法；最后，利用子結構ARMAX模型系數(shù)向量的馬氏距離來構造損傷識別指標，并選用受試者工作特征曲線下面積和Bhattacharyya距離進行損傷部位和損傷程度的識別。模擬算例和試驗表明，提出方法能準確識別剪切型框架結構的損傷部位和損傷程度的相對大小，且具有較好的抗噪性能。

損傷識別； 子結構； ARMAX模型； 剪切型框架； 統(tǒng)計識別

引 言

建筑結構在風和地震等外力作用下可能發(fā)生損傷，結構的可靠性隨之降低[1]，因此，及時準確地識別結構的安全狀態(tài)是防止結構倒塌等重大事故的有效途徑。20世紀90年代以來，結合現(xiàn)代傳感器、遠程數(shù)據(jù)傳輸和損傷識別的健康監(jiān)測技術逐步發(fā)展，并成為當前土木工程領域的一個重要研究方向。目前此類研究方法大致可分為基于模態(tài)驅動的方法和基于數(shù)據(jù)驅動的方法，前者具有較明確的物理意義，在數(shù)值模擬和實驗室結構中得到了初步應用[2-5]，其主要的問題在于環(huán)境激勵下?lián)p傷指標的不確定性較大，且有時需要獲得準確的基準有限元模型，這對大型結構較難實現(xiàn)。基于數(shù)據(jù)驅動的損傷識別方法直接利用結構響應數(shù)據(jù)提取損傷指標，且可引入統(tǒng)計模式識別技術降低指標不確定性的影響。

損傷識別主要致力于解決4個層次的問題，即判定結構有無損傷、損傷部位、損傷程度和剩余壽命[6]。目前基于時間序列模型數(shù)據(jù)驅動的方法可以實現(xiàn)前2個層次的問題。如文獻[7]利用向量自回歸(vector autoregressive，簡稱VAR)模型系數(shù)的對角線元素向量的馬氏距離作為損傷指標，結合Fisher準則在統(tǒng)計意義下識別結構的損傷位置，并利用兩跨連續(xù)梁驗證算法的有效性。文獻[8]利用健康狀態(tài)數(shù)據(jù)建立基準已知輸入自回歸(autoregressive model with exogenous input，簡稱ARX)模型，然后利用損傷狀態(tài)數(shù)據(jù)輸入基準ARX模型計算所得殘差的標準差作為損傷指標，并利用2自由度剪切型結構驗證了算法的有效性。文獻[9]將不同部位的傳感器分為不同的傳感器組，再分別建立ARX模型，但該方法中傳感器分組是人為確定的，不好的分組可能無法識別損傷，且通過試算確定ARX模型的階次不具有普遍意義，在傳感器分組較多的情況下耗時耗力。

基于此，筆者提出基于子結構模型的損傷識別方法以解決剪切型框架結構損傷識別前3個層次的問題，即結構有無損傷、損傷部位及損傷程度。首先，根據(jù)剪切型結構的整體動力響應分析和中心差分法，推導出剪切型結構各自由度的加速度響應之間的關系，并將兩個或三個相鄰自由度視為一個子結構，建立起某自由度加速度值和相鄰自由度加速度值之間的輸入輸出關系，據(jù)此提出一種子結構劃分方法；其次，根據(jù)子結構輸入輸出關系與已知輸入自回歸移動平均(autoregressive moving-average with exogenous inputs,簡稱ARMAX)模型的對應關系，確定了利用子結構輸入輸出數(shù)據(jù)進行ARMAX建模時的定階方法；再次,根據(jù)ARMAX模型系數(shù)與子結構物理參數(shù)的對應關系，提出將模型系數(shù)向量的馬氏距離作為損傷識別指標，利用統(tǒng)計模式識別的受試者工作特征曲線下的面積和Bhattacharyya距離實現(xiàn)結構損傷程度和部位的判別；最后，利用一個6自由度數(shù)值模型和實驗室3層框架試驗驗證算法的有效性。

1 剪切型框架結構體系的動力響應

剪切型框架結構可離散化為具有n個自由度懸臂體系，如圖1所示。該體系的運動微分方程為

(1)

其中：M,C,K分別為n×n階質量矩陣、n×n階阻尼矩陣和n×n階剛度矩陣；x(t)為n維輸出位移向量；f(t)為n維輸入向量。

圖1 剪切型結構模型及子結構選取Fig. 1 Shear structure model and substructure selection

M,C，K和x(t)、f(t)的具體形式如式(2)所示，fi(t)為第i節(jié)點處外荷載時程向量。

(2a)

(2b)

(2c)

(2d)

(2e)

其中：kii=ki+ki+1,ki,i+1=-ki+1,ki,i-1=-ki,knn=kn；cii=ci+ci+1,ci,i+1=-ci+1, 其中下標i=1,…,n-1；cnn=cn,ci,i-1=-ci(i=2,…,n-1)。

通常實際測試得到的響應數(shù)據(jù)都是離散的，因此將式(1)進行時間離散化，設采樣時間間隔為Δt，并令tk=kΔt，則有

(3)

(4)

將式(4)代入式(3)，并整理可得

(5)

其中：

按式(5)寫出{x(k-1)}和{x(k)}的表達式

(6a)

(6b)

由式(5)、式(6)可知，{x(k-1)}-2{x(k)}+ {x(k+1)}的表達式如下

(7)

將式(7)代入式(4)，可簡化為

(8)

將式(8)展開為方程式的表達，有如下情形。

1) 當自由度i=1時

2) 當自由度i=2∶n-1時

3) 當自由度i=n時

(9)

從式(9)可以看出，第i自由度的加速度響應與第i-1,i+1自由度的加速度響應存在確定性聯(lián)系。如在實際工程中測試得到結構各自由度的加速度響應，由式(9)可知，相鄰的兩個或者3個自由度的加速度響應之間均可建立一個與其余自由度無關的獨立關系式。若將第i自由度的加速度響應作為輸出，第i-1，i+1自由度的加速度響應和外荷載作為輸入，則這3個自由度可作為一個獨立的子結構動力學模型。若將剪切型結構按圖1所示劃分為多個子結構，則式(9)建立的相鄰兩個或者3個自由度間的獨立關系式就反映了對應子結構的輸入輸出關系。

2 子結構ARMAX模型建模及定階

從上節(jié)的推導可知，剪切型框架結構可按一定原則劃分為子結構。在子結構中，相鄰自由度的響應作為輸入，其自身的響應作為輸出，而單輸出多輸入的ARMAX時間序列模型的理論公式[10]為

(10)

若取na=2,nb=2,nc=2，則式(10)可改寫為

(11)

對比式(11)和式(9)，當結構節(jié)點激勵為白噪聲時， ARMAX模型輸出、模型輸入與子結構加速度響應的關系為

(12)

ARMAX模型系數(shù)ai,Bi與子結構物理參數(shù)的對應關系為

(13a)

(13b)

(13c)

(13d)

其中:?表示兩者存在著對應關系。

從式(11)～(13)可知，外荷載為白噪聲激勵且ARMAX模型階次na,nb和nc均取2時，第i個子結構的輸入輸出關系與建立的ARMAX模型存在著對應關系，因此在對子結構的輸入輸出關系進行ARMAX建模時，建議將模型階次na,nb和nc均取為2，避免了對階次進行試算。

3 損傷特征指標及識別流程

當框架結構某部位發(fā)生諸如混凝土開裂、鋼筋銹蝕、螺栓松動等損傷時，該部位的剛度將降低，在總體剛度矩陣中與損傷部位相對應的剛度系數(shù)值會降低，與未損傷部位相對應的剛度系數(shù)值則會保持不變。對圖1所示的n個自由度的剪切型結構而言，若第i單元發(fā)生損傷，則總體剛度矩陣中的剛度系數(shù)ki-1,i-1,ki,i，總體阻尼矩陣中的阻尼系數(shù)ci-1,i-1,ci,i均會發(fā)生改變。從式(13)看出，將剪切型結構第i自由度的加速度響應作為輸出，第i-1自由度和第i+1自由度的加速度響應作為輸入建立的子結構ARMAX模型的系數(shù)a1和a2可以反映第i，i+1單元的剛度和阻尼的改變。故可利用ARMAX模型系數(shù)的變化來識別第i，i+1單元的損傷，將該系數(shù)向量fs作為損傷特征量

(14)

考慮到測試存在的噪聲和輸入力為白噪聲假定等誤差的影響，需引入統(tǒng)計損傷識別，識別步驟如下：

1) 對基準狀態(tài)下的結構進行多次測量，計算子結構系數(shù)向量的平均值和協(xié)方差；

2) 對健康狀態(tài)下的結構進行多次測量，計算子結構每次測量的系數(shù)向量馬氏距離，作為損傷特征指標

(15)

3) 對未知狀態(tài)下的結構進行多次測量，計算子結構每次測量的系數(shù)向量馬氏距離；

4) 選取受試者工作特征曲線(receiver operating characteristic curve，簡稱ROC)進行損傷部位的判定[11]，現(xiàn)采用ROC曲線下的面積值(AU)作為統(tǒng)計量來評價檢測的性能，認為AU≥0.8時，結構健康狀態(tài)和未知狀態(tài)的系數(shù)向量馬氏距離的分布能較好的區(qū)分開來，即對應的結構部位發(fā)生損傷；

5) 最后利用損傷子結構的MD分布的Bhattacharyya距離(BD)來判斷損傷程度，對于單變量指標，該距離的定義[12]為

(16)

其中:κ和σ分別為MD分布的平均值和方差；下標d和h分別為損傷狀態(tài)和基準狀態(tài)。

從式(16)的定義可知，前一項主要考慮了均值變化的影響，而后一項主要是為了計入方差變化的影響。

4 數(shù)值模擬算例

4.1 模型算例及損傷工況

以6自由度集中質點模型驗證所提算法的性能，如圖2(a)所示。其中，mi=1，ki=1 500(i=1,2,…,6)。采用瑞雷阻尼假定，即C=αM+βK，取模型第1階和第3階阻尼比為0.02，得α=0.308 09，β=7.5×10-4。

在質點6處輸入隨機激勵，取質點1～6處的加速度響應為輸出信號。擬定的損傷工況如表1所示。

表1 6自由度損傷工況

6自由度體系的最高頻率為11.97 Hz，故設定加速度響應信號的采樣頻率為100 Hz，并設定每1 000個數(shù)據(jù)點為1個數(shù)據(jù)段?；鶞薁顟B(tài)、參考狀態(tài)和未知狀態(tài)下分別取500個數(shù)據(jù)段進行計算，得到500個MD值。

圖2 6自由度計算模型Fig．2 Six degree of freedom system

4.2 損傷識別結果

按圖1方式將該6自由度模型劃分為6個子結構，如圖2(b)～(g)所示。利用每一個子結構的輸入輸出信號進行ARMAX建模?；诘?節(jié)推導的ARMAX模型與子結構的對應關系，ARMAX模型的階次取值為na=2,nb=2,nc=2，nk=1。

根據(jù)第3節(jié)的損傷識別流程，計算在損傷工況2下部分子結構的MD分布曲線如圖3所示。從該圖可知，僅包含損傷部位的子結構的MD分布才發(fā)生變化，而其余子結構MD分布的變化較小，采用ROC曲線對MD分布是否發(fā)生顯著變化進行檢驗，并計算ROC曲線下的面積AU如表2所示。

圖3 損傷工況2下部分子結構的MD分布曲線Fig.3 MD distribution curve of several substructures for damage case 2

表2 各損傷工況下的AU值

表中黑粗體數(shù)據(jù)表示子結構的AU值不小于0.80

根據(jù)AU的定義，取0.80為能否良好區(qū)分損傷是否發(fā)生的閾值。表2表明，在各損傷工況下，包含損傷部位的子結構的AU值才高于0.80，而其余子結構的AU值均低于0.80。因此，該指標不但能夠成功定位損傷程度較小(1%)的單處損傷，也能定位工況6下不同部位同時發(fā)生的損傷。

損傷單元的定位可分3步:a.確定子結構是否發(fā)生損傷；b.找出判定為健康的子結構所包含的單元，判定這些單元為健康單元；c.判定剩余單元為損傷單元。由表2的識別結果可以看出，對于工況1～3，子結構3～6均判定為健康，則上述子結構所包含的單元應當為健康的，故單元3～6為健康單元，單元1和2為損傷單元；同理，對于工況4和工況5，子結構1,2,3和6判定為健康，則單元1,2,3,4和6為健康單元，單元5為損傷單元；對于工況6，子結構3和6判定為健康，則單元3,4,6為健康單元，單元1,2和5為損傷單元。

為識別彈簧2不同程度的損傷，計算子結構1,2在工況1～3下的BD值如圖4所示。圖4表明隨著損傷程度的增加，子結構1，2的BD值均呈單調上升趨勢，即BD值能正確區(qū)分損傷程度的相對大小。

圖4 不同損傷程度下的BD值Fig．4 BD values for different damage levels

4.3 噪音影響分析

圖5為不同噪音水平下子結構1和子結構2的AU值。隨著噪音水平的不斷增大，損傷定位的準確性將降低，特別是當結構損傷程度較小時，噪音的影響較為顯著，例如工況1下，當噪音水平增大到10%時，子結構1，2的AU值均將低于0.80，從而得出該處未發(fā)生損傷的結論，出現(xiàn)了漏報警。但隨著損傷程度的增加，噪音的影響將逐步減小甚至消失，例如在工況2和工況3下，即使10%的噪音水平也完全能定位出子結構1,2的損傷，表明本損傷識別算法具有較好的抗噪性能。

子結構1在不同噪音水平下的BD值如圖6所示。從該圖可知，在同一損傷工況下，隨著噪音水平的不斷升高，對應的BD值將越來越低。但在同一噪音水平下，隨著損傷程度的增加，BD值呈單調上升趨勢，表明此時仍能正確區(qū)分損傷程度的大小。

圖5 不同噪音水平下的AU值Fig．5 AU values for different noise levels

圖6 子結構1不同噪音水平下的BD值Fig．6 BD values of substructure 1 for different noise levels

5 框架試驗

5.1 試驗概況

采用寬65mm、厚4mm、長350mm的鋼板組成框架的梁和柱，并通過節(jié)點板和螺栓進行連接，框架的外觀尺寸如圖7所示。每個節(jié)點板共安裝4顆螺栓，2顆與柱相連，2顆與梁或剛性基座相連。

試驗結構的激振力來自于激振器，由于條件所限，實現(xiàn)節(jié)點激振較為困難，因此通過增加底層剛度的方式將其作為上部3層鋼框架的嵌固端。此時作為本研究考察對象的3層鋼框架結構承受來自基底的加速度激勵，并利用上部3層測得的加速度響應與基底測試的加速度響應相減，獲得上部3層的相對加速度響應，進而做損傷識別。

圖7 3層框架模型Fig.7 3-story steel frame

為了驗證提出方法在節(jié)點連接損傷情況下的有效性，試驗中通過松動梁柱節(jié)點處螺栓模擬損傷。沿側柱布置4個加速度傳感器，從下到上依次編號為1～4。采用KDJ-50型電磁激振器在低層右柱下側輸入白噪聲激振，如圖7(a)所示。采樣頻率為500Hz，共采集118個數(shù)據(jù)段，每個數(shù)據(jù)段有5 000個數(shù)據(jù)點。具體的損傷工況設置如表3所示。

表3 框架的損傷工況

工況2中第1顆螺栓保持松動狀態(tài)

5.2 損傷識別結果

按圖7(b)所示方式將該3層框架劃分為3個子結構，利用損傷識別算法計算不同損傷工況下的AU值如表4所示。在損傷發(fā)生在1層右柱頂時，工況2和工況3下子結構1的AU值高于閥值0.80，其余子結構的AU值均小于0.66，結果與結構實際損傷部位相符，因此本方法可以準確判定損傷部位。在工況1下，子結構1的AU值低于0.80，這可能是表中黑粗體數(shù)據(jù)表示子結構的AU值不小于0.80因為試驗框架受力較小，僅松動一顆螺栓對結構影響較小，從而導致該工況下AU值在損傷部位的變化不大。

表4 試驗模型的AU值

從表4看出，子結構2，3判定為健康，則其所包含的樓層2和3為健康的，僅樓層1發(fā)生損傷。

計算損傷發(fā)生在1層右柱頂時，子結構1在工況1至工況3下的BD值分別為0.22，0.40和3.80。這表明BD值隨著損傷程度的增加而單調增加，因此，通過BD值的計算能正確判定結構的損傷程度。

6 結束語

基于子結構和ARMAX模型的損傷識別算法能準確定位剪切型框架結構的單處和多處損傷，并能準確區(qū)分剪切型框架結構損傷程度的相對大小。在損傷程度較小時，較大水平的噪聲可能導致?lián)p傷的漏報警；但在損傷程度較大時，噪聲對損傷識別的結果影響有限，如算例中發(fā)生5%損傷時，即使10%的噪聲水平也能準確識別損傷部位。提出的剪切型框架結構子結構劃分方法和對子結構輸入輸出關系進行ARMAX建模時的定階準則，也同樣適用于損傷識別為目的的時間序列建模。

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*國家自然科學基金資助項目(51308565,51578095);中央高校基金資助項目(CDJZR14205501)

2015-08-19；

2016-01-19

10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2017.02.014

TU279.7+44; TH825

羅鈞，男，1986年5月生，博士生。主要研究方向為結構健康監(jiān)測與振動控制。曾發(fā)表《基于隨機減量法的非平穩(wěn)激勵下模態(tài)參數(shù)識別》(《振動與沖擊》2015年第34卷第21期)等論文。 E-mail: jluo@cqu.edu.cn