鄭 新，楊宇和，嚴寶峰，付維賢，趙 民

（1. 北京宇航系統(tǒng)工程研究所，北京，100076；2. 中國運載火箭技術研究院，北京，100076）

基于誤差四元數(shù)的火箭主動滾轉控制技術研究

鄭 新1，楊宇和1，嚴寶峰1，付維賢1，趙 民2

（1. 北京宇航系統(tǒng)工程研究所，北京，100076；2. 中國運載火箭技術研究院，北京，100076）

火箭助推段主動滾轉飛行時，由于箭體的持續(xù)性滾轉引起耦合效應，使其動力學和控制特性變得復雜。對于采用捷聯(lián)慣組方案的主動滾轉火箭，四元數(shù)控制方法可以不需要或減少姿態(tài)角的三角函數(shù)解算，避免歐拉角解算出現(xiàn)奇異值等問題。針對捷聯(lián)慣組方案的助推段主動滾轉火箭，對其動力學特性和誤差四元數(shù)控制技術進行了相關研究。

滾轉火箭；姿態(tài)控制；誤差四元數(shù)；

0 引 言

火箭助推段主動滾轉飛行時，箭體的持續(xù)滾轉將使其運動及動力學特性呈現(xiàn)新特點，并對控制系統(tǒng)產生影響。

對于采用捷聯(lián)慣組方案的主動滾轉火箭，四元數(shù)控制方法可以不需要或減少姿態(tài)角的三角函數(shù)解算，避免歐拉角解算出現(xiàn)奇異值等問題；也便于在以姿態(tài)角偏差反饋控制的方案基礎之上實現(xiàn)滾轉飛行控制。

本文針對采用捷聯(lián)慣組方案的助推段主動滾轉火箭，對其動力學特性和誤差四元數(shù)控制技術進行了相關研究。

1 數(shù)學模型

滾轉火箭在飛行時繞箭體縱軸方向的持續(xù)自旋角運動，為便于運動與動力學特性分析和姿態(tài)控制系統(tǒng)設計，引入準箭體坐標系和準速度坐標系[1]，建立軸對稱滾轉火箭的六自由度剛體運動數(shù)學模型。

a）地面發(fā)射坐標系中的質心動力學方程，其分量形式為

式中 vx，vy，vz為箭體速度的發(fā)射坐標系中分量；x，y，z為箭體位置的發(fā)射坐標系中分量；GB′為準箭體坐標系到發(fā)射坐標系的方向余弦矩陣；GV′為準速度坐標系到發(fā)射坐標系的方向余弦矩陣。由于篇幅限制，其它符號含義參見文獻[2]。

b）準箭體坐標系中的繞質心動力學方程，其分量形式為

式中Jx1′，Jy1′，Jz1′為箭體轉動慣量的準箭體坐標系中分量；，，為轉動慣量變化率的準箭體坐標系中分量；ωTx1′，ωTy1′，ωTz1′為箭體絕對姿態(tài)角速度的準箭體坐標系中分量；，為氣動力矩偏導數(shù)的準箭體坐標系中分量；，，為控制力矩偏導數(shù)的準箭體坐標系中分量。因于篇幅限制，其它符號含義參見參考文獻[2]。

由式（2）可知，由于滾轉角速率ωTx1′的存在，俯仰、偏航兩個通道之間存在交聯(lián)項，產生了運動耦合效應，分別為氣動耦合（馬格努斯效應）和慣性耦合（陀螺效應）。

因火箭為軸對稱式布局(Jz1′=Jy1′)，可忽略滾動通道與其他兩個通道之間的交聯(lián)項，認為其是獨立的。

c）補充方程。包括運動學方程、控制方程、歐拉角之間的聯(lián)系方程、附加方程等[2]。

d）伺服系統(tǒng)特性?；鸺母┭?、偏航通道多采用擺動噴管形式的推力矢量控制裝置[3]，設伺服動力系統(tǒng)特性傳遞函數(shù)表示為

式中τ為純延時環(huán)節(jié)的時間常數(shù)；ω1n為一階環(huán)節(jié)的頻率；ω2n，ζ2分別為二階環(huán)節(jié)的頻率和阻尼系數(shù)。

在滾轉飛行條件下，伺服系統(tǒng)慣性等作用會產生交聯(lián)耦合影響，稱為控制耦合[4]?？刹捎秒p頻點靜態(tài)解耦法或動態(tài)解耦法對控制耦合效應在控制系統(tǒng)的工作頻段內進行有效的對角優(yōu)勢化設計。

在進行控制耦合的對角優(yōu)勢化設計之后，為進行姿控系統(tǒng)的設計，還需要對其運動耦合特性進行分析，為此對運動及動力學方程進行小擾動線性化處理。

研究其小擾動運動時，系統(tǒng)輸入量是對控制耦合處理后的俯仰、偏航通道等效舵偏角偏差Δδφ和Δδψ，輸出量是俯仰偏差、偏航角偏差 Δφ和 Δψ，小擾動線性化方程的狀態(tài)空間形式為

其中，

式中b1為氣動阻尼力矩系數(shù)；b2為氣動穩(wěn)定力矩系數(shù)；b3為控制力矩系數(shù)；b4，b5為其它力矩系數(shù)；c1， c2， c3， c4， c5為相應的力系數(shù)； Δφ， Δψ為俯仰、偏航角偏差； θΔ， σΔ為彈道傾角、偏角偏差； δφΔ，Δδψ為俯仰、偏航等效舵偏角偏差。

由多變量頻域控制理論[5]分析可知：在整個主動滾轉飛行段，當滾轉角速率ωTx1小于ωTx1_max（°）/s時，在控制系統(tǒng)的主要工作頻段內，箭體動力學傳遞函數(shù)矩陣具有良好的對角優(yōu)勢性。姿態(tài)控制系統(tǒng)設計時，可忽略運動耦合效應，采用單通道控制思路進行設計。

2 滾轉方案

箭體滾轉方案的確定主要包括滾轉飛行時段和滾轉角速率的選取。

滾轉飛行時段選取主要是取決于任務特性需求。

滾轉角速率的選取需要從任務特性需求和火箭運動特性兩方面考慮。箭體運動特性角度，主要分析耦合特性和伺服執(zhí)行機構特性等因素。

取期望滾轉角速率為ωTx1_exp，且ωTx1_exp小于ωTx1_max。

3 姿態(tài)控制技術

對于采用捷聯(lián)慣組方案的滾轉火箭，四元數(shù)控制方法可以不需要或減少姿態(tài)角的三角函數(shù)解算，既可以減輕箭上機的計算工作量，又可以避免歐拉角解算出現(xiàn)奇異值等問題；也便于在以姿態(tài)角偏差反饋控制的方案基礎上實現(xiàn)滾轉飛行控制。

3.1 基于誤差四元數(shù)的姿控技術

本文中研究的四元數(shù)均為規(guī)范化四元數(shù)。采用誤差四元數(shù)來實現(xiàn)火箭主動滾轉控制，大致可以分為以下幾步：

a）求初始姿態(tài)四元數(shù)。

根據火箭發(fā)射時的姿態(tài)來獲得初始姿態(tài)四元數(shù)。姿態(tài)的歐拉角表示法比四元數(shù)表示法物理意義明確，因此，箭體的初始姿態(tài)通常以歐拉角形式給出。對于垂直發(fā)射的火箭，發(fā)射時箭體的初始姿態(tài)為

則，其四元數(shù)表達形式為

b）求當前姿態(tài)四元數(shù)。

已知初始姿態(tài)四元數(shù)時，可以利用四元數(shù)微分方程來進行姿態(tài)的實時更新解算。求解四元數(shù)微分方程的方法較多，本文采用如下的遞推算法[6]，設控制系統(tǒng)的采樣周期為h，則更新計算公式為

由于計算機計算精度等因素的影響，可能會導致四元數(shù)的非規(guī)范性，因此，在更新之后需要進行四元數(shù)的“規(guī)范化”處理，即令：

c）求期望姿態(tài)四元數(shù)。

求期望姿態(tài)四元數(shù)最直接的方法[7]是根據調姿目的利用當前箭體的四元數(shù)形式姿態(tài)角和角速率直接給出四元數(shù)形式的程序角。但是在傳統(tǒng)的姿態(tài)角偏差反饋控制方案中，程序角通常是以歐拉角形式給出的，為簡化實現(xiàn)，可直接將其轉換成四元數(shù)形式，從而得到期望姿態(tài)四元數(shù)。

設歐拉程序角為φcx，ψcx和γcx，則期望姿態(tài)四元數(shù)為

d）求誤差四元數(shù)。

得到當前姿態(tài)四元數(shù)和期望姿態(tài)四元數(shù)之后，便可以求得誤差四元數(shù)。

式中0eq=1。

e）求等效擺角控制指令。

火箭的當前姿態(tài)四元數(shù)為q，在任一控制周期內，將其按某一旋轉順序變換到期望四元數(shù) qc需分別旋轉Δφ，Δψ和 Δγ。在Δφ，Δψ，Δγ為小量的條件下，可由誤差qe四元數(shù)計算其控制量[7]。

3.2 控制方程

在火箭進行主動滾轉飛行時，俯仰和偏航通道采用擺動噴管、滾動通道采用滾控裝置進行控制，3個通道的控制方程為

校正網絡[8]取為

其中，k=φ，ψ，γ。

4 數(shù)學仿真

進行期望滾轉角速率為 ωTx1_exp的六自由度數(shù)學仿真。仿真時，考慮推力矢量及滾控裝置伺服系統(tǒng)的位置、速度和加速度限幅等特性。

在第 t0秒開始進行起旋控制，達到期望滾轉角速率后保持恒定速率滾轉飛行；在第t秒開始進行消旋控制，達到零滾轉角速率狀態(tài)后，保持零滾速狀態(tài)飛行。仿真結果如圖1～ 2所示。

圖1 四元數(shù)分量及其程序角變化

圖2 姿態(tài)角速率的變化

由圖1可知：姿態(tài)四元數(shù)可以實現(xiàn)對期望姿態(tài)四元數(shù)的精確跟隨；箭體起旋后，由于持續(xù)滾轉運動，尤其在箭體恒角速率滾轉后，四元數(shù)的 4個分量呈現(xiàn)周期性變化規(guī)律。

由圖2可以明顯地看出起旋、恒定滾速及消旋的過程，箭體在第t1秒達到了期望滾轉角速率；穩(wěn)態(tài)時，角速率偏差控制在要求的姿態(tài)精度以內；由于滾控裝置控制能力有限，起旋及消旋過程用時較長。

5 結 論

本文對采用捷聯(lián)慣組方案的火箭助推段主動滾轉控制技術進行了研究探索。研究結果表明：

a）采用誤差四元數(shù)控制技術的火箭助推段主動滾轉飛行技術可行；

b）應考慮提高滾控裝置的控制能力，以能在較短時間內達到期望的滾轉角速率。

[1]錢杏芳, 林瑞雄, 趙亞男. 導彈飛行力學[M]. 北京: 北京理工大學出版社, 2008.

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Study on Spinning Control Technology of Rocket Based on Error Quaternion

Zheng Xin1, Yang Yu-he1, Yan Bao-feng1, Fu Wei-xian1, Zhao Min2
(1. Beijing Institute of Aerospace Systems Engineering, Beijing, 100076; 2. China Academy of Launch Vehicle Technology, Beijing, 100076)

The spinning characteristic of rocket during the boost stage will result in the coupling effect, which makes rocket’s dynamic and controlling characteristic more complex. For spinning rocket with SINS, quaternion control system can function without or with less attitude angle’s trigonometric function, thus avoiding singular values of Eulerian angle. Focusing on spinning rocket with SINS the rocket’s kinetics and error quaternions control technology are studied in this paper.

Spinning rocket; Attitude control; Error quaternion

V448.12

A

1004-7182(2017)01-0047-04

10.7654/j.issn.1004-7182.20170112

2016-05-08；

2016-08-30

鄭 新（1984-），男，工程師，主要從事飛行器姿控系統(tǒng)總體設計及仿真