☉江蘇蘇州工業(yè)園區(qū)教師發(fā)展中心陳莉

探究考題研發(fā)課例，切實(shí)提升復(fù)習(xí)效益
——以2016年廣東廣州第24題教學(xué)為例

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中考復(fù)習(xí)階段的備課，重在選題，支持入選例題講評(píng)的理由可以有很多，比如，貼近某知識(shí)點(diǎn)選題，或依據(jù)某數(shù)學(xué)方法或解題策略選題，或嘗試由一道題關(guān)聯(lián)多個(gè)知識(shí)點(diǎn)、數(shù)學(xué)思想方法，以達(dá)到精選精練，通過(guò)解題教學(xué)發(fā)揮例題的價(jià)值.本文擬結(jié)合近期筆者在中考二輪復(fù)習(xí)期間一道例題的備課、教學(xué)經(jīng)歷，闡釋中考復(fù)習(xí)時(shí)例題預(yù)設(shè)的一些思考，供研討.

一、考題及思路突破

考題：（2016廣東廣州中考卷，第24題）已知拋物線y=mx2+（1-2m）x+1-3m與x軸相交于不同的兩點(diǎn)A、B.

（1）求m的取值范圍.

（2）證明該拋物線一定經(jīng)過(guò)非坐標(biāo)軸上的一點(diǎn)P，并求出點(diǎn)P的坐標(biāo).

思路簡(jiǎn)述：

（1）需要考慮兩個(gè)方面.第一，由二次函數(shù)的定義知二次項(xiàng)不為0，所以m≠0.第二，根據(jù)拋物線與x軸相交于不同的兩點(diǎn)，得對(duì)應(yīng)的一元二次方程mx2+（1-2m）x+1-3m=0的根的判別式為正數(shù)！所以Δ=（1-2m）2-4m（1-3m）= 16m2-8m+1=（4m-1）2＞0，故4m-1≠0，解得m≠.綜上可知，m的取值范圍是m≠0且m≠.

（2）首先要理解待證的方向，即開展目標(biāo)解析，這是一個(gè)過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，也就是無(wú)論x取何值，都與參數(shù)m無(wú)關(guān)，那就需要將二次函數(shù)重新變形、整理，y=mx2+（1-2m）x+ 1-3m=mx2+x-2mx+1-3m=（x2-2x-3）m+x+1，這一步變形十分關(guān)鍵，因?yàn)榇藭r(shí)m是否發(fā)揮作用，與（x2-2x-3）有關(guān)，只要x2-2x-3=0，那么y的值便與m的取值無(wú)關(guān)，也就是說(shuō)拋物線必過(guò)定點(diǎn).解方程x2-2x-3=0，得x1=3，x2=-1.

當(dāng)x=3時(shí)，y=9m+3-6m+1-3m=4，即P（3，4）；

當(dāng)x=-1時(shí)，y=m-1+2m+1-3m=0，點(diǎn)（-1，0）是x軸上的點(diǎn)，不合題意，舍去.

故該拋物線一定經(jīng)過(guò)非坐標(biāo)軸上的點(diǎn)P（3，4）.

（3）由于上一問(wèn)中已確定了點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，4），則△ABP的面積就由邊AB的長(zhǎng)決定，我們的目標(biāo)就是設(shè)法用含m的式子表示AB的長(zhǎng)，這樣S△ABP=×AB×yP=2AB.接下來(lái)就是要求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)（用含m的式子表示）.一元二次方程mx2+（1-2m）x+1-3m=0中，由求根公式，得所以x1=，可判定可判定于是S△ABP=

第（3）問(wèn)另解思考：

首先，求方程mx2+（1-2m）x+1-3m=0的根時(shí)，可以使用十字相乘法繞開求根公式；

其次，A、B兩點(diǎn)的距離可以利用根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行簡(jiǎn)化運(yùn)算（繞開求根公式），即使用|x1-x2|=

圖1

二、考題的教學(xué)記錄

教學(xué)環(huán)節(jié)（一）基礎(chǔ)熱身.

例1已知拋物線y=mx2+（1-2m）x+1-3m與x軸相交于不同的兩點(diǎn)A、B.

（1）當(dāng)m=1時(shí)，求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；

（2）求m的取值范圍；

（3）小成同學(xué)發(fā)現(xiàn)，該拋物線一定經(jīng)過(guò)x軸上一個(gè)定點(diǎn)，請(qǐng)判斷“小成發(fā)現(xiàn)”是否正確，并說(shuō)明理由.

教學(xué)記錄：引導(dǎo)學(xué)生由特殊值出發(fā)，感受點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，并計(jì)算根的判別式，練習(xí)了原考題的前兩問(wèn)，第（3）問(wèn)要求學(xué)生運(yùn)用求根公式或十字相乘法，獲得發(fā)現(xiàn)，對(duì)于后面難題的突破有所鋪墊.

教學(xué)環(huán)節(jié)（二）拾級(jí)而上.

例2已知拋物線y=mx2+（1-2m）x+1-3m.（1）當(dāng)x=-1時(shí)，求y的值.（2）當(dāng)x=3時(shí)，求y的值.

（3）小南演練上述兩題之后，猜想：該拋物線一定經(jīng)過(guò)兩個(gè)定點(diǎn).你覺(jué)得“小南發(fā)現(xiàn)”是否正確？如果正確，請(qǐng)證明他的發(fā)現(xiàn)；如果不正確，舉出反例.

教學(xué)啟示：安排兩個(gè)特殊值引路，讓學(xué)生感受該拋物線會(huì)經(jīng)過(guò)兩個(gè)定點(diǎn)，并且需要證明，針對(duì)原考題的第（2）問(wèn)進(jìn)行訓(xùn)練.

教學(xué)環(huán)節(jié)（三）挑戰(zhàn)難題.

例3已知拋物線y=mx2+（1-2m）x+1-3m與x軸相交于不同的兩點(diǎn)A、B，且經(jīng)過(guò)第一象限內(nèi)一個(gè)定點(diǎn)P.

（1）求定點(diǎn)P的坐標(biāo).

（2）求AB的長(zhǎng)（用含m的式子表示）.

教學(xué)記錄：第（1）問(wèn)是延續(xù)考題的一個(gè)問(wèn)題，然后求出AB的長(zhǎng)（注意需要含絕對(duì)值符號(hào)表示），有了鋪墊之后，有利于第（3）問(wèn)的思路獲取，這樣就可把第（3）問(wèn)的教學(xué)重點(diǎn)用在分析取值范圍上，并且安排學(xué)生從不同角度思考.

教學(xué)環(huán)節(jié)（四）變式再練.

變式檢測(cè)題：已知拋物線y=mx2+（1-2m）x+2-8m與x軸相交于不同的兩點(diǎn)A、B.

（1）求m的取值范圍.

（2）求線段AB的長(zhǎng)（用含m的式子表示）.

（3）小潔發(fā)現(xiàn)：該拋物線會(huì)經(jīng)過(guò)兩個(gè)定點(diǎn)！請(qǐng)判斷“小潔發(fā)現(xiàn)”的真假，并說(shuō)明理由.

（4）該拋物線一定經(jīng)過(guò)非坐標(biāo)軸上的一點(diǎn)M，直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo).

（5）當(dāng)1≤m≤4時(shí)，由（4）求出的點(diǎn)M和點(diǎn)A、B構(gòu)成的△ABM的面積是否有最值？若有，求出該最值及相對(duì)應(yīng)的m值.

變式意圖：這里主要變式了拋物線解析式的系數(shù)，并且在第（5）問(wèn)增設(shè)了一個(gè)最值，原題只有最大值，因?yàn)樗o的m只是半開半閉區(qū)間，但這里給的是閉區(qū)間，所以既有最大值也有最小值.

三、教學(xué)思考

1.深刻理解考題，從不同角度貫通思路.

面對(duì)有難度的中考綜合題，教師要在貫通思路的基礎(chǔ)上，深刻理解考題的考查意圖，并在回顧反思時(shí)，從不同角度貫通思路，看清問(wèn)題結(jié)構(gòu).如上面“考題”的思路簡(jiǎn)述時(shí)，我們?cè)谕黄瓶碱}第（3）問(wèn)時(shí)，在不同的解題路徑中都預(yù)設(shè)不同的方法，滿足不同學(xué)生的思維風(fēng)格，便于學(xué)生尋找思路切入點(diǎn).

2.理解班情學(xué)情，精心預(yù)設(shè)教學(xué)環(huán)節(jié).

在教師對(duì)問(wèn)題有深刻理解的基礎(chǔ)上，結(jié)合本班學(xué)生的班情學(xué)情，圍繞考題精心預(yù)設(shè)教學(xué)環(huán)節(jié)，通過(guò)增設(shè)一些鋪墊式問(wèn)題，讓學(xué)生經(jīng)過(guò)熱身練習(xí)，拾級(jí)而上，挑戰(zhàn)難題，在這個(gè)過(guò)程中，既解決了一個(gè)問(wèn)題，同時(shí)也收獲了難題突破的思維方法或解題策略，即學(xué)會(huì)以退為進(jìn)、各個(gè)突破、目標(biāo)解析等解題策略.

3.加強(qiáng)效果反饋，變式改編?kù)柟淘倬?

開展較難問(wèn)題的變式再練是《中學(xué)數(shù)學(xué)（下）》近年來(lái)多篇課例研究倡導(dǎo)的教學(xué)要求，我們深受啟發(fā)，也在日常的解題教學(xué)中進(jìn)行嘗試.特別是針對(duì)一些較難題通過(guò)增設(shè)小問(wèn)，使得較難題的小問(wèn)擴(kuò)充到5個(gè)小問(wèn)左右，每個(gè)小問(wèn)20分，也便于百分制的評(píng)分，又能調(diào)控學(xué)生的基礎(chǔ)得分，并能鼓勵(lì)優(yōu)秀學(xué)生挑戰(zhàn)難題、向上生長(zhǎng)，使得解題教學(xué)的效果得到反饋、鞏固和拓展.

四、寫在后面

將近一個(gè)學(xué)期的中考復(fù)習(xí)有很大的精力都在解題教學(xué)、試題講評(píng)上，如何開展這類課型研究，值得我們認(rèn)真對(duì)待和思考.筆者認(rèn)為，近年來(lái)《中學(xué)數(shù)學(xué)（下）》刊發(fā)的大量的考題教學(xué)的“一題一課”教學(xué)設(shè)計(jì)研究是值得廣大一線教師深入開展的，一方面這類課例豐富起來(lái)，可以讓教師直接“拿來(lái)”，稍加改編、制作PPT后就可運(yùn)用到自己的課堂上；另一方面，這類課例中有不少改編題、變式題，也為命題研究提供了豐富的素材和視角，值得學(xué)習(xí).

1.朱金祥，劉東升.數(shù)學(xué)教學(xué)中例題變式的策略——基于教學(xué)追問(wèn)的視角［J］.教育研究與評(píng)論（中學(xué)教育教學(xué)版），2016（9）.

2.鄭毓信.善于提問(wèn)［J］.人民教育，2008（19）.

3.許燕.從解題賞析走向教學(xué)研究——以2016年無(wú)錫卷第27題為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2016（10）.

4.孫莉.思路生成貴在自然，一題一課追求簡(jiǎn)約——一道考題的思路突破與習(xí)題課設(shè)計(jì)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2016（9）.

5.吳忠妙.一道考題的思路、難點(diǎn)與教學(xué)設(shè)計(jì)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2016（9）.