☉江蘇蘇州工業(yè)園區(qū)金雞湖學(xué)校沈奕

深入研究揭示結(jié)構(gòu)，歸類復(fù)習(xí)變式再練
——以“曲線壓軸題”為例

☉江蘇蘇州工業(yè)園區(qū)金雞湖學(xué)校沈奕

中考?jí)狠S題常常與函數(shù)圖像相關(guān)，而且以拋物線居多，曲線（反比例函數(shù)圖像）的相對(duì)較少，然而曲線壓軸難題往往難以破解，容易走偏求解方向，導(dǎo)致思路受阻.在中考二輪備考期間，加強(qiáng)曲線壓軸題的備考研討很有必要.本文結(jié)合一道曲線壓軸題，破解思路，并跟進(jìn)教學(xué)思考，供研討.

一、?？碱}及思路突破

?？碱}：如圖1，正方形OABC的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸的正半軸上，曲線L：y=（x＞0）與BC、AB分別交于點(diǎn)D、E，且BD=AE.

圖1

（1）求k的值.

（2）若點(diǎn)P在直線AC上，且四邊形BCPQ是菱形，求證點(diǎn)Q在曲線L上.

（3）點(diǎn)F在線段AC上，且不與點(diǎn)A、C及AC的中點(diǎn)重合，過(guò)點(diǎn)F作x軸的垂線，交曲線L于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)F作y軸的垂線，分別交曲線L、AB于點(diǎn)N、G，連接MN、BN.試判斷∠BNG與∠FMN之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

思路簡(jiǎn)述：（1）由正方形OABC的邊長(zhǎng)為2，可得點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，2），設(shè)DAE=.結(jié)合BD=AE，列出方程2-=，解得k=2.

（2）由A（2，0）、C（0，2）得直線AC的方程為y=-x+2.由四邊形BCPQ為菱形，得PQ平行且等于BC，PQ=PC=2.接下來(lái)要分兩種可能情況分類討論：

圖2

綜上可知：點(diǎn)Q在曲線L上.

（3）先構(gòu)造可能的圖形分析，如圖2：

分兩種情況討論：

①當(dāng)點(diǎn)F在AC的中點(diǎn)和點(diǎn)C之間時(shí)，連接BM.設(shè)點(diǎn)N（m，n），則F（-n+2，n），F(xiàn)N=m+n-2，根據(jù)勾股定理可得BN2=（2-m）2+（2-n）2=8-4（m+n）+m2+n2.對(duì)該式子配出一個(gè)2mn后可以寫成完全平方式，而2mn又是一個(gè)常數(shù)4，整理、配方得BN2=（m+n-2）2.而FN=m-（-n+2）=m+n-2.即證得BN= FN.同樣，可演算出BM=FM.又MN=MN，所以△BMN≌△FMN.所以∠MBN=∠MFN=90°，∠BMN=∠FMN.即∠BNG=∠BMF=2∠FMN.

②當(dāng)點(diǎn)F在AC的中點(diǎn)與點(diǎn)A之間時(shí)，同理可得∠BNG+ 2∠FMN=180°.

綜上可得：∠BNG=2∠FMN或∠BNG+2∠FMN= 180°.

解后反思：在圖2中，容易發(fā)現(xiàn)B、M、F、N四點(diǎn)共圓（以MN為直徑的圓），從四點(diǎn)共圓的角度來(lái)理解∠BNG與∠FMN之間的數(shù)量關(guān)系，可獲得更深刻的理解.

此外，該題將反比例函數(shù)圖像的焦點(diǎn)、準(zhǔn)線以這種方式呈現(xiàn)出來(lái)，非常巧妙！當(dāng)然，初中對(duì)反比例函數(shù)圖像的焦點(diǎn)、準(zhǔn)線沒(méi)有要求.

二、關(guān)于曲線壓軸題的教學(xué)研討

1.反比例函數(shù)的圖像性質(zhì)簡(jiǎn)約、深刻，值得深入探究.

教材上關(guān)于反比例函數(shù)的圖像性質(zhì)認(rèn)識(shí)比較初步，比如，函數(shù)增減性，或從反比例函數(shù)圖像上任意一點(diǎn)向兩坐標(biāo)軸引垂線段，與坐標(biāo)軸所圍成的矩形的面積是定值.事實(shí)上，近年來(lái)各地中考對(duì)反比例函數(shù)的性質(zhì)探究得比較深入，比如，圖3中，點(diǎn)A、B在反比例函數(shù)圖像上，過(guò)點(diǎn)A、B分別作x、y軸的垂線段AA′、BB′，則一定有AB∥A′B′.

重要的是，該性質(zhì)還可拓展、生長(zhǎng)，比如，不管兩個(gè)點(diǎn)的位置在同一支曲線上還是分別在兩支上，該結(jié)論始終成立（如圖4~6）.

圖3

圖4

圖5

圖6

進(jìn)一步，如圖7，作直線AB交x、y軸于N、M，會(huì)有平行四邊形AMB′A′、平行四邊形A′B′BN.從而可得AM=BN.將圖7中的相關(guān)線段刪減后，又可得出圖8所示的兩個(gè)陰影三角形，容易發(fā)現(xiàn)△AOM與△BON的面積一定相等！

圖7

圖8

而在上文中，隱含了反比例函數(shù)圖像的焦點(diǎn)與準(zhǔn)線，如果不熟悉該題結(jié)構(gòu)，則會(huì)在黑暗中摸索，消耗考場(chǎng)上寶貴的時(shí)間.

2.曲線壓軸題要注意引導(dǎo)學(xué)生排除干擾，分離并識(shí)別模型.

曲線壓軸題一般都有3個(gè)小問(wèn)，為了能化解難點(diǎn)，通常第一問(wèn)都是簡(jiǎn)單問(wèn)題，第二問(wèn)會(huì)漸次展開(kāi)探究，需要一定的解題能力，但貫通思路往往也不難，第三問(wèn)卻會(huì)向深處拓展，有較高的解題要求.比如，上文中的考題第三問(wèn)，需要學(xué)生自己構(gòu)出圖2進(jìn)行分析，并且要恰當(dāng)設(shè)元，如果設(shè)元不當(dāng)，則會(huì)陷入繁雜的運(yùn)算，有可能不能演算出正確的結(jié)論.待到我們分析出解題的思路之后，就能得到關(guān)于曲線焦點(diǎn)的奇異性質(zhì)，感受到命題者把一道曲線難題經(jīng)過(guò)精心的偽裝，結(jié)合初中階段的正方形、曲線呈現(xiàn)出來(lái)，而把曲線的準(zhǔn)線用正方形的對(duì)角線隱藏起來(lái)，把正方形一個(gè)頂點(diǎn)作為焦點(diǎn)隱藏起來(lái)，這樣在講評(píng)時(shí)，就要注意引導(dǎo)學(xué)生在演算出相關(guān)線段相等之后，反思結(jié)構(gòu)、走向一般，對(duì)于特別優(yōu)秀的學(xué)生，可建議他們回去鉆研曲線更多的奇妙性質(zhì).

3.曲線壓軸題教學(xué)要注意適當(dāng)歸類，專題聚焦重點(diǎn)突破.

曲線壓軸題考查方向多樣，如果僅僅把看似以曲線為載體的壓軸題集中在一起講解，效果并不是最優(yōu)的，因?yàn)橥瑯觾傻揽此葡嗤那€壓軸題，很可能它們的求解方向、解題策略截然不同.這就要求我們從試題本質(zhì)、結(jié)構(gòu)、求解方向的高度來(lái)組織同類壓軸題，甚至有時(shí)不僅可把綜合題組合在一起，也可以從填空、選擇題中歸類組合，形成專題，引導(dǎo)學(xué)生圍繞一類問(wèn)題聚焦，重點(diǎn)突破，讓學(xué)生通過(guò)具有共同結(jié)構(gòu)的一類曲線問(wèn)題的訓(xùn)練，達(dá)到較好的訓(xùn)練效果，增加“眼力”，下次再碰到具有類似結(jié)構(gòu)的曲線問(wèn)題，能一眼看出問(wèn)題結(jié)構(gòu)與求解方向.

4.曲線壓軸題講評(píng)之后要對(duì)難點(diǎn)問(wèn)題展開(kāi)變式再練.

近兩年《中學(xué)數(shù)學(xué)（下）》刊出的不少文章都倡導(dǎo)解題教學(xué)要重視開(kāi)展聽(tīng)課檢測(cè)、變式再練，這是非常重要的解題教學(xué)環(huán)節(jié).我們也對(duì)上面的考題進(jìn)行變式改編，作為講評(píng)之后的變式反饋題：

?？碱}變式再練：如圖1，正方形OABC的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸的正半軸上，曲線L：y=k x（x＞0）與BC、AB分別交于點(diǎn)D、E.

（1）當(dāng)D為邊BC的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo).

（2）在（1）的條件下，若點(diǎn)Q在曲線L上，當(dāng)四邊形BCPQ是菱形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

（3）點(diǎn)F在線段AC上，且不與點(diǎn)A、C及AC的中點(diǎn)重合，過(guò)點(diǎn)F作x軸的垂線，交曲線L于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)F作y軸的垂線，分別交曲線L、AB于點(diǎn)N、G，連接MN，BN.

【說(shuō)明，以下兩個(gè)小問(wèn)題，只要選擇一個(gè)小問(wèn)解答即可】

①小宇經(jīng)過(guò)演算發(fā)現(xiàn)：∠BNG=2∠FMN.請(qǐng)判斷“小宇發(fā)現(xiàn)”的真假，并說(shuō)明理由.

②小凡經(jīng)過(guò)推理發(fā)現(xiàn)：B、M、N、F四點(diǎn)共圓.請(qǐng)判斷“小凡發(fā)現(xiàn)”的真假，并說(shuō)明理由.

1.章建躍.創(chuàng)新推動(dòng)改革，全面提高教育質(zhì)量——暨“第九屆初中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)秀課展示與培訓(xùn)活動(dòng)”總結(jié)［J］.中國(guó)數(shù)學(xué)教育（初中），2016（4）.

2.鄭毓信.“開(kāi)放的數(shù)學(xué)教學(xué)”新探［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2007（7）.

3.鄭毓信.多元表征與概念教學(xué)［J］.小學(xué)數(shù)學(xué)教育，2011（10）.

4.宋秀云.讓“簡(jiǎn)單內(nèi)容”教得深刻［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2016，55（4）.