☉江蘇建湖縣高作中學(xué)薛金陵

歸類究錯(cuò)：以分類討論試題講評為例
——從兩道“漏解”試題講評說起

☉江蘇建湖縣高作中學(xué)薛金陵

初三中考復(fù)習(xí)期間，學(xué)生會(huì)經(jīng)歷大量的模考訓(xùn)練，通過模考訓(xùn)練常常能查漏補(bǔ)缺，而考后的跟進(jìn)講評與訂正，如果只是滿足于就題講題，出錯(cuò)一題修補(bǔ)一題，沒有必要的歸類究錯(cuò)，則往往訂正效果并不明顯.本文記錄近期一次試卷講評課上的關(guān)聯(lián)式訂正與究錯(cuò)，并給出相關(guān)解題教學(xué)的建議，供研討.

一、“漏解”試題講評實(shí)錄

2圖像交于點(diǎn)A（1，8）、B（-4，m）.

（1）略；

（2）略；

圖1

（3）若M（x1，y1）、N（x2，y2）是反比例函數(shù)y=圖像上的兩點(diǎn)，且，指出點(diǎn)M、N各位于哪個(gè)象限，并簡要說明理由.

批閱記錄：第（3）問全班只有極少數(shù)學(xué)生“完整”解答，雖然多數(shù)學(xué)生都答出了“點(diǎn)M在第三象限，點(diǎn)N在第一象限”，但是解答過程中缺少必要的分類討論.

講評記錄：由于第（3）問的條件只給了x1＜x2，并沒有明確這兩個(gè)自變量與0的大小關(guān)系，所以需要分三種情況：

①當(dāng)x1＜x2＜0時(shí)，y1＞y2，不合題意，舍去；

②當(dāng)x1＜0＜x2時(shí)，y1＜0，y2＞0，y1＜y2；

③當(dāng)0＜x1＜x2時(shí)，y1＞y2，不合題意，舍去，

綜上所述，點(diǎn)M在第三象限，點(diǎn)N在第一象限.

考題2：如圖2，四邊形ABCD為正方形.在邊AD上取一點(diǎn)E，連接BE，使∠AEB=60°.

（1）利用尺規(guī)作圖補(bǔ)全圖形；（要求：保留作圖痕跡，并簡述作圖步驟）

（2）取BE的中點(diǎn)M，過點(diǎn)M的直線交邊AB、CD于點(diǎn)P、Q.

圖2

圖3

①當(dāng)PQ⊥BE時(shí)，求證：BP=2AP；

②當(dāng)PQ=BE時(shí)，延長BE、CD交于N點(diǎn)，猜想NQ與MQ的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

批閱記錄：第（1）問是尺規(guī)作圖，不是本文闡釋的重點(diǎn)，這里從略；

第（2）問整體正確率較高，但不少學(xué)生在證明時(shí)有思路回路，過程不簡明；

第（3）問漏解嚴(yán)重，只有少數(shù)學(xué)生考慮了不同的位置情形，講評時(shí)需要花時(shí)間在引導(dǎo)構(gòu)圖上.

講評記錄：第（2）問簡明的證明思路如下：連接PE，如圖3，容易得出PQ垂直平分BE.則PB=PE.于是∠PEB=∠PBE=90°-∠AEB=90°-60°=30°，所以∠APE=∠PBE+∠PEB=60°，則BP=EP=2AP.

對于第（3）問，有兩種可能的數(shù)量關(guān)系：NQ=2MQ或NQ=MQ.理由如下：

如圖4所示，過點(diǎn)Q作QF⊥AB于點(diǎn)F，交BE于點(diǎn)G，則QF=CB.在正方形ABCD中，AB=BC，則FQ=AB.接著可證出△ABE≌△FQP（HL）.所以∠FQP=∠ABE=30°.再結(jié)合∠MGQ=∠AEB=60°，有∠GMQ=90°.易得∠N=∠ABE= 30°.所以NQ=2MQ.

圖4

圖5

如圖5所示，過點(diǎn)Q作QF⊥AB于點(diǎn)F，交BE于點(diǎn)G，則QF=CB.同理可證△ABE≌△FQP.此時(shí)∠FPQ=∠AEB= 60°.∠EMQ=∠PMB=30°.所以∠N=∠EMQ，即NQ=MQ.

講后引導(dǎo)學(xué)生回顧反思：上面兩道考題出現(xiàn)在同一試卷中，全班有三分之二的學(xué)生兩道題都漏解，有10人左右漏解一道，只有2人全部考慮全面，沒有漏解.請這其中一個(gè)同學(xué)交流一下他的解答經(jīng)驗(yàn)時(shí)，該同學(xué)指出由于條件x1＜x2，以及PQ=BE，都沒有相應(yīng)的圖形，需要自已思考后構(gòu)圖，而構(gòu)圖需要考慮不同的可能.

教師點(diǎn)評：當(dāng)圖形的位置確定之后，通常大小關(guān)系（即數(shù)量關(guān)系）也隨之確定；反之，如果圖形之間存在某種數(shù)量關(guān)系，但并不一定能夠唯一對應(yīng)一種圖形.簡言之，位置關(guān)系確定后，可確定數(shù)量關(guān)系，但僅有數(shù)量關(guān)系，不一定有唯一對應(yīng)的圖形位置.這也是這類問題需要分類討論的深層次原因.

二、關(guān)于分類討論思想方法的教學(xué)思考

1.重視學(xué)科“研究套路”的滲透與強(qiáng)化，讓糾錯(cuò)有“據(jù)”可依.

章建躍博士在多篇文獻(xiàn)中反復(fù)指出數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“研究套路”，比如，代數(shù)教學(xué)中，以“數(shù)”為例，常常先學(xué)習(xí)一類新數(shù)的概念及相關(guān)概念（如學(xué)生會(huì)明辨什么是實(shí)數(shù)，然后是與實(shí)數(shù)相關(guān)的概念，如相反數(shù)、倒數(shù)、絕對值、數(shù)軸等），接著是數(shù)的運(yùn)算，數(shù)學(xué)運(yùn)算又是先猜想、歸納或證明出數(shù)的運(yùn)算法則，明確運(yùn)算順序，然后靈活運(yùn)用運(yùn)算律簡化運(yùn)算.再比如，幾何教學(xué)中，在初中平面幾何教學(xué)起始階段，要引導(dǎo)學(xué)生知曉、理解并記牢幾何圖形的形狀、大小和位置這三個(gè)方面.在后續(xù)教學(xué)中，要常?！盎氐健边@樣的基本套路中強(qiáng)化這些意識(shí)，無論是新引入一類平行四邊形的研究，還是圓的學(xué)習(xí)，都可習(xí)慣性地問學(xué)生，如“現(xiàn)在我們開始學(xué)習(xí)平行四邊形了，從平行四邊形的邊來看，它的位置、數(shù)量上有何關(guān)系？請大家探究”，或“同學(xué)們思考一下，你們覺得研究平行四邊形的對角線，可以從哪些角度來研究”（預(yù)設(shè)：從對角線的位置關(guān)系、數(shù)量關(guān)系）.經(jīng)常強(qiáng)化這樣的套路意識(shí)，在學(xué)生解決需要分類討論的問題出錯(cuò)后，就可通過追問引導(dǎo)他們明辨這些套路，使得他們自主糾錯(cuò)、發(fā)現(xiàn)錯(cuò)漏，促進(jìn)自主究錯(cuò)的學(xué)力發(fā)展.

2.重視數(shù)學(xué)基本概念的教學(xué)，從“標(biāo)準(zhǔn)模式”到“非標(biāo)準(zhǔn)模式”.

分類討論是每份試卷上必考的一種數(shù)學(xué)思想方法，表面上看主要考查學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)、細(xì)致的思維品質(zhì)，深層次說，是考查學(xué)生對數(shù)學(xué)基本概念的深刻理解.追根究底，不少分類討論問題出現(xiàn)漏解或重解，往往都是出錯(cuò)學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解還不夠深刻，比如，上文中的考題1，深層次究錯(cuò)的話，學(xué)生不只是由數(shù)量關(guān)系只想到一種位置關(guān)系出現(xiàn)漏解，而且也可歸因到出錯(cuò)學(xué)生對反比例函數(shù)圖像是雙曲線，兩支曲線分布在不同象限，理解不深，如果時(shí)時(shí)有反比例函數(shù)圖像是雙曲線，是兩支的深刻印象，則解題時(shí)看到兩個(gè)自變量，就不會(huì)想當(dāng)然地把這兩個(gè)自變量的值只考慮到一個(gè)象限中.所以，我們在教學(xué)基本概念時(shí)，需要重視學(xué)生對概念的深刻理解，比如《中學(xué)數(shù)學(xué)（下）》前一段時(shí)間有文章主張教學(xué)要重視從“標(biāo)準(zhǔn)模式”走向“非標(biāo)準(zhǔn)模式”就是一種積極的教學(xué)實(shí)踐，值得我們學(xué)習(xí)和實(shí)踐

3.重視訂正講評環(huán)節(jié)的鏈接，從深層次診斷錯(cuò)因追求標(biāo)本兼治.

試卷講評課是復(fù)習(xí)階段十分重要的課型，當(dāng)前的數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)際表明，日常教學(xué)中有大量的數(shù)學(xué)課堂在訂正、講評習(xí)題中度過，怎樣把一些錯(cuò)題、易錯(cuò)題的講評效果提升，是值得每一位教師認(rèn)真思考和面對的現(xiàn)實(shí)課題.就本文寫作意圖來看，我們提供的兩道錯(cuò)題從知識(shí)點(diǎn)上看不在同一個(gè)知識(shí)塊下，但是從出錯(cuò)的深層次原因上看，則是因?yàn)閷?shù)量關(guān)系與位置關(guān)系之間的思辨、對應(yīng)，所以將它們鏈接在一起教學(xué)、究錯(cuò)，有助于提高教學(xué)效果，強(qiáng)化學(xué)生以后遇到此類問題的分類討論意識(shí).

4.定理教學(xué)時(shí)需要引導(dǎo)學(xué)生“逆過來”思考，探究逆命題是否成立.

數(shù)學(xué)教學(xué)過程中有大量的定理教學(xué)，突出體現(xiàn)了幾何教學(xué)中大量的定理，而這些定理往往都是由一道文字命題出發(fā)，經(jīng)歷畫圖，寫出已知、求證，并證明的過程，很多定理教學(xué)都根據(jù)教材上的課時(shí)劃分亦步亦趨，缺少必要的教材重組，比如，定理證明之后就是例題講評、習(xí)題訓(xùn)練.我們可以在定理證明之后立即安排學(xué)生逆過來思考，探究條件、結(jié)論置換之后的逆命題是否為真命題，經(jīng)常引導(dǎo)學(xué)生逆向思考，探究逆命題是否成立，對于學(xué)生深刻理解定理，理解題設(shè)與結(jié)論之間的互動(dòng)、對應(yīng)關(guān)系十分有益.近年來，我們在《中學(xué)數(shù)學(xué)（下）》見到大量著名特級教師李庾南老師的課例，我們看出李老師倡導(dǎo)的“學(xué)材再建構(gòu)”的備課主張，就是旗幟鮮明的倡導(dǎo)源于教材、高于教材、重組教材的教學(xué)主張，值得我們一線教師深入實(shí)踐和研習(xí).

1.季衛(wèi)東.變式取向：從“標(biāo)準(zhǔn)模式”到“非標(biāo)準(zhǔn)模式”——以“軸對稱最值問題”解題教學(xué)為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2014（3）.

2.鮑建生，顧冷沅等.變式教學(xué)研究［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)，2003（1、2、3）.

3.許燕.從解題賞析走向教學(xué)研究——以2016年無錫卷第27題為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2016（10）.

4.鄭毓信.善于提問［J］.人民教育，2008（19）.

5.孟慧.幾何綜合題研究：從思路貫通到教學(xué)微設(shè)計(jì)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2016（9）.