崔禹
摘要:利用代換法解決函數(shù)解析式和曲線方程問題,是一種常用的數(shù)學方法。主要利用一般點的坐標代換解決看似非常雜亂的圖形變換問題。
關鍵字:代換法 具體點坐標 轉換 方程和解析式
在數(shù)學學習和解題過程中,經(jīng)常會遇到已知圖形或幾何條件,經(jīng)過一系列的轉化,變成新的曲線,求解新曲線方程和函數(shù)解析式的問題。如果方法不完善,將會無從下手。其實,在解決曲線方程和函數(shù)解析式的問題上,我們主要是解決曲線上的任一點P(x,y)的橫坐標x和縱坐標y之間的關系式。在解決該類問題時,我們可以根據(jù)條件的轉化,遵循“要求誰即設誰”的原則,設出要求的點的坐標,轉化為已知點的坐標,代換到已知方程中,“變未知為已知”,解決實際問題。
一、 函數(shù)圖像對稱問題
1、一個單一函數(shù)有對稱軸的問題
例1 函數(shù)y=f(x)圖像關于x=2對稱,當x<2時,f(x)=x2+2x,
求x>2時,f(x)解析式。
解:設x>2,則4-x<2,此時(x, f(x))、(4-x, f(x))均在y=f(x)圖像上。
所以,f(x)=(4-x)2+2(4-x)=x2-10x+24
即x>2時,f(x)= x2-10x+24。
同樣可以證明,若函數(shù)f(x)關于x=a對稱,(即有對稱軸x=a),
則①f(a+x) =f(a-x)
②f(x)= f(2a-x)
③f(b+x) =f(c-x) (其中 a)
2、兩個函數(shù)關于直線或點對稱
例2 函數(shù)f(x)=log3(x+5),函數(shù)g(x)與函數(shù)f(x)的圖像關于直線x=3對稱,求g(x)解析式
解:設y= g(x)上任一點的坐標為(x,y),函數(shù)f(x)與函數(shù)g(x)的圖像關于直線x=3對稱,
則(x,y)關于直線x=3對稱點(6-x,y)在函數(shù)f(x)圖像上。代入得:
y= log3(6-x +5)= log3(11-x)
即g(x)解析式為:g(x)= log3(11-x)
例3 函數(shù)f(x)=4x+5,函數(shù)g(x)與函數(shù)f(x)的圖像關于點(3,4)對稱,求g(x)解析式
解:設y= g(x)上任一點的坐標為(x,y),函數(shù)f(x)與函數(shù)g(x)的圖像關于點(3,4)對稱,則(x,y)關于點(3,4)對稱點(6-x,8-y)在函數(shù)f(x)圖像上。代入得:
8-y=4(6-x)+5
整理得:y=4x-21
即g(x)解析式為:g(x)= 4x-21
二、 函數(shù)圖像或曲線的平移變換
例4 函數(shù) 圖像向左平移 得g(x)圖像,求g(x)解析式
解:設y= g(x)上任一點的坐標為(x,y),函數(shù) 圖像向左平移 得g(x)圖像,則g(x)圖像向右平移 得 圖像,(x,y)向右平移 得點(x+ ,y)在函數(shù)f(x)圖像上。代入得:y= .
即g(x)解析式為:g(x)=
例5 曲線C1: 按向量=(3,4)平移得曲線C2:,求C2的方程。
解:設C2上任一點的坐標為(x,y), 曲線C1:按向量=(3,4)平移得曲線C2,則
曲線C2按向量-=(-3,-4)平移得曲線C1,點(x,y)按向量-=(-3,-4)平移得(x-3,y-4)在C1上。代入得:
。
即C2的方程為:
結論: ①f(x) 向左平移a個單位,得f(x+a)
②f(x) 向右平移a個單位,得f(x-a)
三、 函數(shù)圖像或曲線的伸縮變換
例6 函數(shù)f(x)=sin(2x+4)圖像上每一點縱坐標不變,橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍,得函數(shù)g(x)圖像,求g(x)解析式。
解:設y= g(x)上任一點的坐標為(x,y),
函數(shù)f(x)=sin(2x+4)圖像上每一點縱坐標不變,橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍,得函數(shù)g(x)圖像,則函數(shù)g(x)圖像上每一點縱坐標不變,橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍,得函數(shù)f(x)圖像. (x,y)的對應點( x,y)在f(x)圖像上。
代入得:y=sin[2( x) +4]=sin(x+4)
即g(x)解析式為:g(x)= sin(x+4).
例7 曲線C1的方程為:y2=6x,曲線上每一點的橫坐標不變,縱坐標變?yōu)樵瓉淼?,得曲線C2,求C2的方程。
解:設曲線C2圖像上任一點的坐標為(x,y),
曲線C1:y2=6x上每一點橫坐標不變,縱坐標變?yōu)樵瓉淼?,得曲線C2圖像,則曲線C2圖像上每一點橫坐標不變,縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍,得曲線C1圖像. (x,y)的對應點(x,3y)在C1圖像上。
代入C1的方程得:(3y)2=6x,
整理得:y2= x
即C2的方程為:y2= x
同樣,可以得到其它的伸縮變換結論。
總結:用代換法求曲線方程和函數(shù)解析式,主要“求誰即設誰”,設要求的未知的函數(shù)圖像或曲線上一點,根據(jù)題目要求,代換到已知的條件當中去,“變未知為已知”,求得最終的結論。
參考文獻:
1.原慧芳.高中圓錐曲線與方程學習的問題研究[D].陜西師范大學.2011.05:29-31.
2.莊后偉.由曲線方程來談高中數(shù)學創(chuàng)新教學[J].教育教學論壇.2012(4):61-62.
3.雷鵬. 圓錐曲線參數(shù)方程在高中數(shù)學解題中的應用[J].學周刊.2016(3):134.