☉江蘇省白蒲高級中學 潘丹丹

基于課堂教學改革下活動單的教學
——“導數(shù)在研究函數(shù)中的應用”教學案例

☉江蘇省白蒲高級中學 潘丹丹

函數(shù)是高中的核心內容，學習函數(shù)時，我們分別研究了函數(shù)的三要素、函數(shù)的單調性、函數(shù)的奇偶性、函數(shù)的圖像、函數(shù)與方程、函數(shù)與不等式等內容，并且從數(shù)與形兩個方面進行了研究.通過在高二的新知學習，我們充分利用導數(shù)研究了函數(shù)的單調性、極值、最值等問題，這就是本節(jié)課我們所研究的內容——導數(shù)在研究函數(shù)中的應用.

首先看基礎自測：

活動一、基礎自測

2.函數(shù)y=x+2sinx在區(qū)間［0，π］內的極大值是___________，最小值是___________.

3.設（fx）=4x3+mx2+（m-3）x+n（m，n∈R）是R上的單調增函數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍為___________.

4.已知函數(shù)f（x）=ex-2x+a有零點，則a的取值范圍是___________.

5.函數(shù)f（x）的定義域為R，f（-1）=2，對任意x∈R，f′（x）＞2，則f（x）＞2x+4的解集為___________.

處理方式：以小組為單位，多屏展示答案，學生思考知識點及方法.上課后投影，學生回答簡要過程、方法及知識依據(jù).

通過學生的主動回答，教師與學生共同梳理知識點.

要點梳理：（板書）

導數(shù)：

1.函數(shù)的單調性

f′（x）＞0?f（x）單調遞增；

f′（x）＜0?f（x）單調遞減.

f（x）在區(qū)間A上單調遞增?f′（x）≥0在區(qū)間A上恒成立；

f（x）在區(qū)間A上單調遞減?f′（x）≤0在區(qū)間A上恒成立.

2.函數(shù)的極值和最值

求導，令f′（x）=0，列表.

3.函數(shù)的零點，不等式恒成立問題

將問題轉化為函數(shù)的最值問題.

通過課堂的教學，學生能在基礎自測中提出自己的想法，例如第4題，學生講解時提出了直接研究和參變分離的想法，學生在第5題提出構造新函數(shù)g（x）=f（x）-2x在R上單調遞增時，立刻有學生補充提出可以特殊化處理，例如構造函數(shù)f（x）=3x+5，充分展現(xiàn)了學生思維的發(fā)散性.

設計意圖：從知識層次出發(fā)，通過基礎自測讓學生在知識層面上認識利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，函數(shù)的極值、最值，函數(shù)的零點問題，不等式恒成立問題，而這些問題都以函數(shù)單調性的研究為中心，進而提出如何利用導數(shù)把握函數(shù)的單調性呢？并引入活動二.

活動二、典型例題

處理方式：學生投影并簡述過程及方法.（學生提出補充，質疑，讓學生進行總結提煉）

生1：解：定義域為（0，+∞），

（1）當a-4≤0，即-2≤a≤2時，f′（x）＞0，則f（x）的單調遞增區(qū)間為（0，+∞），無單調遞減區(qū)間.

（2）當a2-4＞0，即a＞2或a＜-2.

①若a＜-2時，則f（x）的單調遞增區(qū)間為（0，+∞），無單調遞減區(qū)間.

則f（x）的單調遞增區(qū)間為（0，x1）和（x2，+∞），單調遞減區(qū)間為（x1，x2）.

綜上可知，當a≤2時，f（x）的單調遞增區(qū)間為（0，+∞），無單調遞減區(qū)間；

當a＞2時，f（x）的單調遞增區(qū)間為（0，x1）和（x2，+∞），單調遞減區(qū)間為（x1，x2）.

（學生自我總結）

總結：本題在研究函數(shù)單調性時，方式是通過求導判斷導函數(shù)f′（x）的符號，其本質是判斷二次函數(shù)在（0， +∞）上的符號，首先考慮它的根“定”與“不定”，“定”指的是能因式分解，“不定”則依據(jù)判別式進行討論，分Δ≤0和Δ＞0兩種情況研究，然后抓住二次函數(shù)的圖像利用數(shù)形結合的思想方法研究根是否在定義域內.

同時在黑板上畫出導函數(shù)的圖像，并讓學生提出質疑與想法：

當a≤2時，f（x）的單調遞增區(qū)間為（0，+∞），無單調遞減區(qū)間；

當a＞2時，f（x）的單調遞增區(qū)間為（0，x1）和（x2，+∞），單調遞減區(qū)間為（x1，x2）.

在利用導函數(shù)圖像判斷導數(shù)符號后，提出思考：

思考1：如果定義域變?yōu)椋?，+∞），結合圖像如何認識函數(shù)的單調性呢？

學生遇到的困惑就是如何解決導函數(shù)的根與（1，+∞）的關系，結合圖像，發(fā)現(xiàn)f′（1）=2-a.當a＞2時，f′（1）=2-a＜0，所以x1＜1＜x2，從而得出結論：

當a≤2時，f（x）的單調遞增區(qū)間為（1，+∞），無單調遞減區(qū)間；

當a＞2時，f（x）的單調遞增區(qū)間為（x2，+∞），單調遞減區(qū)間為（1，x2）.

剛才求導后通過抓基本初等函數(shù)的圖像來加以判斷導函數(shù)的符號，還有其他的形式嗎？

在此題的基礎上看變式1.

h′（x）＞0，得x＞1；h′（x）＜0，得0＜x＜1，所以h（x）的單調減區(qū)間為（0，1），單調遞增區(qū)間為（1，+∞），所以h（x）在x=1取得極小值，也是最小值.h（x）min=h（1）=3＞0，則g′（x）＞0.

所以g（x）的單調增區(qū)間為（0，+∞），無單調遞減區(qū)間.

總結：通過對剛才的問題分析，我們可以體會到在利用導數(shù)研究函數(shù)單調性時常常研究的方式有：

（1）在基本初等函數(shù)的基礎上抓其圖像，利用數(shù)形結合的思想方法進而研究；

（2）非基本初等函數(shù)下通過兩次求導進一步研究函數(shù).

給學生1分鐘時間自主梳理，提出思考2.

思考2：在基本初等函數(shù)圖像的基礎上利用導數(shù)研究了函數(shù)的單調性，那你能畫出原函數(shù)的大致圖像嗎？（學生上黑板）

學生畫圖時遇到的問題是：當a＞2時，圖像與x軸的交點，通過學生的思考與認知，學生能主動發(fā)現(xiàn)（f1）=-a＜0，而（fx）在（1，x2）上單調遞減，所以（fx2）＜0，進而得到原函數(shù)的大致圖像，同時讓學生體會到畫圖像時的注意點是對大致走勢、漸近線、特殊點的把握.

在此基礎上看變式2.

處理方式：在變式1的基礎上充分利用導函數(shù)與原函數(shù)的圖像研究，學生將其解題思路展示在黑板上.而學生解決時遇到的困難有分類討論的層次以及在計算上存在問題，充分利用函數(shù)的圖像加以分類討論進而得到解決.過程如下：

解：當a≤2時，（fx）在［1，2］上單調遞增，

minmax

當a＞2時，

minmaxln2+2-2a；

min0max2a.

在此基礎上，請進一步探究：

通過對上述變式的研究，結合函數(shù)的圖像可知，

本題除了這種方法之外，還可以從參變分離的角度研究：

設計意圖：活動二從思維層次出發(fā)，利用例題研究函數(shù)的單調性，解決如何利用導數(shù)把握函數(shù)的單調性，從局部和整體角度，充分利用了基本初等函數(shù)的圖像.在此基礎上，并通過對定義域的改變和變式1再次體會如何利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，進而總結出從基本初等函數(shù)的圖像和兩次求導兩種方式進行研究函數(shù)的單調性.在單調性的基礎上提出思考2，讓學生畫出原函數(shù)的大致圖像，在此基礎上進一步引出變式2和變式3，體現(xiàn)出思維層次的遞進性.

本節(jié)課利用導數(shù)研究了函數(shù)的單調性、極值、最值，圍繞函數(shù)的單調性、極值、最值借此研究了方程有解問題，實際上圍繞函數(shù)的單調性、極值、最值還可以研究不等式的恒成立問題或證明不等式問題，這個問題我們留著后面再研究.