☉江蘇省張家港高級中學(xué) 袁志強(qiáng)

一次有關(guān)橢圓離心率的探索之旅

☉江蘇省張家港高級中學(xué) 袁志強(qiáng)

眾所周知，橢圓離心率是橢圓的重要幾何性質(zhì)，離心率大小決定了橢圓的扁平程度，當(dāng)離心率e從0經(jīng)過變化到1時(shí)，橢圓內(nèi)部發(fā)生了一系列優(yōu)美的變化，呈現(xiàn)出許多有趣的性質(zhì).將這些有趣的性質(zhì)設(shè)計(jì)成一節(jié)探究性學(xué)習(xí)課，讓學(xué)生探索其中的內(nèi)在性質(zhì)，不僅可以加深學(xué)生對橢圓幾何性質(zhì)的理解與掌握，還可以培養(yǎng)學(xué)生觀察問題、分析問題、解決問題的能力，同時(shí)在歸納探究中體會(huì)橢圓幾何性質(zhì)的奇異美、內(nèi)在美，在享受美的過程中實(shí)現(xiàn)情感體驗(yàn).通過橢圓及其性質(zhì)的前期學(xué)習(xí)，學(xué)生對橢圓離心率有了初步的認(rèn)識，但離心率e從0經(jīng)過變化到1時(shí)，橢圓內(nèi)部發(fā)生的一系列優(yōu)美的變化，學(xué)生卻知之較少或不成體系，有待于深化提高.

本課知識目標(biāo)：在準(zhǔn)確理解橢圓離心率與橢圓關(guān)系的基礎(chǔ)上，掌握離心率e從0經(jīng)過變化到1時(shí)，與橢圓長短軸長、焦距、準(zhǔn)線間距離有關(guān)的特殊的幾何性質(zhì)；進(jìn)一步掌握橢圓離心率有關(guān)的角度關(guān)系、位置關(guān)系、弦長最值、焦點(diǎn)弦三角形等問題的處理方法.本課采用的教學(xué)方法：“問題誘導(dǎo)—啟發(fā)討論—探索結(jié)果”及“感知觀察—?dú)w納猜證—總結(jié)規(guī)律”的一種探究性教學(xué)方法，注重“引”、“思”、“探”、“練”的結(jié)合.基本環(huán)節(jié)：①課前準(zhǔn)備——搭腳手架，②創(chuàng)設(shè)情境——研討交流，③深入探究——解決問題，④聯(lián)想變形——擴(kuò)大戰(zhàn)果.

第一階段：課前準(zhǔn)備——搭腳手架

課前教師設(shè)計(jì)一組問題，并將學(xué)生分成若干小組.要求學(xué)生以小組為單位進(jìn)行合作預(yù)習(xí)，預(yù)習(xí)時(shí)若難易直接獲得結(jié)果，可利用《幾何畫板》邊實(shí)驗(yàn)邊觀察邊分析，大膽地猜測結(jié)果，并制作成一個(gè)2至3分鐘的小課件.

問題1設(shè)橢圓離心率為e，長半軸長、短半軸長、半焦距分別為a，b，c，則e從0經(jīng)過變化到1時(shí)，a，b，c之間有怎樣的大小關(guān)系？a與b又有怎樣的大小關(guān)系？

問題2設(shè)A，B是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓長軸和短軸的一個(gè)端點(diǎn)，F(xiàn)1和F2是兩焦點(diǎn)，PF2⊥x軸，則離心率e從0經(jīng)過變化到1時(shí)，∠BAO與∠POF2大小關(guān)系如何？

問題3以F1F2為直徑的圓為⊙O，則離心率e從0經(jīng)過變化到1時(shí)，橢圓與⊙O有幾個(gè)公共點(diǎn)？

問題4設(shè)橢圓離心率為e，以O(shè)A（A為長軸的一個(gè)端點(diǎn)）為直徑的圓為⊙O，則離心率e從0經(jīng)過變化到1時(shí)，橢圓與⊙O有幾個(gè)公共點(diǎn)？

設(shè)計(jì)意圖：利用奧蘇貝爾“先行組織原理”組織教學(xué)，通過課前預(yù)習(xí)教學(xué)內(nèi)容，讓學(xué)生初步嘗試觀察與猜想的過程，鼓勵(lì)學(xué)生有效運(yùn)用教學(xué)媒體，實(shí)現(xiàn)的知識主動(dòng)建構(gòu)，提高創(chuàng)新能力和動(dòng)手操作能力，在進(jìn)行探究的過程中培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和良好的個(gè)性品質(zhì)，提高學(xué)習(xí)效率，學(xué)會(huì)了合作、學(xué)會(huì)了探究.預(yù)期效果是學(xué)生初步解答4個(gè)問題或初步掌握解題方向.

第二階段：創(chuàng)設(shè)情境——研討交流

教師首先演示隨離心率e變化的一般圓錐曲線動(dòng)態(tài)圖，讓學(xué)生感知當(dāng)離心率e從0向+∞逐漸變化時(shí)，動(dòng)點(diǎn)軌跡隨著從圓到橢圓到拋物線再到雙曲線的變化過程，既看到了量變引起質(zhì)變，有限跨向無限的生動(dòng)歷程，又領(lǐng)略了離心率的奇妙功能，在此基礎(chǔ)上點(diǎn)明本節(jié)課的研究課題.其次讓學(xué)生交流預(yù)習(xí)結(jié)果，教師視學(xué)生交流情況組織教學(xué)，必要時(shí)靈活選擇以下方法給予支撐.

學(xué)生極易發(fā)現(xiàn)結(jié)論1：

圖1

學(xué)生不難猜想出結(jié)論3：

學(xué)生能夠猜想出結(jié)論4：

驗(yàn)證的方法仍是解方程組法.

設(shè)計(jì)意圖：進(jìn)一步讓學(xué)生感悟某些特殊圓與橢圓的內(nèi)在關(guān)系，為后續(xù)探究作好鋪墊.第二階段整個(gè)設(shè)計(jì)是個(gè)生成性設(shè)計(jì)，主要為學(xué)生創(chuàng)設(shè)了研討交流的平臺.引導(dǎo)學(xué)生利用現(xiàn)代教育技術(shù)手段自行獲取有關(guān)知識，鼓勵(lì)學(xué)生大膽地用直覺去尋找解決問題策略.預(yù)期效果是學(xué)生順利完成4個(gè)問題解答.

第三階段：深入探究——解決問題

驗(yàn)證方法同上，只不過要注意到，由PA⊥PB知，OAPB是正方形，|PO|=

設(shè)計(jì)意圖：其一是讓學(xué)生能自主發(fā)現(xiàn)類似于上述的結(jié)論，其二是通過深入的觀察、分析，培養(yǎng)學(xué)生猜想驗(yàn)證能力及聯(lián)想挖掘能力，不斷地滲透分類討論的思想.在此過程中學(xué)生可能出現(xiàn)困難，必要時(shí)教師可從觀念和方法的高度激活學(xué)生的思維，幫助學(xué)生選擇解決問題的思維策略和模式，尋找問題解決的入口處，整個(gè)探究過程教師應(yīng)及時(shí)調(diào)控，驗(yàn)證要詳略得當(dāng)，必要時(shí)可留給學(xué)生課外練習(xí).預(yù)期效果是學(xué)生在教師的引導(dǎo)下順利解答問題5、6.

第四階段：聯(lián)想變形——擴(kuò)大戰(zhàn)果

本教學(xué)設(shè)計(jì)使用多媒體課件，引導(dǎo)學(xué)生參與數(shù)學(xué)探究，是學(xué)科內(nèi)研究性教學(xué)的一次有益嘗試，學(xué)生在探究的過程中，不僅學(xué)到數(shù)學(xué)知識以及蘊(yùn)涵其中的數(shù)學(xué)思想方法，更重要的是體驗(yàn)了數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在聯(lián)系和內(nèi)在美，領(lǐng)悟了數(shù)學(xué)探究的基本方法.

1.羅東榮.橢圓與離心率相關(guān)的幾類最值［J］.數(shù)學(xué)通訊，2012，10.

2.屠新民.關(guān)于曲線的離心率［J］.數(shù)學(xué)通訊，2014，3.

3.易文峰.例說橢圓離心率的背景探求.［J］數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2013，5.