☉江蘇省泰興市第二高級中學(xué) 毛玉峰

例談“絕對值三角不等式”的研究與拓展

☉江蘇省泰興市第二高級中學(xué) 毛玉峰

絕對值三角不等式是人教版選修4-5中的重要內(nèi)容之一，它是求解含有多個(gè)絕對值符號(hào)的函數(shù)最值問題最有力的解題工具.在近幾年的高考與競賽中，含有多個(gè)絕對值符號(hào)的函數(shù)最值問題已是屢見不鮮.學(xué)生遇到這樣的問題，往往都是通過分類討論，分段求最值來處理，運(yùn)算繁雜且很容易出錯(cuò).“絕對值三角不等式”中蘊(yùn)含了拆項(xiàng)、添項(xiàng)、配湊等數(shù)學(xué)方法，如果考生能夠熟練掌握、靈活應(yīng)用，在解題時(shí)就能達(dá)到事半功倍的效果，下面舉例來進(jìn)行說明.

一、定理展示

定理：如果a，b都是實(shí)數(shù)，那么|a+b|≤|a|+|b|，當(dāng)且僅當(dāng)ab≥0時(shí)，等號(hào)成立.

把定理中的實(shí)數(shù)換成向量a，b，結(jié)論依舊成立，它的幾何意義是三角形兩邊之和大于第三邊，等號(hào)成立的條件是a，b同向.由于定理與三角形之間的這種聯(lián)系，我們稱其中的不等式為絕對值三角不等式.

二、推廣拓展

在處理具體問題時(shí)，僅靠上述定理是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，多數(shù)情況要用它的推廣拓展：

結(jié)論1：?a，b∈R，則|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|.（右邊“=”成立?ab≥0，左邊“=”成立?（a+b）b≤0）

結(jié)論2：?a，b∈R，則|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|.（右邊“=”成立?ab≤0，左邊“=”成立?（a-b）b≥0）

結(jié)論3：?a，b∈R，則||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|.（右邊“=”成立?ab≥0，左邊“=”成立?ab≤0）

結(jié)論4：?a，b∈R，則||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|.（右邊“=”成立?ab≤0，左邊“=”成立?ab≥0）

結(jié)論5：（1）設(shè)x1≤x2≤…≤x2m，m∈N*，則當(dāng)x∈（xm，xm+）1時(shí)|x-xi|取得最小值；

結(jié)論6：設(shè)x1≤x2≤…≤xn，n∈N*且n＞1，則

結(jié)論7：（1）設(shè)x1＜x2，m，n∈N*且n≥m，則當(dāng)x=x1時(shí)，n|x-x1|+m|x-x2|取得最小值；

（2）設(shè)x1＜x2，m，n∈N*且n≤m，則當(dāng)x=x2時(shí)，n|x-x1|+ m|x-x2|取得最小值.

三、研究與應(yīng)用

（一）求最值或證明題

例1已知函數(shù)f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），記M（a，b）是|f（x）|在區(qū)間［-1，1］上的最大值.

（1）證明：當(dāng)|a|≥2時(shí)，M（a，b）≥2；

（2）當(dāng)a，b滿足M（a，b）≥2，求|a|+|b|的最大值.

此題是浙江的一道高考壓軸題，方法很多，此處以絕對值三角不等式解決，以顯其威力之大.

所以M（a，b）=max｛|f（-1）|，|f（1）|｝.

（1）從絕對值本身入手，在含絕對值問題的本身、本質(zhì)、幾何意義等處下工夫.

證法1：利用|x|≤a?-a≤x≤a（a＞0）去絕對值，

因?yàn)镸（a，b）=max｛|f（-1）|，|f（1）|｝，

所以M（a，b）≥|f（1）|=|1+a+b|，

M（a，b）≥|f（-1）|=|1-a+b|，

兩式相加得-2M（a，b）≤2a≤2M（a，b），

故M（a，b）≥|a|≥2.

證法2：利用絕對值三角不等式|a|+|b|≥|a±b|進(jìn)行放縮解決問題.

因?yàn)镸（a，b）=max｛|f（-1）|，|f（1）|｝

=max｛|1-a+b|，|1+a+b|｝

所以當(dāng)|a|≥2時(shí)，M（a，b）≥2.

（2）從（1）的方法中可選擇“從絕對值本身入手，在含絕對值問題的本身、本質(zhì)、幾何意義等處下工夫”.

方法1：從絕對值三角不等式|a|+|b|≥|a±b|入手，進(jìn)行巧解.

所以|a|+|b|max=3，當(dāng)a=±2，b=-1時(shí)取等號(hào).

方法2：因?yàn)镸（a，b）≤2，又M（a，b）=max｛|f（-1）|，|f（1）|｝=max｛|1-a+b|，|1+a+b|｝≤2，

故M（a，b）=|1+b|+|a|≤2.

因?yàn)閨1+b|+|a|≥|b|+|a|-1，所以|b|+|a|≤3.

所以|a|+|b|max=3，經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)a=2，b=-1時(shí)能取到等號(hào).

≥|x-1|+|x-19|+|x-2|+|x-18|+…+|x-9|+|x-11|+|x-10|

≥|（x-1）-（x-19）|+|（x-2）-（x-18）|+…+|（x-9）-（x-11）|+|x-10|

≥18+16+…+2+0=90，

當(dāng)且僅當(dāng)（x-1）（x-19）≤0且（x-2）（x-18）≤0且…且（x-9）（x-11）≤0且x=10，即x=10時(shí)，等號(hào)成立.

故f（x）的最小值為90.

（二）存在性問題

例3關(guān)于x的不等式|a|≥|x+1|+|x-2|，若存在實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.

解：只需（|x+1|+|x-2|）min≤|a|即可，利用結(jié)論可知，

3=|（x+1）-（x-2）|≤|x+1|+|x-2|.

由|a|≥3，解得a∈（-∞，-3］∪［3，+∞）.

（三）恒成立問題

解：依2|x|+|x-2|+2|x-1|＞2m恒成立，

可令y=2|x|+2|x-1|+|x-2|=|x|+|x|+|x-1|+|x-1|+|x-2|，

min

（四）求方程根的個(gè)數(shù)等問題

（五）解決不等式問題

例7解不等式：|2x+1|-|x-2|＜|x+3|.

解：原不等式等價(jià)于|2x+1|＜|x-2|+|x+3|，又因?yàn)?x+ 1=（x-2）+（x+3），

所以|（x-2）+（x+3）|＜|x-2|+|x+3|，即（x-2）（x+3）＜0．

所以原不等式解集為｛x|-3＜x＜2｝.

（六）已知最值求參數(shù)的值

例8若函數(shù)f（x）=|x+1|+|2x+a|的最小值為3，則實(shí)數(shù)a的值為_________.

例9已知a＞0，b＞0，c＞0，函數(shù)f（x）=|x+a|+|x-b|+c的最小值為4，求a+b+c的值.

解析：f（x）=|x+a|+|x-b|+c≥|（x+a）-（x-b）|+c=|a+b|+ c，當(dāng)且僅當(dāng)-a≤x≤b時(shí)，等號(hào)成立

又a＞0，b＞0，所以|a+b|=a+b，所以f（x）的最小值為a+ b+c，所以a+b+c=4.

總之，高考數(shù)學(xué)命題遵循考試大綱和課標(biāo)，體現(xiàn)“基礎(chǔ)知識(shí)全面考，主干內(nèi)容重點(diǎn)考，熱點(diǎn)知識(shí)反復(fù)考，冷門知識(shí)有時(shí)考”的命題原則.從解答策略上來說，高考一般淡化解題中的特殊技巧，比較注重在解題的通性通法上精心設(shè)計(jì).但是認(rèn)真分析近幾年的高考試題，我們不難發(fā)現(xiàn)，由很多難點(diǎn)問題既可以用“通性通法”解決，但同時(shí)有的時(shí)候卻不行.因此，在平時(shí)學(xué)習(xí)中，有必要適當(dāng)掌握更多的方法和技巧，只有這樣，才能真正在高考中做到處變不驚，游刃有余.絕對值三角不等式是一個(gè)重要的不等式，對于含有絕對值的函數(shù)求最值問題，應(yīng)優(yōu)先考慮此不等式，當(dāng)然有時(shí)候需要適當(dāng)變形，同時(shí)要特別注意等號(hào)成立的條件.