王 帆，吳紅林

(1.林同棪國(guó)際工程咨詢(xún)(中國(guó))有限公司，重慶 401121；2.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 交通科學(xué)與工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150090)

橫梁效應(yīng)對(duì)車(chē)-橋耦合振動(dòng)的影響研究*

王 帆1，吳紅林2

(1.林同棪國(guó)際工程咨詢(xún)(中國(guó))有限公司，重慶 401121；2.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 交通科學(xué)與工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150090)

提出了由橫梁效應(yīng)引起的附加不平整度的簡(jiǎn)化計(jì)算模型，給出了考慮橫梁效應(yīng)的車(chē)-橋耦合振動(dòng)問(wèn)題求解方法，解決了模態(tài)綜合法因采用截?cái)嗄B(tài)無(wú)法反映橋梁結(jié)構(gòu)如橫梁、橋面板等局部構(gòu)件振動(dòng)情況的問(wèn)題，并通過(guò)算例對(duì)橫梁效應(yīng)考慮與否進(jìn)行了對(duì)比分析，同時(shí)引入描述橫梁效應(yīng)橋面系剛度變化幅度的無(wú)量綱參數(shù)γ，研究了其對(duì)考慮車(chē)-橋耦合振動(dòng)的影響。研究結(jié)果表明：橫梁效應(yīng)與車(chē)-橋振動(dòng)系統(tǒng)存在耦合關(guān)系，其效應(yīng)值隨參數(shù)γ增加而增加，呈高次變化規(guī)律。

橋梁工程；車(chē)-橋耦合振動(dòng)；橫梁效應(yīng)；附加不平整度；模態(tài)綜合法；彈性支承剛度

0 引 言

近一個(gè)世紀(jì)以來(lái)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)橋梁在車(chē)輛移動(dòng)荷載作用下的車(chē)橋耦合振動(dòng)問(wèn)題進(jìn)行了大量研究工作[1-2]。大量事實(shí)表明，即使車(chē)-橋系統(tǒng)不受任何外力作用，系統(tǒng)仍然會(huì)發(fā)生強(qiáng)烈的振動(dòng)，這是因?yàn)檐?chē)-橋耦合系統(tǒng)存在橋面不平整度等內(nèi)部激擾因素，使得車(chē)-橋耦合系統(tǒng)具有自激性[3]。為保證車(chē)橋耦合振動(dòng)分析的準(zhǔn)確性，則需考慮橋面平整度的影響。目前不平整度對(duì)車(chē)橋耦合振動(dòng)響應(yīng)的影響研究均是針對(duì)路面鋪裝不平整狀況開(kāi)展的，采用功率譜密度函數(shù)模擬橋面不平整度序列[4-5]。

由于橋面板支撐剛度沿長(zhǎng)度方向是不斷變化的，導(dǎo)致車(chē)輛在行駛過(guò)程中使得橋面的豎向撓度不斷變化，形成了附加不平整度。作為一種內(nèi)部激擾因素影響車(chē)-橋耦合系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)，即為橫梁效應(yīng)[6]。筆者對(duì)其進(jìn)行了分析，提出了考慮橫梁效應(yīng)的車(chē)-橋耦合振動(dòng)求解方法，并研究了橫梁效應(yīng)的影響參數(shù)。

1 車(chē)-橋系統(tǒng)耦合振動(dòng)方程

1.1 橋梁振動(dòng)模型

橋梁結(jié)構(gòu)振動(dòng)是多自由度體系的復(fù)雜振動(dòng)問(wèn)題，一般可采用模態(tài)綜合法，把橋梁相互耦合的各個(gè)自由度振動(dòng)方程轉(zhuǎn)化為一組具有相同自由度的非耦合的振動(dòng)方程，用解耦后的模態(tài)信息描述橋梁結(jié)構(gòu)的振動(dòng)，以減少自由度數(shù)量，提高計(jì)算效率。橋梁振動(dòng)方程為

(1)

1.2 車(chē)輛振動(dòng)模型

車(chē)輛的振動(dòng)同樣是多自由度的振動(dòng)問(wèn)題，但考慮到車(chē)輛豎向和橫向振動(dòng)之間僅存在弱耦合作用，且橫向振動(dòng)相對(duì)豎向振動(dòng)很小，通常采用7自由度模型描述車(chē)輛的振動(dòng)。

圖1 車(chē)輛模型Fig. 1 Vehicle model

通過(guò)達(dá)朗貝爾原理、拉格朗日方程或剛度集裝等方法，可以得到車(chē)輛子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程為

(2)

1.3 耦合關(guān)系

上述橋梁和車(chē)輛振動(dòng)模型通過(guò)接觸點(diǎn)耦合關(guān)系聯(lián)系起來(lái)，車(chē)-橋耦合振動(dòng)動(dòng)力響應(yīng)求解的關(guān)鍵在于接觸點(diǎn)耦合關(guān)系的確定。車(chē)-橋系統(tǒng)的耦合關(guān)系主要是接觸點(diǎn)的位移協(xié)調(diào)關(guān)系和耦合作用力平衡關(guān)系[7]。

接觸點(diǎn)耦合自由度的位移za包括橋梁接觸點(diǎn)的豎向撓度z(x,t)=∑ψiqi和路面不平整度值r，即為

(3)

耦合作用力是一對(duì)相互作用力，但兩者并不是相等的，其作用值與車(chē)輛振動(dòng)狀態(tài)、橋梁振動(dòng)狀態(tài)、車(chē)輛位置、橋面不平整度、行車(chē)速度都有關(guān)。橋梁對(duì)車(chē)輛的作用力為

(4)

車(chē)輛作用在橋梁上的力為

(5)

式中：G為車(chē)輛重量；C′，K′分別為耦合系數(shù)矩陣。

2 橫梁效應(yīng)

對(duì)于典型縱橫梁體系的橋面系而言，由于橫梁和橋面板在車(chē)輛荷載作用下均存在豎向變形，而且變形量隨橋面位置的不同而不同，橋面系呈現(xiàn)出不同的支承剛度，如圖2。

圖2 橋面板變形示意Fig. 2 Schematic of deck deformation

而模態(tài)綜合法求解車(chē)-橋系統(tǒng)耦合振動(dòng)響應(yīng)時(shí)一般采用截?cái)嗄B(tài)，即采用較少的低階模態(tài)便可較好地反應(yīng)橋梁振動(dòng)情況[8]，但對(duì)于橋梁結(jié)構(gòu)，低階模態(tài)一般為結(jié)構(gòu)整體面內(nèi)、面外或扭轉(zhuǎn)模態(tài)，不能反應(yīng)上述橫梁、橋面板等局部變形引起的振動(dòng)情況。因此，為更精確地計(jì)算車(chē)橋耦合振動(dòng)動(dòng)力響應(yīng)，應(yīng)將橫梁及橋面板的豎向變形作為附加不平整度，計(jì)入車(chē)-橋系統(tǒng)接觸點(diǎn)耦合自由度中。

顯然，這種附加不平整度由橫梁變形和橋面板變形兩部分組成，如圖3。

接觸點(diǎn)豎向撓度即附加不平整度Δ為

Δ=(1-λ)Δhi+λΔhj+Δb

(6)

式中：λ=x/D為車(chē)輛相對(duì)位置，D為橫梁間距；Δhi，Δhj分別為橫梁i，j的豎向變形；Δb為橋面板豎向變形。

圖3 附加不平整度計(jì)算示意Fig. 3 Additional roughness computation

假設(shè)橫梁剛度均為彈性支承剛度即k0，橋面板截面剛度為EI，單位力作用下兩橫梁間接觸點(diǎn)任意位置豎向撓度Δ(λ)可以通過(guò)結(jié)構(gòu)力學(xué)求得

(7)

橋面系剛度k(λ)為

(8)

上述橋面系剛度k(λ)解析式十分復(fù)雜，且受控于橫梁彈性支承剛度k0，而k0因結(jié)構(gòu)體系、橫梁位置、橫梁截面抗彎剛度的不同而不同,難以得到解析式。考慮到系數(shù)λ2+(1-λ)2和λ2(1-λ)2在λ∈[0,1]范圍內(nèi)均與余弦函數(shù)形狀類(lèi)似，且一般橋梁結(jié)構(gòu)橫梁間距遠(yuǎn)小于橋梁跨度，每?jī)蓚€(gè)橫梁之間呈現(xiàn)出相同的彈性剛度變化規(guī)律，因此，用余弦函數(shù)來(lái)近似模擬全橋橋面系剛度是十分合適的。將橋面系等效成變剛度彈性層，則

k(x)=k1+k2cos2πx/D

(9)

式中：k1=(kmax+kmin)/2;k2=(kmax-kmin)/2。

圖4 等效彈性層Fig. 4 Equivalent elastic layer

顯然，當(dāng)車(chē)輛行駛在橫梁上時(shí)支承剛度最大，行駛在兩橫梁跨度中間時(shí)支承剛度最小，可通過(guò)有限元分析軟件求解對(duì)應(yīng)的等效剛度kmax和kmin，如圖5(a)，板跨中作用單位荷載時(shí)作用點(diǎn)靜撓度為δmin，如圖5(b)，橫梁中心作用單位荷載時(shí)作用點(diǎn)靜撓度為δmax,則kmax=1/δmin，kmin=1/δmax。

圖5 等效剛度計(jì)算示意Fig. 5 Calculation diagram of equivalent stiffness

那么，橋面板由于橫梁效應(yīng)引起的附加不平整度即為

(10)

可以看出，橫梁效應(yīng)引起的附加不平整度與路面隨機(jī)不平整度不同的是，它與車(chē)橋系統(tǒng)存在耦合關(guān)系，附加不平整度值除了與橋面系等效支承剛度有關(guān)，同時(shí)還受車(chē)橋系統(tǒng)振動(dòng)本身的影響。

將上述橫梁效應(yīng)引起的附加不平整度Δ迭加到接觸點(diǎn)耦合自由度中：

(11)

將其代入車(chē)-橋系統(tǒng)耦合振動(dòng)方程中進(jìn)行分離迭代求解，即為考慮橫梁效應(yīng)后的車(chē)-橋耦合振動(dòng)動(dòng)力響應(yīng)。

3 算 例

跨度為20 m的簡(jiǎn)支板梁橋，雙縱梁之間間距為8 m，全橋每5 m設(shè)置共5道橫隔梁，縱梁與橫梁均為C50混凝土0.5 m×1.6 m矩形實(shí)心截面，橋面板為20 cm厚C50鋼筋混凝土板，如圖6。車(chē)輛采用文獻(xiàn)[9]的計(jì)算模型，車(chē)體質(zhì)量為57 500 kg，車(chē)體彈簧剛度為1 595 kN/m，行車(chē)速度為20 m/s，車(chē)輛沿橋梁中心線行駛。圖7為橋面跨中A點(diǎn)的動(dòng)力響應(yīng)時(shí)程曲線。由圖7可以看出，橫梁效應(yīng)對(duì)車(chē)橋耦合振動(dòng)分析有較為顯著的影響，不考慮橫梁效應(yīng)時(shí)跨中截面最大豎向撓度為8.4 mm，而考慮橫梁效應(yīng)后，最大豎向撓度達(dá)到了9.2 mm，增加了9.5%。

圖6 結(jié)構(gòu)示意Fig. 6 Structure

圖7 跨中撓度時(shí)程曲線Fig. 7 Time-history curve of the middle span deflection

4 橫梁效應(yīng)影響參數(shù)分析

橫梁效應(yīng)是因?yàn)闃蛎姘逯蝿偠鹊淖兓鸬?，顯然其效應(yīng)與剛度變化的幅度有直接關(guān)系。引入無(wú)量綱參數(shù)γ：

(12)

考慮和不考慮橫梁效應(yīng)的車(chē)橋耦合振動(dòng)動(dòng)撓度影響參數(shù)η：

改變前文數(shù)值實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ椭袠蛎姘搴?，分別取35，30，25，20，15 cm，使得參數(shù)γ在0.53～0.90范圍內(nèi)變化，影響參數(shù)η隨剛度比參數(shù)γ的變化規(guī)律如圖8。

圖8 參數(shù)γ的影響規(guī)律Fig. 8 Influence law of parameter γ

由圖8可以看出，橫梁效應(yīng)隨剛度比γ的增大而增大，呈高次變化趨勢(shì)；當(dāng)γ<0.6時(shí)橫梁效應(yīng)影響參數(shù)η<2，此時(shí)橫梁效應(yīng)并不明顯，此時(shí)計(jì)算車(chē)-橋系統(tǒng)耦合振動(dòng)時(shí)可不計(jì)入橫梁效應(yīng)引起的附加不平整度。

5 結(jié) 論

筆者指出了在求解車(chē)橋耦合振動(dòng)響應(yīng)時(shí)，應(yīng)將橫梁效應(yīng)作為自激擾因素考慮到車(chē)-橋振動(dòng)系統(tǒng)中，提出了橫梁效應(yīng)引起的不平整度的簡(jiǎn)化計(jì)算模型，給出了考慮橫梁效應(yīng)的車(chē)-橋系統(tǒng)耦合振動(dòng)求解方法，并通過(guò)算例進(jìn)行了分析，得到了如下結(jié)論：

1)橫梁效應(yīng)實(shí)際上是由于橋面板剛度的變化所引起的附加橋面不平整度，這種附加不平整度是與車(chē)-橋系統(tǒng)振動(dòng)耦合在一起的，求解時(shí)在每個(gè)時(shí)程點(diǎn)上需進(jìn)行迭代計(jì)算。

2)橫梁效應(yīng)計(jì)算時(shí)可將橋面系等效成變剛度彈性層，其剛度變化規(guī)律與余弦函數(shù)類(lèi)似，可采用式(9)近似模擬。

3)參數(shù)γ是影響橫梁效應(yīng)的重要因素，通過(guò)對(duì)5個(gè)不同的γ值的車(chē)-橋耦合振動(dòng)動(dòng)力響應(yīng)進(jìn)行計(jì)算，得出橫梁效應(yīng)隨γ的增大而不斷增大，呈高次變化趨勢(shì)。

4)當(dāng)γ<0.6時(shí)橫梁效應(yīng)并不明顯，此時(shí)車(chē)-橋系統(tǒng)耦合振動(dòng)可不計(jì)入橫梁效應(yīng)。

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(責(zé)任編輯：譚緒凱)

Influence of Crossbeam Effect on Vehicle-Bridge Coupled Vibration

WANG Fan1, WU Honglin2

(1. T. Y. Lin International Engineering Consulting (China) Co. Ltd., Chongqing 401121, P. R. China; 2. School of Communication Science & Engineering, Harbin Institute of Technology, Harbin 150090, Heilongjiang, P. R. China)

The simplified calculation model of additional roughness caused by crossbeam effect was proposed; the solution method for the vehicle-bridge coupled vibration considering the crossbeam effect was given. The problem that the modal synthesis method using truncated mode can’t reflect the vibration of bridge structures such as crossbeam and deck was solved. And different results considering the crossbeam effect or not were comprised and analyzed by case study. The non-dimensional parameterγdescribing the change aptitude of deck system’s elastically supporting stiffness was introduced at the same time, and its influence on the vehicle-bridge coupled vibration was also studied. The results show that crossbeam effect is coupled with the vehicle-bridge vibration system, and its effect value increases with the increase of parameter γ according to high order.

bridge engineering; vehicle-bridge coupled vibration; crossbeam effect; additional roughness; modal synthesis method; elastically supporting stiffness

10.3969/j.issn.1674-0696.2017.04.02

2016-02-17；

2016-10-15

王 帆(1987—)，男，四川廣安人，工程師，主要從事橋梁設(shè)計(jì)及橋梁動(dòng)力特性方面的研究。E-mail：wangfan@tylin.com.cn。

U441+.3;O319.56

A

1674-0696(2017)04-007-05