林玨杏

一、問(wèn)題的提出

2016年高考全國(guó)卷23題如下：

（選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程）在坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為x=acost，y=1+asint， （t為參數(shù)，a>0），在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2：ρ=4cosθ.

（Ⅰ）說(shuō)明C1是哪一種曲線，并將C1的方程化為極坐標(biāo)方程；

（Ⅱ）直線C3的極坐標(biāo)方程為θ=α0，其中滿足tanα0=2，若曲線C1與C2的公共點(diǎn)都在C3上，求a.

筆者參加了今年的高考評(píng)卷工作.據(jù)筆者調(diào)查，相當(dāng)多的文科考生認(rèn)為這道題“不好做”，第一問(wèn)“還可以”，第二問(wèn)“看不懂”，“很難算”.筆者認(rèn)為，“注重概念，綿里藏針”是這道題的顯著特點(diǎn)，盡管題目的表述給人的感覺(jué)很平和，但要想徹底解決它，需要有點(diǎn)真功夫才行.來(lái)自閱卷現(xiàn)場(chǎng)的數(shù)據(jù)也說(shuō)明了這一點(diǎn)：該題全省文科平均分4.2分，理科平均分6.7分（滿分10分），文科的難度系數(shù)為0.42，理科的難度系數(shù)為0.67.在高考數(shù)學(xué)的六道大題中，這道題的難度相對(duì)較小，原本以為可以拿高分，這樣的得分結(jié)果，遠(yuǎn)低于命題預(yù)期.

學(xué)生的答卷暴露出哪些問(wèn)題？對(duì)極坐標(biāo)與參數(shù)方程的課堂教學(xué)有什么啟示？筆者對(duì)此進(jìn)行了初步的分析與思考.

二、典型錯(cuò)誤及解題分析

1.典型錯(cuò)誤一：沒(méi)有判斷C1的曲線類型或判斷錯(cuò)誤.

例如，有的考生這樣作答：“∵C1的參數(shù)方程為x=acost，y=1+asint （t為參數(shù)，a>0），∴C1是橢圓”，或者“曲線C1是過(guò)定點(diǎn)（0，1），斜率為tant的直線（t為參數(shù)），y-1x=tant”，或者“曲線C1為圓錐曲線”“曲線C1為拋物線”“曲線C1為雙曲線”.

原因分析：這樣作答的考生沒(méi)有把握概念的本質(zhì)特征，不理解圓的參數(shù)方程這個(gè)概念，辨別不清鄰近的數(shù)學(xué)概念，混淆了圓的參數(shù)方程與橢圓的參數(shù)方程、直線的參數(shù)方程，把常數(shù)a當(dāng)作參數(shù)，把圓的參數(shù)方程當(dāng)成了直線的參數(shù)方程，消去的是常數(shù)a而不是參數(shù)t，導(dǎo)致參數(shù)方程化為普通方程時(shí)化錯(cuò).

2.典型錯(cuò)誤二：沒(méi)有化曲線C1的參數(shù)方程為直角坐標(biāo)方程或化錯(cuò).

有的考生這樣作答：“由x=accost，y=1+asint，得x2=acos2t，y2=1+asin2t，x2+y2=1+2a”，或者“x2=cos2t，（y-1）2=sin2t”.

原因分析：這樣作答的考生沒(méi)有掌握運(yùn)算化簡(jiǎn)的算理cost=xa，sint=y-1a，cos2t+sin2t=1.

不知道如何消去參數(shù)，運(yùn)算求解能力低下.

3.典型錯(cuò)誤三：沒(méi)有對(duì)常數(shù)項(xiàng)a進(jìn)行平方.

“曲線C1的直角坐標(biāo)方程為x2+（y-1）2=a，（ρcosθ）2+（ρsinθ-1）2=a，ρ2-2ρsinθ+1-a=0”，a少了平方，由此一路往下一直到第二問(wèn)，總是錯(cuò)在同一個(gè)地方，導(dǎo)致嚴(yán)重失分.

原因分析：這一類考生由于粗心導(dǎo)致計(jì)算錯(cuò)誤，運(yùn)算求解能力低下，基礎(chǔ)訓(xùn)練不充分.

4.典型錯(cuò)誤四：沒(méi)有求解曲線C1的極坐標(biāo)方程.

有的考生判斷了曲線C1的類型，求出了C1的普通方程后，還沒(méi)有求曲線C1的極坐標(biāo)方程，尚未得到題目需要的結(jié)果，就直接跳到第二問(wèn)進(jìn)行作答.

原因分析：這一類考生或者審題不清，漏看題目的要求，沒(méi)有看清第一問(wèn)有兩個(gè)考點(diǎn)；或看清了題目的要求，但不清楚極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程這兩個(gè)概念，或者沒(méi)有掌握轉(zhuǎn)化的算理x=ρcosθ，y=ρsinθ，不知道該如何把直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程.

5.典型錯(cuò)誤五：沒(méi)有充分化簡(jiǎn)曲線C1的極坐標(biāo)方程或化錯(cuò).

例如，有的考生化簡(jiǎn)的最終結(jié)果是“ρ2cos2θ+（ρsinθ-1）2=a2”，或者“ρ2-ρsinθ-1-a2=0”或者“ρcos2θ+ρsin2θ-2ρsinθ+1-a2=0”.

原因分析：這一類考生不明確化簡(jiǎn)要達(dá)到什么程度，或者是平時(shí)的教學(xué)中教師沒(méi)有做出明確的要求，或者是教師提出了要求而考生沒(méi)有留意，或者是盡管留意了但是不會(huì)平方差公式導(dǎo)致無(wú)法展開(kāi)（ρsinθ-1）2，或者移項(xiàng)后沒(méi)有變號(hào)，或者不記得cos2θ+sin2θ=1.

6.典型錯(cuò)誤六：沒(méi)有討論極徑ρ的取值范圍.

例如，有的考生所下結(jié)論為：“曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ=2ρsinθ+1-a2ρ”.

原因分析：這一類考生對(duì)極坐標(biāo)的定義理解不透，考慮問(wèn)題不全面，不明確極徑ρ的取值范圍.他們沒(méi)想到“ρ=2ρsinθ+1-a2ρ”中的ρ出現(xiàn)在分母，不能取0，與正確答案ρ2-2ρsinθ+1-a2=0相比，ρ的取值范圍中缺少了0，曲線C1對(duì)應(yīng)的圖形少了一個(gè)點(diǎn)（0，0）.

7.典型錯(cuò)誤七：沒(méi)有得到曲線C3的直角坐標(biāo)方程y=2x.

原因分析：這一類考生不清楚經(jīng)過(guò)極點(diǎn)的直線的極坐標(biāo)方程為θ=α0，對(duì)應(yīng)直角坐標(biāo)系中經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線，或者忘記了斜率的概念，斜率k=tanα0=2，求不出對(duì)應(yīng)的方程y=2x.

三、教學(xué)思考

1.概念教學(xué)時(shí)，讓學(xué)生明確概念的來(lái)龍去脈，讓學(xué)生感受知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程，悟透概念的本質(zhì)，尤其是圓的參數(shù)方程的概念.上文中提到的錯(cuò)誤一、錯(cuò)誤四、錯(cuò)誤六和錯(cuò)誤七與概念有關(guān).

2.結(jié)合教材《選修4-4坐標(biāo)系與參數(shù)方程》第23頁(yè)圓的參數(shù)方程的概念，進(jìn)行調(diào)整并且對(duì)概念進(jìn)行拓展外延.例如，這樣調(diào)整：

設(shè)圓O的半徑是r，點(diǎn)M（x，y）從初始位置M0出發(fā)，按逆時(shí)針?lè)较蛟趫AO上作勻速直線圓周運(yùn)動(dòng)，OM0繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到OM的位置時(shí)，OM0轉(zhuǎn)過(guò)的角度為變數(shù)t，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OM0所在的直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系.過(guò)點(diǎn)M向x軸作垂線，交x軸于點(diǎn)D，三角形OMD為直角三角形.OD=x=rcost，MD=y=rsint，所以x=rcost，y=rsint （t為參數(shù)），t的取值范圍由旋轉(zhuǎn)的角度大小而定.

例如，當(dāng)t=π2時(shí)，點(diǎn)M落在y軸上；當(dāng)t大于0而小于2π時(shí)，表示的圖形是扇形的??；當(dāng)t大于等于0且小于等于π2時(shí)，表示的圖形是圓心角為π2的扇形的弧；當(dāng)t大于等于0且小于2π時(shí)，表示的圖形是一個(gè)圓.

歸納拓展：圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)（0，0），半徑為r的圓的參數(shù)方程可表示為x=rcost，y=rsint （t為參數(shù)）；

圓心在（x0，y0），半徑為r的圓的參數(shù)方程可表示為x=x0+rcost，y=y0+rsint （t為參數(shù)）.

3.解題教學(xué)時(shí)，展示算理，詳細(xì)展示具體的運(yùn)算求解過(guò)程.

4.由教師進(jìn)行點(diǎn)撥，師生一起根據(jù)解題過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行解題回顧與反思，并進(jìn)行方法的提煉與領(lǐng)悟.

例1已知曲線C1：x=-4+cost，y=3+sint （t為參數(shù)），C2：x=8cosθ，y=-2+8sinθ （θ為參數(shù)），C3：x=3+2t，y=-2+t （t為參數(shù)），C4：x=1+s，y=1-s （s為參數(shù)）.

（1）化C1，C2的方程為普通方程，并說(shuō)明它們分別表示什么曲線；

（2）化C3，C4的方程為普通方程.

解（1）平方和消參法：由曲線C1：x=-4+cost，y=3+sint， 得cost=x+4，sint=y-3，因?yàn)閏os2t+sin2t=1，所以（x+4）2+（y-3）3=1，曲線C1是圓；

由C2：x=8cosθ，y=-2+8sinθ （θ為參數(shù)），得cosθ=x8，sinθ=y+28，因?yàn)閏os2θ+sin2θ=1，所以x82+y+282=1，即x2+（y+2）2=64，曲線C2是圓.

歸納點(diǎn)撥：對(duì)比C1與C2的參數(shù)方程，發(fā)現(xiàn)兩個(gè)方程中，一個(gè)方程的參數(shù)用t來(lái)表示，另一個(gè)方程的參數(shù)用θ來(lái)表示，但它們代表的曲線都是圓，說(shuō)明代表變量的參數(shù)與所用的字母無(wú)關(guān).

（2）代入消參法：C3：x=3+2t，y=-2+t （t為參數(shù)），由y=-2+t得t=y+2，

代入x=3+2t得x=3+2（y+2），C3的普通方程為x-2y-7=0.

加減消參法：因?yàn)镃4：x=1+s，y=1-s （s為參數(shù)），所以x+y=（1+s）+（1-s）=1，即x+y=1為C4的普通方程.

接著提出以下問(wèn)題，讓學(xué)生感悟解題規(guī)律：

判斷參數(shù)方程所表示的曲線類型的方法是什么？消去參數(shù)有什么方法？各種方法的特點(diǎn)是什么？如何選擇合理的方法？

歸納點(diǎn)撥：判斷參數(shù)方程所表示曲線的類型的方法是把參數(shù)方程化為熟悉的普通方程.把參數(shù)方程化為普通方程，需要根據(jù)其結(jié)構(gòu)特征，選取適當(dāng)?shù)南麉⒎椒?常用的消參方法有：代入消參法；加減消參法；平方和（差）消參法；乘法消參法等.

5.整合單元內(nèi)容時(shí)，對(duì)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行歸納整理，對(duì)概念進(jìn)行縱橫對(duì)比，區(qū)分概念的異同，使學(xué)生明確概念間的差異，悟透概念的內(nèi)在聯(lián)系.例如，

① 圓心在（x0，y0），半徑為r的圓的方程.

普通方程：（x-x0）2+（y-y0）2=r2；

參數(shù)方程：x=x0+rcost，y=y0+rsint （t為參數(shù)）；

極坐標(biāo)方程：（ρcosθ-x0）2+（ρsinθ-y0）2=r2或

ρ2-2ρx0cosθ-2ρy0sinθ+x20+y20-r2=0.

② 直線的參數(shù)方程為x=x0+tcosα，y=y0+tsinα （t為參數(shù)）（其中（x0，y0）為定點(diǎn)，α為直線的傾斜角）.

③ 橢圓x2a2+y2b2=1的參數(shù)方程為x=acosα，y=bsinα （α為參數(shù)）（a≠b）.

區(qū)別：圓的參數(shù)方程中，正、余弦的系數(shù)相同，正、余弦值是變化的；橢圓的參數(shù)方程中，正、余弦的系數(shù)不同，正、余弦值也是變化的；直線的參數(shù)方程中，正、余弦值是固定的常數(shù)，作為變量t的系數(shù)出現(xiàn).

6.結(jié)合常用三角公式，進(jìn)行綜合訓(xùn)練.

極坐標(biāo)與參數(shù)方程的內(nèi)容，常常和三角恒等變換的內(nèi)容一起出現(xiàn)，綜合性較強(qiáng).因此，在授課之前，有必要幫助學(xué)生復(fù)習(xí)三角恒等變換的相關(guān)公式，強(qiáng)化這些公式的記憶和運(yùn)用.比如，二倍角公式、輔助角公式、降冪公式、兩角和與差公式、平方和公式以及正切公式的商數(shù)關(guān)系等內(nèi)容，都需要引起高度重視.

總的來(lái)看，這道高考試題加大了對(duì)概念的考查力度，在把握概念的本質(zhì)屬性方面提出了較高的要求，反映出命題者對(duì)基礎(chǔ)的重視，反映了讓學(xué)生在解題之余重視基本概念的命題意圖.在考查基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，加大了同一模塊知識(shí)間的綜合力度，具有一定的綜合性，要想解得快、準(zhǔn)，考生必須對(duì)教材中的知識(shí)點(diǎn)清清楚楚，既不能有遺漏，也不能一知半解，否則，就會(huì)影響解題進(jìn)程，甚至得到錯(cuò)解.而高考是具有高度選拔性的考試，試題必然是在數(shù)學(xué)本質(zhì)的表層上戴上特別的飾品，這就要求學(xué)生掌握數(shù)學(xué)的本質(zhì)，抓住數(shù)學(xué)的精髓.在教學(xué)中如果只注重解題訓(xùn)練和類型歸納，忽視對(duì)概念的理解和把握，考生在考試時(shí)就會(huì)出現(xiàn)按圖索驥、機(jī)械解題，題型一變，就不能適應(yīng)，只好望題興嘆，本來(lái)不難的試題也解答不好.

【參考文獻(xiàn)】

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