江蘇省常熟市尚湖高級中學(215500) 余志峰 ●

題組復習，提高高三數(shù)學一輪復習效率

江蘇省常熟市尚湖高級中學(215500) 余志峰 ●

本文論述了在高三數(shù)學復習過程，如何進行題組復習，以提高復習效率．

高三數(shù)學;題組復習;復習效率

目前，在江蘇高中教學改革后，課時大量減少，而課堂作為教育教學的主陣地，我們數(shù)學老師應當向課堂要質(zhì)量，在課堂上引導學生自主學習、探索、反思和總結(jié)．但很多老師在高三復習時，總是按照知識內(nèi)容的順序把學生學過的概念、公式等知識重復一遍，然后就進行“題海戰(zhàn)術”．這種做法，使學生感到乏味，且不能提高復習效益．若能站在系統(tǒng)的高度，把學過的知識模塊化、整體化、問題化，精心編創(chuàng)題組，通過一題多問、一題多變、一題多解、多題一解，就會起到以點帶面，觸類旁通的復習效果．

一、一題多問

在學生一定的知識基礎上，可以將章節(jié)的知識融于一道題中，以一題多問的形式，引導學生在解決問題的過程中鞏固知識和方法，提升解題能力，可以收到較好的復習效果．

在高三一輪復習三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)時，我設計如下題組:

例1 已知函數(shù)f(x)=asin2ωx－b sin2ωx+c(a＞0，ω＞0)的周期為π，圖象經(jīng)過點(0，1)，且f(x)的最大值是2，最小值是－2．(1)求f(x)的表達式，并指出振幅、初相; (2)用五點法作出一個周期內(nèi)的圖象;(3)分別求出當f(x)取得最大值和最小值時相應的x的集合;(4)寫出對稱中心坐標和對稱軸方程;(5)求f(x)的單調(diào)區(qū)間(變:在［0，2π］上的單調(diào)區(qū)間);(6)說出f(x)的圖象可由 y= sinx的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到;(7)解不等式f(x)＞若射線y=2(x≥0)與f(x)的圖象交點的橫坐標由小到大依次為x1，x2，…，xn，…求的值，并求S=x1+x2+…+x10的值．(變:射線y=1(x≥0))

分析前六問可直接得到答案;第(7)問可利用函數(shù)單調(diào)性和數(shù)形結(jié)合來解不等式;第(8)問是解三角方程和數(shù)列相結(jié)合的一道題，其變式得到的是一個分段數(shù)列，綜合性較強．

在復習立體幾何時，我設計如下題組:

例2 如圖1，在四棱錐P－ABCD中，四邊形ABCD是梯形，AD∥BC，AD=2BC，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面ABCD，E、F分別是AD、PD的中點．(1)求證:CF∥平面PAB;(2)設AC、BD交于點O，試在PD上確定一點Q，使得OQ∥平面PAB;(3)求證:PA⊥平面ABCD;(4)點M是CD上一動點，試證:平面PAM⊥平面ABCD;(5)若平面PAB∩平面PCD=l，問:直線l能否與平面ABCD平行?請說明理由;(6)若AB=BC= 1，PA=2，求四棱錐P－ABCD的體積和表面積．

分析第(1)問可用線線平行或面面平行來證;第(2)問想證明OQ∥PB，先要確定點O的位置;第(3)問可由兩個面面垂直得到PA⊥AB，PA⊥AD;第(5)問是立體幾何中典型的用反證法解決的題目;第(6)問體積和表面積不難算得．通過這一題組，學生對立體幾何的知識和方法就有了一個整體性的把握和認識．

二、一題多變

在復習過程中，通過對例題的深入挖掘，加工改造，探索知識的內(nèi)在聯(lián)系，讓學生橫向聯(lián)想，發(fā)現(xiàn)解題的一般規(guī)律，解一題帶一片，鍛煉學生思維的靈活性、開放性和創(chuàng)造性，進而讓學生掌握蘊涵其中的數(shù)學思想方法．

在復習不等式、方程恒成立和有解時，我引入如下題組:

例3 (1)若不等式x2－2x+3+m＞0在［0，3］上恒成立，求m的取值范圍．(2)若不等式x2－2x+3+m≥0在［0，3］上恒成立，求m的取值范圍．(3)若不等式x2－2x+3+m＞0在(0，3)上恒成立，求m的取值范圍．(4)若不等式x2－2x+3+m＞0在［0，3］上有解，求m的取值范圍．(5)若方程x2－2x+3+m=0在［0，3］上有解，求m的取值范圍．(6)若方程x2－2x+3+m=0在［0，3］上無解，求m的取值范圍．(7)若方程x2－2x+3+m=0在［0，3］上有唯一解，求m的取值范圍．(8)若方程x2－2x+3+m =0在［0，3］上有兩解，求m的取值范圍及兩根之和．(9)若方程mx+3+n=0在［0，3］上恒成立，求m、n的值．

分析 這一整組題，很好地鍛煉了學生分離參數(shù)、函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合等思想方法，借助圖形幫助學生理清不等式恒成立和有解的區(qū)別和聯(lián)系，不等式有解和方程有解的區(qū)別和聯(lián)系．

在復習解析幾何里“距離之和最小”、“距離之差最大”問題上，我引入如下題組:

例4 在直線l:3x－y－1=0上求一點P，使得:(1)點P到A(4，1)和B(3，4)的距離之和最小;(2)點P到A (4，1)和C(0，4)的距離之差最大．

分析 例4主要是一個對稱問題．問距離之和最小時，通常要把兩點放到直線的異側(cè);問距離之差最大時，通常要把兩點放在直線的同側(cè)．例5先要判斷點A在雙曲線內(nèi)，雙曲線上的點P又要分在左支、右支上，求PA+ λPF2的最小值時，若λ=1，通常轉(zhuǎn)化為到另一焦點的距離;若，通常轉(zhuǎn)化為到相應準線的距離．

三、一題多解

數(shù)學復習離不開解題，解題不在于多，而在于精．精選典型問題，引導學生從不同角度觀察、聯(lián)想，探索多種解決問題的途徑，是數(shù)學復習的重要一環(huán)，這樣有利于學生從題海中解脫出來，通過解一題，通一片，提高一步，收到以少勝多，事半功倍的效果．

例6 已知a、b是平面內(nèi)兩個互相垂直的單位向量，若向量c滿足(a－c)·(b－c)=0，求的最大值．

分析 學生一般多能到這一步:c2－(a+b)·c=0，但以下錯誤很普遍:c=0或c=a+b．正確的思路有以下幾條:

思路2 坐標法

設a=(1，0)，b=(0，1)，c=(x，y)，則a－c=(1－x，－y)，b－c=(－x，1－y)，由(a－c)·(b－c)=0得(1－x)(－x)－y(1－y)=0，即x2+y2－x－y=0．問題轉(zhuǎn)化為求圓x2+y2－x－y=0上的點與原點的距離的最大值．

思路3 圖解法

分析 本題是三角函數(shù)和分式函數(shù)的復合，初次接觸本題大部分學生會感到束手無策，即使在高三一輪復習，情況也不會有太大改觀．下面給出幾條常用且能想到的思路．

思路1 導數(shù)法求單調(diào)性

思路2 利用三角函數(shù)的有界性

思路3 數(shù)形結(jié)合

精解一題，尋求多種解法，不僅能開拓思路，還能培養(yǎng)學習興趣和提高創(chuàng)新能力．這樣做并非鼓勵簡單的羅列多種解法，而要注意在解后反思哪種方法是最優(yōu)解法，最容易記住的方法，使能力在比較中形成與提高．通過一題多解的探索，既復習了知識，訓練了方法，又發(fā)展了學生的思維．

四、多題一解

多題一解，培養(yǎng)學生思維的廣闊性和變通性．從千變?nèi)f化中尋找共同性，形成系統(tǒng)性、靈活性、創(chuàng)新性的思維，也會使學生的思維空間在擴大中“縮小”，讓學生在層出不窮中進行比較、對比、分析，從而加深對知識的理解和掌握，獲得新知識、新方法、新體驗，把握解題規(guī)律．

在復習求二次函數(shù)在定區(qū)間上的最值或值域時，我引入以下題組:

例8 求解下列各題:(1)求函數(shù)y=－x2+4x－2，x∈［0，3］的值域．(2)求函數(shù)的值域．(3)設函數(shù)f(x)=log2(4x)·log2(2x)，，求f(x)的最值，并給出取最值時對應的 x的值．(4)求函數(shù) y= sinxcosx+sinx+cosx的最大值．(5)已知，求siny－cos2x的最大值與最小值．(6)若數(shù)列 {an}是等差數(shù)列，d=2，a15=－10，求數(shù)列 {an}的前n項和的最小值．(7)設點A(a，0)，a∈R，求曲線y2=2x上的點到點A距離的最小值d．(8)已知橢圓左右頂點為A、 B，點P是橢圓C內(nèi)的動點，且PA·PB=PO2，求的取值范圍．

分析 這一組題，都可以轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)在定區(qū)間上的最值問題，在很多問題的求解過程中都有靈活的應用．多題一解可以使學生懂得很多題目可以借助于同一核心知識來解決，只要將題目的內(nèi)涵與外延挖掘透徹，進而靈活運用就可以了．多題一解的題組設計可以圍繞某一重要的數(shù)學知識點，可以圍繞某一重要的數(shù)學思想，也可以圍繞某一基本方法的應用．

數(shù)學離不開解題，數(shù)學知識、方法、技能幾乎完全是通過解題得到鞏固、熟練和升華的．高三的一輪復習不同于高一、高二階段，隨著知識內(nèi)容的進展，由單純新授課轉(zhuǎn)變到復習課，由單元知識的檢測轉(zhuǎn)化到全面知識的考查．因此，通過對重要知識點和重要方法技能的覆蓋和輻射精心編創(chuàng)一題多問、一題多變、一題多解、多題一解的題組，使學生達到鞏固知識、熟練技能，提高復習效率的目的．

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