江蘇省興化中學(xué)高二(17)班(225700) 沈晨航 ●

不等式在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用總結(jié)

江蘇省興化中學(xué)高二(17)班(225700) 沈晨航 ●

例如求函數(shù)的定義域、值域，求函數(shù)的最大值、最小值、極大值、極小值以及判定函數(shù)的單調(diào)性和有界性，討論方程根的問(wèn)題等等．在解題過(guò)程中，利用不等式求解出未知量的關(guān)系，然后針對(duì)這些關(guān)系進(jìn)行討論，最后得出未知量的值或者范圍．

不等式;最值;實(shí)際問(wèn)題;應(yīng)用

不等式是高中數(shù)學(xué)中一個(gè)非常有用的工具，可以解決好多問(wèn)題．在進(jìn)行解題時(shí)，我們首先要根據(jù)題目所給信息列出不等式，在解出不等式之后進(jìn)行控制變量、分類討論，最后求解．下面是我對(duì)不等式在解題中應(yīng)用的總結(jié)．

一、利用不等式求解最值

在運(yùn)用基本不等式的時(shí)候一定要熟記“一正、二定、三相等”的條件，在實(shí)際中的解題技巧主要是:“拆項(xiàng)”、“添項(xiàng)”、“配湊因式”．

例1 已知a＞0，b＞0，a+b=1，求y=(a+1/a)(b +1/b)的最小值．

在閱讀這道題的時(shí)候，看到“a+b=1”的條件我就首先想到了利用均值不等式a+b＞=2(a+b)1/2進(jìn)行求解，得出ab≤1/4．

原式=(a+1/a)(b+1/b)=(a2+1)/a·(b2+1)/b =［(ab－1)2+1］/ab(中間步驟省略)．

最終得出:(ab－1)2+1≥25/16．如此，我就利用了不等式求得了該表達(dá)式的最小值．同時(shí)需要強(qiáng)調(diào)一點(diǎn)，使用均值不等式時(shí)一定要注意兩個(gè)等號(hào)成立條件是否相同，如果兩次條件不相同，則取不到最值．

例2 已知正數(shù)x，y滿足x+2y=1，求1/x+1/y的最小值．

分析 在此題中，我們靈活運(yùn)用“1”的代換．在利用不等式進(jìn)行解題的過(guò)程中，常常將不等式“乘以1”、“除以1”或者是將不等式中的某一個(gè)常數(shù)用等于1的表達(dá)式進(jìn)行代替．在本題中，可以將分子中的1用x+2y來(lái)代替，或者是將式子1/x+1/y乘以x+2y．同時(shí)需要強(qiáng)調(diào)一點(diǎn)，直接利用均值不等式來(lái)求解是錯(cuò)誤的，因?yàn)榇藭r(shí)無(wú)法滿足取等條件．

二、利用不等式求解實(shí)際問(wèn)題

在很多數(shù)學(xué)實(shí)際應(yīng)用題中，因?yàn)轭}目中有很多未知量以及限制條件，有的時(shí)候從不等式的角度來(lái)考慮進(jìn)行求解是比較方便快捷的．

例1 (1)在面積為定值的扇形中，當(dāng)半徑是多少時(shí)，扇形的周長(zhǎng)最小?

(2)在周長(zhǎng)為定值的扇形中，當(dāng)半徑是多少時(shí)，此時(shí)扇形的面積最大?

解析 設(shè)扇形中心角為α，半徑為r，面積為S，弧長(zhǎng)為l，則S=(lr)/2=(αr2)/2，其中l(wèi)=rα．

(1)此時(shí)S為定值，則α=2S/(r2)．所以扇形的周長(zhǎng)p=2r+l=2r+rα=2r+2S/r≥4S(1/2)．當(dāng)r=S1/2時(shí)，等號(hào)成立．所以當(dāng)半徑是S1/2時(shí)扇形周長(zhǎng)最?。?/p>

例2 如圖所示，設(shè)矩形ABCD(AB＞AD)的周長(zhǎng)為24，把矩形沿著AC折起來(lái)，AB折過(guò)去之后，交DC于點(diǎn)P．設(shè)AB=x，求三角形ADP的最大面積以及相應(yīng)的x值．

分析 題目中要求求三角形ADP的最大面積，首先我們要寫出三角形ADP的面積表達(dá)式．因?yàn)锳D=12－x，關(guān)鍵在于要把DP用x表達(dá)出來(lái)．從圖中可以看出，DP= PB'，AP=x－DP，因此可以在三角形ADP運(yùn)用勾股定理，列出等式，可以將DP用x表達(dá)出來(lái)．

例3 水產(chǎn)養(yǎng)殖戶李大爺準(zhǔn)備進(jìn)行大閘蟹和河蝦的混合養(yǎng)殖，他了解到了以下情況:1．每畝地水面年租費(fèi)用為500元．2．每畝水面可在年初進(jìn)行混合投放，可投放4公斤大閘蟹苗和20公斤蝦苗．3．每公斤蟹苗的價(jià)格是75元，其飼養(yǎng)費(fèi)用是525元，當(dāng)年可獲得1400元收益．4．每公斤蝦苗的價(jià)格為15元，其飼養(yǎng)費(fèi)用是85元，當(dāng)年可獲得160元收益．問(wèn):(1)水產(chǎn)養(yǎng)殖的成本包括水面年租金、苗種費(fèi)用和飼養(yǎng)費(fèi)用，求每畝水面蝦蟹混合養(yǎng)殖的年利潤(rùn)(利潤(rùn)=收益－成本);(2)李大爺現(xiàn)有資金25000元，他準(zhǔn)備在向銀行貸款，但不得超過(guò)25000元，用于蝦蟹混合養(yǎng)殖．一直銀行貸款年利率為10%，試問(wèn)李大爺應(yīng)租多少畝水面，并向銀行貸款多少元，可使得年利潤(rùn)達(dá)到36600元?

解析 第(1)問(wèn)略．(2)設(shè)租a畝水面，向銀行貸款4900a－25000元，收益為8800a，成本=4900a≤25000+ 25000，解得約為a≤10．20畝．這時(shí)進(jìn)行驗(yàn)證，利潤(rùn) = 3900a－490a+2500=36600，3410a=34100，因此李大爺要租10畝水面．

三、柯西不等式在解題中的應(yīng)用

柯西不等式常用的有:(1)證明不等式;(2)求函數(shù)最值;(3)求解方程組．

其中利用柯西不等式來(lái)證明其它的恒等式，主要是要利用柯西不等式的取等條件來(lái)解題，或者是利用它進(jìn)行從兩邊夾、逼進(jìn)行證明．利用柯西不等式來(lái)解方程組(無(wú)理方程)，首先把含有無(wú)理式的方程利用柯西不等式來(lái)化成不等式，然后再根據(jù)原有的方程把它化成等式．在判斷等號(hào)成立條件之后，從而得到和原方程組同解、但比原方程組的無(wú)理方程要簡(jiǎn)單的整式方程，進(jìn)而進(jìn)行求解．

從上面的例題可以看出，不等式在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用很廣泛，同時(shí)也在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中頻頻出現(xiàn)．因此，我們要熟練掌握用不等式進(jìn)行解題的方法，培養(yǎng)自己能夠靈活轉(zhuǎn)化的能力，從而在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中取得比較優(yōu)異的成果．

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