江蘇省啟東市匯龍中學(xué)(226200)

張仁華●

求一個曲線方程的多種解法

江蘇省啟東市匯龍中學(xué)(226200)

張仁華●

本文以一個典型問題為例，從角、斜率、極坐標(biāo)等五個不同的角度，分析求解曲線方程，運(yùn)用聯(lián)系、變化、發(fā)展的數(shù)學(xué)思想方法，分析總結(jié)求解曲線的極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程的方法.

曲線方程;普通方程;極坐標(biāo)方程;參數(shù)方程

一般地，求解曲線方程的步驟是：

①建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，設(shè)曲線上任一點(diǎn)M的坐標(biāo)；

②寫出適合條件的點(diǎn)M的集合；

③用坐標(biāo)表示集合，列出方程；

④化簡方程為最簡形式；

⑤證明所得的方程是曲線的方程.

其中步驟②是個難點(diǎn)，它需要運(yùn)用數(shù)學(xué)知識，利用聯(lián)系、變化、發(fā)展的觀點(diǎn)，觀察并解決這個問題.

題目 過定點(diǎn)A(-2，0)，作任意直線交y軸于B點(diǎn)，在直線上取一點(diǎn)P，使|BP|=|OB|，求點(diǎn)P的軌跡方程.

方法一 以角為參數(shù)，求出點(diǎn)P的參數(shù)方程，再將其化為普通方程.

解 如圖，設(shè)軌跡上任意一點(diǎn)P(x，y)，取∠DAP=θ，θ為參數(shù)，過P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，過B作BC⊥PD于點(diǎn)C.

在Rt△AOB中，|OB|=|AO|tanθ，則

x=|OD|=|BC|=|BP|cosθ=|OB|cosθ=2tanθcosθ=asinθ.

y=|DP|=|OB|+|CP|=|OB|+|BP|sinθ= 2tanθ(1+sinθ).

因?yàn)閤+2≠0，所以(x-2)y2+x2(2+x)=0，即x3+xy2+2x2-2y2=0.

所以點(diǎn)P軌跡的普通方程為x3+xy2+2x2-2y2=0.

方法二 以直線AB的斜率k為參數(shù)，列出方程，然后消去k，將其化為普通方程.

解 設(shè)P(x，y)，直線AB的斜率k，則l：y=k(x+2)，令x=0，得y=2k，則B(0,2k).

所以BP2=x2+(y-2k)2=OB2=(2k)2，所以x2+y2-4ky=0.

所以點(diǎn)P軌跡的普通方程為x3+xy2+2x2-2y2=0.

方法三 利用直線AB的參數(shù)方程，列出點(diǎn)P的參數(shù)方程，再將其化為普通方程.

想要靈活運(yùn)用參數(shù)方程解題，首先必須理解參數(shù)的幾何意義，尤其直線的點(diǎn)角式參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義要深刻理解，否則就不能很好地運(yùn)用.

所以ycosα=2(1+sinα)sinα，即y2cos2α=4(1+sinα)2sin2α，

所以點(diǎn)P軌跡的普通方程為x3+xy2+2x2-2y2=0.

方法四 利用曲線的極坐標(biāo)方程，先求出點(diǎn)P的極坐標(biāo)方程，再將其化為普通方程.

所以2cos2θ=ρcosθ.

因?yàn)棣?0，滿足上式，所以2(x2-y2)=(x2+y2)x，

所以點(diǎn)P軌跡的普通方程為x3+xy2+2x2-2y2=0.

方法五 利用曲線的極坐標(biāo)方程和三角形面積公式，列出點(diǎn)P的極坐標(biāo)方程，再將其化為普通方程.

所以4y2=2(x2+y2)+(x2+y2)x，即x3+xy2+2x2-2y2=0.

所以點(diǎn)P軌跡的普通方程為x3+xy2+2x2-2y2=0.

評析 求極坐標(biāo)方程，有時常用三角形面積列方程，化簡求解.

總之，數(shù)學(xué)中的參數(shù)有一種活力，它能分散難點(diǎn)，化難為易，靈活運(yùn)用參數(shù)是解題能力的一種提高，并能從中培養(yǎng)分析問題的能力.

通過上面這個題目的展示，我們可以體會到，對待問題要運(yùn)用聯(lián)系、變化、發(fā)展的觀點(diǎn)分析問題，突破難點(diǎn)，使得思路變得簡單統(tǒng)一.我們平時在指導(dǎo)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)教學(xué)時，若能多分析、解剖數(shù)學(xué)內(nèi)容和教學(xué)過程，清晰、辯證地講解數(shù)學(xué)演繹的邏輯過程，就可以使學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中避免失誤，少走彎路.只有透徹明了地看待數(shù)學(xué)問題的思路，才能掌握好數(shù)學(xué)的思想和精神.

[1]單墫.普通高中課程實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)2(必修)[M]. 第4版.南京:江蘇教育出版社,2012.

[2]單墫.普通高中課程實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)2-1(選修)[M]. 第3版.南京:江蘇教育出版社,2012.

[3]單墫.普通高中課程實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)4-4(選修)[M]. 第3版.南京:江蘇教育出版社,2012.

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