重慶市長壩中學(xué)(408529) 重慶市武隆中學(xué)(408500)

龍 明● 吳 軍●

高考函數(shù)復(fù)習(xí)，你關(guān)注教材了嗎？
——揪出導(dǎo)數(shù)高考題之“源”

重慶市長壩中學(xué)(408529) 重慶市武隆中學(xué)(408500)

龍 明● 吳 軍●

在強(qiáng)調(diào)命題改革的今天，通過改編、創(chuàng)新等手段來賦予課本例、習(xí)題新的生命，這已成為高考命題的一種新走向．近幾年高考試題的命制越來越新穎多變，尤其對導(dǎo)數(shù)的考查，形式多樣，但萬變不離其宗，大多數(shù)高考題都能在課本中找到其原型，所以我們在復(fù)習(xí)備考的過程中要注意對課本例、習(xí)題的訓(xùn)練，把握其實(shí)質(zhì)，掌握其規(guī)律，規(guī)范其步驟，做到“胸中有本”．

那么這些高考試題是采用課本中哪些題目作為原型題呢？又是如何變化得到的呢？結(jié)合高考試題，對有關(guān)導(dǎo)數(shù)的考題追根溯源，對其常見考點(diǎn)進(jìn)行提煉，對其解法進(jìn)行探討，以期對高考第一輪復(fù)習(xí)有所啟示．

一、胸有成竹，按圖索驥→判斷函數(shù)的圖象

例1 (2012年重慶)設(shè)函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且函數(shù)f(x)在x=-2處取得極小值，則函數(shù)y=xf′(x)的圖象可能是( ).

思路啟迪 利用函數(shù)f(x)在x=-2處取得極小值，可判斷f′(x)在點(diǎn)x=-2附近的左側(cè)與右側(cè)時(shí)的符號，從而可得正確的選項(xiàng)．

解析 由函數(shù)f(x)在x=-2處取得極小值，可知在點(diǎn)x=-2附近的左側(cè)有f′(x)<0，從而xf′(x)>0，排除B、D；在點(diǎn)x=-2附近的右側(cè)有f′(x)>0，從而xf′(x)<0，排除A，應(yīng)選C.

追根溯源 此題來源于課本人教A版選修2-2第32頁習(xí)題1.3A組第4題：如圖所示是導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)的圖象，在標(biāo)記的點(diǎn)中，在哪一點(diǎn)處

(1)導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)有極大值？

(2)導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)有極小值？

(3)函數(shù)y=f(x)有極大值？

(4)函數(shù)y=f(x)有極小值？

解此題的關(guān)鍵是：首先明確導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)的極值與函數(shù)y=f(x)的極值的區(qū)別；其次判斷導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)的極大值，只需看導(dǎo)函數(shù)圖象的“峰”處，判斷y=f′(x)的極小值，只需看導(dǎo)函數(shù)圖象的“谷”處；最后，判斷函數(shù)y=f(x)的極值，只需看導(dǎo)函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)，并判斷在這些交點(diǎn)左右導(dǎo)函數(shù)的符號．

高考試題只是把課本原題中的結(jié)論變更成條件，并把原條件中導(dǎo)函數(shù)的圖象變?yōu)榻Y(jié)論“判斷y=xf′(x)的圖象”．把課本中判斷極值問題變?yōu)槔脤?dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的圖象，重點(diǎn)考查考生的“看圖說話”能力和應(yīng)用能力．求解此類高考題的關(guān)鍵是：利用函數(shù)的極值得出導(dǎo)數(shù)的符號，從而判斷函數(shù)的圖象，常通過“數(shù)形結(jié)合”來判斷函數(shù)圖象的形狀．

二、循序漸進(jìn)，有法可依→求切線方程

例2 (2012年廣東)曲線y=x3-x+3在點(diǎn)(1,3)處的切線方程為____．

思路啟迪 先求函數(shù)y=x3-x+3在x=1處的切線的斜率，再利用點(diǎn)斜式求其切線方程．

解 因?yàn)閥=x3-x+3，所以y′=3x2-1，所以y′|x=1=3-1=2，所以函數(shù)y=x3-x+3在x=1處的切線的斜率為2.由點(diǎn)斜式方程，得所求的切線方程為y-3=2(x-1)，即y=2x+1.

追根溯源 該題的原型是課本湘教版選修2-2第17頁練習(xí)第2題：求曲線x3-y=0在點(diǎn)(2,8)處的切線的方程．顯然要求切線方程，已知過一點(diǎn)，只需求出函數(shù)y=x3在x=2處的切線的斜率，然后利用點(diǎn)斜式方程即可求出其切線方程．

高考試題只是把課本原題中的條件“x3-y=0”變?yōu)椤皔=x3-x+3”，把點(diǎn)坐標(biāo)“(2,8)”變?yōu)椤?1,3)”，結(jié)論不變．導(dǎo)數(shù)的幾何意義把函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與曲線的切線聯(lián)系在一起，曲線f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0))處的切線方程為y-f(x0)=(x-x0)f′(x0)，其中f′(x0)表示曲線f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0))處切線的斜率．求曲線的切線方程應(yīng)當(dāng)先設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)切點(diǎn)坐標(biāo)的“一拖三”(切點(diǎn)與斜率相關(guān)、切點(diǎn)在切線上、切點(diǎn)在曲線上)來求切線方程．當(dāng)試題中涉及切線方程、切線的斜率(或傾斜角)、切點(diǎn)坐標(biāo)等問題時(shí)，可利用導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義迅速獲解．

三、化整為零，各個(gè)擊破→求函數(shù)的極值(極值點(diǎn))

例3 (2012年江蘇)若函數(shù)y=f(x)在x=x0處取得極大值或極小值，則稱x0為函數(shù)y=f(x)的極值點(diǎn)．已知a，b是實(shí)數(shù)，1和-1是函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx的兩個(gè)極值點(diǎn)．

(1)求a和b的值；(2)設(shè)函數(shù)g(x)的導(dǎo)函數(shù)g′(x)=f(x)+2，求g(x)的極值點(diǎn)．

高考試題只是把課本原題中的三次函數(shù)變式成含有參數(shù)的三次函數(shù)及導(dǎo)函數(shù)為三次函數(shù)，考查考生的雙向思維，既會利用給定極值點(diǎn)求參數(shù)的值，又會利用導(dǎo)函數(shù)求其極值點(diǎn)．求函數(shù)極值點(diǎn)的關(guān)鍵是：利用方程f′(x)=0的根，順次將函數(shù)的定義區(qū)間分成若干小開區(qū)間，并列成表格，然后依表格內(nèi)容得其結(jié)論．表格的使用，使極值點(diǎn)兩邊的符號一目了然，便于求極值點(diǎn)．

求函數(shù)f(x)極值點(diǎn)的步驟簡記為：求f′(x)→方程f′(x)=0的根→列表格→得結(jié)論．已知函數(shù)的極值點(diǎn)求參數(shù)值的關(guān)鍵：函數(shù)在極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)等于零．但易忽視對求出的參數(shù)值進(jìn)行檢驗(yàn)，要檢驗(yàn)在極大值點(diǎn)左右兩側(cè)的導(dǎo)函數(shù)的符號是否為“左正右負(fù)”，在極小值點(diǎn)左右兩側(cè)的導(dǎo)函數(shù)的符號是否為“左負(fù)右正”，若不滿足，則所求的參數(shù)值不合題意，應(yīng)舍去．

四、明修棧道，暗渡陳倉→求函數(shù)的最值

例4 (2012年重慶)已知函數(shù)f(x)=ax3+bx+c在點(diǎn)x=2處取得極值c-16.(1)求a，b的值；(2)若f(x)有極大值28，求f(x)在[-3,3]上的最小值．

思路啟迪 (1)由f′(2)=0，f(2)=c-16，可得到關(guān)于a，b的方程組，即可求出a，b的值．(2)先利用f(x)有極大值28，求出參數(shù)c的值，再求方程f′(x)=0的根(注意根的取值范圍為[-3,3])及其所對應(yīng)的函數(shù)值，與f(-3)，f(3)進(jìn)行比較，其中最小的一個(gè)就是所求的最小值．

解 (1)因f(x)=ax3+bx+c，故f′(x)=3ax2+b.

(2)由(1)，知f(x)=x3-12x+c，所以f′(x)=3x2-12=3(x+2)(x-2)．令f′(x)=0，得x1=-2，x2=2.當(dāng)x∈(-∞，-2)時(shí)，f′(x)>0，故f(x)在(-∞，-2]上為增函數(shù)；當(dāng)x∈(-2,2)時(shí)，f′(x)<0，故f(x)在[-2,2]上為減函數(shù)；當(dāng)x∈(2，+∞)時(shí)，f′(x)>0，故f(x)在[2，+∞)上為增函數(shù)．由此可知f(x)在x1=-2處取得極大值f(-2)=16+c，f(x)在x2=2處取得極小值f(2)=c-16.因?yàn)閒(x)有極大值28，所以16+c=28，所以c=12.此時(shí)f(-3)=9+c=21，f(3)=-9+c=3，f(2)=c-16=-4，所以f(x)在[-3,3]上的最小值為-4.

追根溯源 該題的原型是課本人教A版選修2-2第32頁習(xí)題1.3A組第6題(2)：求函數(shù)f(x)=x3-12x在[-3,3]上的最大值與最小值．顯然要求函數(shù)f(x)的最大值與最小值，先求f′(x)，然后求方程f′(x)=0的根，并求出根所對應(yīng)的函數(shù)值，與f(-3)，f(3)進(jìn)行比較，其中最大的一個(gè)就是所求的最大值，最小的一個(gè)就是所求的最小值．

高考試題只是把課本原題中的三次函數(shù)f(x)=x3-12x，x∈[-3,3]變式成含有參數(shù)的三次函數(shù)f(x)=x3-12x+c，x∈[-3,3]，并融入函數(shù)的極值，考查考生處理綜合性問題的能力．求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間上的最值的步驟簡記為：求f′(x)→求方程f′(x)=0的根→求出根所對應(yīng)的函數(shù)值與端點(diǎn)的函數(shù)值→比較大小得結(jié)論．

從以上4例可窺，課本素材是高考考題編擬的藍(lán)本，是“題根”“母題”．只要我們把握課本例、習(xí)題，靈活變換，深入思考，提煉這些問題的基本解法，那么不論高考函數(shù)題的構(gòu)思多么新穎，我們都能做到以不變應(yīng)萬變，迅速抓住導(dǎo)數(shù)這個(gè)“綱”，函數(shù)考題就能迎刃而解.

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