江蘇省蘇州市吳江區(qū)廟港中學(xué) 姚海峰

借助數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，培養(yǎng)運(yùn)算能力

江蘇省蘇州市吳江區(qū)廟港中學(xué) 姚海峰

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是一種以學(xué)生為主體的學(xué)習(xí)方式，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是動(dòng)手動(dòng)腦主動(dòng)構(gòu)建的過(guò)程。運(yùn)算能力作為數(shù)學(xué)學(xué)科的核心概念，是數(shù)學(xué)和其他學(xué)科學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ)，指向?qū)W生的核心素養(yǎng)。那么，如何正確認(rèn)識(shí)運(yùn)算能力以及數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)與運(yùn)算能力之間的關(guān)系、作用呢？如何對(duì)運(yùn)算能力有一個(gè)正確的認(rèn)識(shí)呢？

一、對(duì)運(yùn)算能力的基本認(rèn)識(shí)

1．運(yùn)算能力的定義

運(yùn)算能力主要是指能夠根據(jù)法則和運(yùn)算律正確地進(jìn)行運(yùn)算的能力。它是中學(xué)數(shù)學(xué)課程對(duì)學(xué)生著重培養(yǎng)和發(fā)展的三種數(shù)學(xué)能力之一(還有邏輯思維能力、空間想象能力)，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ)，對(duì)發(fā)展其他能力也有著重要的支撐作用。

2．運(yùn)算能力的特征

運(yùn)算能力不僅是一種計(jì)算技能，更是一種思維能力，是兩者的有機(jī)整合。在實(shí)施運(yùn)算分析和解決問(wèn)題的過(guò)程中，需要分析運(yùn)算條件，探究運(yùn)算方向，選擇運(yùn)算方法，設(shè)計(jì)運(yùn)算程序，檢驗(yàn)運(yùn)算結(jié)果，使運(yùn)算符合算理。正確、靈活、合理和簡(jiǎn)潔是運(yùn)算能力的主要特征。

二、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)與運(yùn)算能力的關(guān)系

1．?dāng)?shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)與運(yùn)算能力相關(guān)的特征體現(xiàn)

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是指為了獲得某種數(shù)學(xué)理論，檢驗(yàn)?zāi)硞€(gè)數(shù)學(xué)猜想，解決某類數(shù)學(xué)問(wèn)題，實(shí)驗(yàn)者運(yùn)用一定的道具（如紙張、剪刀、模型、測(cè)量工具、作圖工具以及計(jì)算機(jī)等），在數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的參與下進(jìn)行的一種以人人參與實(shí)際操作為特征的數(shù)學(xué)驗(yàn)證或探究活動(dòng)。它是動(dòng)手動(dòng)腦“做”數(shù)學(xué)的一種數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)。

2．實(shí)驗(yàn)特征對(duì)運(yùn)算能力的發(fā)展產(chǎn)生的影響

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)強(qiáng)調(diào)主體在思維引領(lǐng)下的實(shí)踐操作，是一種以問(wèn)題解決為驅(qū)動(dòng)的自主學(xué)習(xí)方式，可以有效促進(jìn)學(xué)生運(yùn)算能力的培養(yǎng)與發(fā)展。在實(shí)驗(yàn)情境中，學(xué)生通過(guò)操作、觀察、交流、思考，有利于數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)定理的構(gòu)建，有利于加深對(duì)算理、算法的理解。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)一般經(jīng)歷問(wèn)題情境——方案設(shè)計(jì)——實(shí)施調(diào)整——問(wèn)題解決的全過(guò)程，學(xué)生從中可以感悟數(shù)學(xué)思想，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，從而提升運(yùn)算能力。

三、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)對(duì)運(yùn)算能力所包含的若干方面產(chǎn)生的影響

1．?dāng)?shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)有助于學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念

數(shù)學(xué)概念是人腦對(duì)現(xiàn)實(shí)對(duì)象的數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)特征的一種反映形式，即一種數(shù)學(xué)的思維形式。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，掌握數(shù)學(xué)的基本概念是解決問(wèn)題的基礎(chǔ).通過(guò)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)有時(shí)能很好地理解數(shù)學(xué)基本概念。

以乘方為例，是冪的運(yùn)算、整式乘除的基礎(chǔ)。常規(guī)教學(xué)中，學(xué)生學(xué)習(xí)乘方時(shí)經(jīng)常會(huì)犯如23＝6，-32＝9等錯(cuò)誤，究其原因，是學(xué)生對(duì)乘方這一數(shù)學(xué)基本概念理解不透，混淆乘方和乘法的概念。為此設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)如下：首先，請(qǐng)學(xué)生估算、測(cè)量數(shù)學(xué)教科書的厚度，計(jì)算50本數(shù)學(xué)教科書和教科書中一頁(yè)紙的厚度，感受乘除運(yùn)算與數(shù)值（厚度、高度）變化之間的內(nèi)在聯(lián)系。其次，計(jì)算22＝ ______ ，23＝，24＝______ ，25＝_____，26＝_______ ……最后提問(wèn)：一張厚度為0.1mm的紙，折疊幾次，其厚度就能超過(guò)一本數(shù)學(xué)教科書的厚度?想象一下，如果將這張紙對(duì)折50次，那么總厚度將會(huì)達(dá)到多少?你有何感想?（假設(shè)紙足夠大，地球到月球的距離約為3.84×105km）

本實(shí)驗(yàn)是為幫助學(xué)生理解“乘方”的意義而設(shè)計(jì)的。實(shí)驗(yàn)以學(xué)生的估算、測(cè)量、計(jì)算等操作活動(dòng)為載體，通過(guò)折紙，估算、計(jì)算折疊后紙張的厚度理解乘方的意義，感受乘方運(yùn)算與數(shù)值（厚度）變化之間的內(nèi)在聯(lián)系。最后對(duì)折疊50次后紙張厚度的估算與計(jì)算的實(shí)際厚度的“懸殊”之差，對(duì)學(xué)生的認(rèn)知產(chǎn)生了強(qiáng)烈沖擊，引發(fā)學(xué)生思考乘方的本質(zhì)含義，深刻理解乘方的結(jié)果以幾何級(jí)數(shù)的速度變化。這一過(guò)程就是“做中學(xué)”，“學(xué)中思”，對(duì)知識(shí)主動(dòng)構(gòu)建。

2．?dāng)?shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)有助于學(xué)生掌握基本性質(zhì)

初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，基本性質(zhì)是數(shù)學(xué)運(yùn)算的基本原理，是數(shù)學(xué)變化的基本依據(jù)，包括很多，如等式基本性質(zhì)、不等式基本性質(zhì)、平行線基本性質(zhì)、三角形基本性質(zhì)、四邊形基本性質(zhì)、平移與旋轉(zhuǎn)基本性質(zhì)等等，掌握數(shù)學(xué)基本性質(zhì)對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)極為重要。借助數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，可以更好地掌握基本性質(zhì)。

例如通過(guò)配置糖水來(lái)探索分式的性質(zhì)，實(shí)驗(yàn)如下：

首先，配置糖水，感受甜度。

把糖放進(jìn)一個(gè)大玻璃杯A中，加水，使糖充分溶化并搖勻，得到一大杯糖水。我們用式子表示糖水的甜度（a表示糖水中糖的質(zhì)量，b表示糖和水的總質(zhì)量）。將大玻璃杯中的糖水倒入3個(gè)小杯中，3個(gè)小杯中糖水的甜度與原先大杯中的甜度相同，我們可以用式子來(lái)表示。

（1）從大玻璃杯A中舀出一勺糖水，放入另一大玻璃杯B中，此時(shí)大玻璃杯B中的糖水甜度如何？ 若舀出2勺、3勺、4勺呢？請(qǐng)你用數(shù)學(xué)式子描述你的結(jié)論。

（2）從大玻璃杯A中任意倒出3小杯糖水，再將這3小杯糖水全都倒進(jìn)一個(gè)空的大玻璃杯C中，混合后的糖水甜度如何？ 請(qǐng)你用數(shù)學(xué)式子表示大玻璃杯C中糖水的甜度與原先3小杯糖水甜度之間的關(guān)系。

其次，添加糖水，感受變化。

（1）在其中一個(gè)盛有糖水的小杯中再加入一些糖，此時(shí)糖水甜度會(huì)如何變化？請(qǐng)你用數(shù)學(xué)式子來(lái)描述。

（2）在另一個(gè)盛有糖水的小杯中再加入一些水，此時(shí)糖水的甜度又會(huì)如何變化？ 類似地，請(qǐng)你用數(shù)學(xué)式子來(lái)描述。

最后，數(shù)學(xué)思考，拓展遷移。

在你所得到的數(shù)學(xué)式子中，其各個(gè)字母表示的都是正數(shù)，那么如果各個(gè)字母都是負(fù)數(shù)，這些數(shù)學(xué)式子仍然成立嗎？ 說(shuō)說(shuō)你的理由。

數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，本實(shí)驗(yàn)以學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)——糖水的甜度為起點(diǎn)，將糖水的甜度數(shù)學(xué)化——用分式表示；根據(jù)同一大玻璃杯中糖水的“分”與“合”不改變糖水甜度的生活經(jīng)驗(yàn)，再次數(shù)學(xué)化——分式的基本性質(zhì)：；又可得等比性質(zhì)，由淺入深、由表及里、由現(xiàn)象到本質(zhì)、由具體到抽象地再現(xiàn)了分式中的相等關(guān)系。其次，通過(guò)加糖、加水實(shí)驗(yàn)，從生活感受抽象出數(shù)學(xué)式子，也就是分式中的不等關(guān)系。最后，反思從具體事實(shí)到形式化抽象的數(shù)學(xué)過(guò)程，完成從“具體的模型——糖水實(shí)驗(yàn)”到“抽象的模式——分式的基本性質(zhì)、等比性質(zhì)”的發(fā)現(xiàn)全過(guò)程。

3．?dāng)?shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)有助于優(yōu)化學(xué)生解題策略

例如：如何在給定的制作材料下設(shè)計(jì)容積盡可能大的包裝紙盒?

首先，操作比較。

取一張正方形紙片，按下列圖示的方式進(jìn)行操作：

（1）與同伴制作的無(wú)蓋長(zhǎng)方體紙盒進(jìn)行比較，估計(jì)誰(shuí)制作的無(wú)蓋長(zhǎng)方體紙盒容積要大一些?

（2）猜想在什么情況下，圍成的無(wú)蓋長(zhǎng)方體紙盒的容積會(huì)盡可能地大?

其次，計(jì)算發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)為多少時(shí)所圍成的無(wú)蓋長(zhǎng)方體紙盒的容積會(huì)盡可能地大。

（1）若所取的正方形紙片的邊長(zhǎng)為10cm，探索剪去的小正方形的邊長(zhǎng)與長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)及長(zhǎng)方體紙盒的容積之間的關(guān)系，填入下表。

長(zhǎng)方體紙盒的容積（cm3）0.5 9 40.5 1 8 64.0 1.5 7 73.5 2 6 72 2.5 5 62.5剪去的小正方形的邊長(zhǎng)（cm）長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)（cm）

由上表不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)剪去的小正方形的邊長(zhǎng)在1.5cm左右時(shí)，其圍成的無(wú)蓋長(zhǎng)方體紙盒的容積會(huì)盡可能地大。

在上述計(jì)算過(guò)程中，你發(fā)現(xiàn)該紙盒容積是如何變化的? 你有何猜想? 你還可以繼續(xù)探究下去嗎? 試試看！

長(zhǎng)方體紙盒的容積（cm3）1.1 7.8 1.2 7.6 1.3 7.4 1.4 7.2 1.5 7.0 1.6 6.8 1.7 6.6 1.8 6.4剪去的小正方形的邊長(zhǎng)（cm）長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)（cm）

（2）若所取的正方形紙片的邊長(zhǎng)是30cm，探究當(dāng)剪去的小正方形邊長(zhǎng)是多少時(shí)，所圍成的無(wú)蓋長(zhǎng)方體紙盒的容積最大。

最后，實(shí)驗(yàn)思考。

總之，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)可以幫助學(xué)生更好地理解與運(yùn)算相關(guān)的概念、法則與運(yùn)算算理，從中獲取解決問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)與策略，從而促進(jìn)學(xué)生運(yùn)算能力的發(fā)展。