江蘇省揚州市東關(guān)小學(xué) 胡正梅

讓兒童經(jīng)歷數(shù)學(xué)模型再造過程
——以蘇教版四上《解決問題》教學(xué)為例

江蘇省揚州市東關(guān)小學(xué) 胡正梅

數(shù)學(xué)模型指對于現(xiàn)實世界的某一特定對象，為了某個特定目的進行必要的簡化和假設(shè)，運用數(shù)學(xué)工具得到的一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。鄭毓信教授在《國際視角下的小學(xué)數(shù)學(xué)教育》一書中論述：第一，在數(shù)學(xué)教學(xué)中我們應(yīng)當(dāng)關(guān)注利用學(xué)生已有的數(shù)學(xué)經(jīng)驗和知識，特別是，我們應(yīng)善于將“日常數(shù)學(xué)”用作學(xué)校數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的出發(fā)點和必要背景。第二，教師應(yīng)當(dāng)努力幫助學(xué)生實現(xiàn)由“日常數(shù)學(xué)”到“學(xué)校數(shù)學(xué)”的過渡。具體來說，這種過渡在一定程度上既可被看成是一種抽象活動，也是將著眼點由原先的現(xiàn)實情境轉(zhuǎn)移到內(nèi)在的（深層次）數(shù)量關(guān)系。第三，教師應(yīng)十分重視如何幫助學(xué)生把學(xué)校中所學(xué)到的數(shù)學(xué)應(yīng)用于社會實際生活。這一思想是對數(shù)學(xué)模型構(gòu)建的具體闡述。引導(dǎo)兒童在生活問題中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題，初步構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，然后優(yōu)化數(shù)學(xué)模型，再應(yīng)用數(shù)學(xué)模型的經(jīng)驗來解決生活問題，才是將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)回歸生活的真正目的。

一、問題情境——從日常數(shù)學(xué)向?qū)W校數(shù)學(xué)的過渡

將生活問題引到課堂上，根據(jù)問題的特征和目的對問題進行簡化，提煉有效的數(shù)學(xué)信息，并用精確的數(shù)學(xué)語言來描述，形成一般數(shù)學(xué)問題。生活問題情境可以激活學(xué)生頭腦中原有的生活經(jīng)驗，他們用積累的經(jīng)驗來感受其中的數(shù)學(xué)問題，提高學(xué)習(xí)的興趣，建立符合自己經(jīng)驗的認知結(jié)構(gòu)。

從日常數(shù)學(xué)到學(xué)校數(shù)學(xué)，問題有助于兒童形成認知與思維模型，形成的數(shù)學(xué)模型游離于具體材料之外，進而促進學(xué)生數(shù)學(xué)觀念的形成。如教材第9頁例2，主題圖呈現(xiàn)了買繩子的情境，學(xué)生根據(jù)“可以分給多少個班，還剩多少根”，把一些物體平均分，用除法計算。為了更好地促進學(xué)生思維模型的形成，教材先安排估計380÷30的商大約是多少，30×10=300，30×20=600，發(fā)現(xiàn)商應(yīng)該在10-20之間，通過區(qū)間估計商是十幾，形成思考方向，激活了商是兩位數(shù)的計算經(jīng)驗，形成思考數(shù)學(xué)問題的一般模型。

二、探究建?！?jīng)歷數(shù)學(xué)模型再造過程

1．一次建模

一次建模的主要任務(wù)是抽象出數(shù)學(xué)問題，將文字語言翻譯成數(shù)學(xué)語言，將生活問題抽象出數(shù)學(xué)問題。正如鄭教授論述的從生活數(shù)學(xué)向?qū)W校數(shù)學(xué)的抽象，抽象的過程就是建模的過程，抽象出來的數(shù)學(xué)問題就是數(shù)模。建模經(jīng)歷了對情境問題中蘊含的數(shù)學(xué)成分進行分析和描述的過程，從學(xué)生不正規(guī)的數(shù)學(xué)語言通過簡化和形式化不斷地向比較嚴格和正規(guī)的語言靠攏的過程。

（1）解讀情境。情境中的信息是建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的“基石”，情境中的信息一般比較多，關(guān)系也比較復(fù)雜，需要引導(dǎo)學(xué)生細致閱讀，深刻分解問題背景，根據(jù)問題的特征和建模的目的進行必要梳理。如教材第56頁例1，主題圖為栽樹的情境，有“3行桃樹”“8行杏樹”“4行梨樹”以及“桃樹每行7棵”“杏樹每行6棵”“梨樹每行5棵”六個已知條件。呈現(xiàn)特點：已知條件比較多，條件之間的直接聯(lián)系比較清楚，數(shù)量關(guān)系式簡單。學(xué)生明確桃樹的行數(shù)與每行棵數(shù)是一組，杏樹的行數(shù)與每行棵數(shù)是一組，梨樹的行數(shù)與每行棵數(shù)是一組，盡量掌握被建模對象的各種信息，發(fā)現(xiàn)實際問題的內(nèi)在規(guī)律。

（2）抽象出數(shù)學(xué)問題。抓住主要信息，聯(lián)系已有的數(shù)學(xué)知識和方法，依據(jù)數(shù)量關(guān)系式，用精確的語言描述數(shù)學(xué)問題，問題的難易度也反映了兒童思維水平的高低。學(xué)生很容易找到數(shù)量關(guān)系式：桃樹總棵數(shù)=桃樹行數(shù)×每行棵樹，杏樹總棵數(shù)=杏樹行數(shù)×每行棵樹，梨樹總棵數(shù)=梨樹行數(shù)×每行棵樹，再求解桃樹、杏樹和梨樹棵數(shù)的問題、桃樹和梨樹一共棵數(shù)的問題就容易了。找到已知量之間的各種關(guān)系，利用條件與條件之間的聯(lián)系進行分析，從而抽象出數(shù)學(xué)問題。

2．二次建模

二次建模的主要任務(wù)是抽象出數(shù)學(xué)方法，將問題中的數(shù)量關(guān)系用數(shù)學(xué)式子、圖形或表格等形式表達出來，從而建立數(shù)學(xué)模型，進而求出數(shù)學(xué)問題的解。從數(shù)學(xué)問題中抽象出純數(shù)學(xué)的意義，這種意義表述或數(shù)學(xué)術(shù)語也是數(shù)模，經(jīng)歷了對數(shù)學(xué)問題的深入探究過程。

（1）解答數(shù)學(xué)問題。在認知心理學(xué)家看來，解答問題通常被描述為搜索問題空間，而問題空間包括初始狀態(tài)、中間狀態(tài)和目標(biāo)狀態(tài)。把解決問題的空間看作狀態(tài)的迷宮，把算子看作在其間移動的路徑，對某個問題的解答是通過搜索算子來實現(xiàn)的，問題的解決步驟實質(zhì)就是一連串的算子序列。對于上述例題，利用數(shù)量之間的直接聯(lián)系，整理實際問題的已知條件和所求問題，體會“整理”對解決問題的積極作用，突出“整理”的策略。讓學(xué)生明白，利用條件與條件之間的直接聯(lián)系，可以整理條件；如果某些條件與所求問題沒有關(guān)系，可能是“多余”的條件，在整理方式上既可以從條件出發(fā)整理，也可以從問題出發(fā)整理（如下表）。

從條件出發(fā)整理：

桃樹 3行 每行7棵杏樹 8行 每行6棵梨樹 4行 每行5棵

從問題出發(fā)整理：

桃樹 3行 每行7棵梨樹 4行 每行5棵

整理條件后，鼓勵學(xué)生“根據(jù)數(shù)量之間的關(guān)系，確定先算什么，依據(jù)什么，再求什么”，感受從條件向問題推理和從問題向條件推理的不同，分析數(shù)量關(guān)系的策略，是產(chǎn)生解決問題的計劃與步驟的過程。

（2）抽象出數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)建模是一個提出問題、分析問題和解決問題的過程，需要具備一定的解決問題的策略，如列表整理、枚舉、假設(shè)、猜想、分類、類比等等。幫助學(xué)生找到解決問題的途徑和方法：首先，運用分析與綜合的方法，弄清現(xiàn)實情境中的條件和問題之間的數(shù)量關(guān)系，選擇一些解決問題的有效策略并構(gòu)建恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，借助數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)符號、數(shù)學(xué)表達式或圖形簡潔、清晰地表達出來，接著，在建立數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上進行邏輯推理或數(shù)學(xué)演算，求出問題的解，最后，把數(shù)學(xué)模型中得到的解再回到問題中去，檢驗是否使問題得到了解決。本例題要明確解決問題主要經(jīng)歷哪些步驟，就是弄清題意，找到已知條件和所求問題，列表整理條件，然后分析數(shù)量關(guān)系，設(shè)計解題計劃，并按解決問題的步驟，列出算式，算出得數(shù)，檢驗結(jié)果；最后是反思解題，交流體會。

三、解釋、評價模型——在比較中驗證模型的適切性

解釋模型是求解結(jié)果與實際情況相比較，以此來驗證模型的適切性。解釋模型過程就是模型與現(xiàn)實生活和學(xué)生經(jīng)驗融合的過程，學(xué)生根據(jù)生活、知識經(jīng)驗，用自己的語言進行解釋，逐漸轉(zhuǎn)化為他們更為獨特的個體經(jīng)驗，運用模型解決生活問題。數(shù)學(xué)教學(xué)中的解決問題，其目的不只是得到問題的答案，而是提高學(xué)生解決問題的能力，培養(yǎng)解決問題的策略，形成不同的數(shù)學(xué)模型。這就是說，得到問題的結(jié)論不應(yīng)是教學(xué)的結(jié)束，還要進一步積累解決問題的經(jīng)驗，形成學(xué)生自己解決問題的有效策略。如教材第58頁例2水位下降情況記錄表，用表格呈現(xiàn)放水小時數(shù)和相應(yīng)的水位下降厘米數(shù)，數(shù)量之間的對應(yīng)關(guān)系十分清楚，而且解答思路不止一種。放水時間與水位下降高度是有規(guī)律地同時變化，水位每小時下降6厘米是不變的數(shù)量，它可以從“每2小時下降12厘米”得出。根據(jù)“每小時水位下降6厘米”能夠找到一種解法，利用“放水時間與水位下降高度按相同倍數(shù)變化”也能夠想到另一種解法。各種解法的結(jié)果應(yīng)該相同，不同的解法可以相互驗證。教材中的想一想，求“如果經(jīng)過12小時，水位一共下降多少厘米？”引導(dǎo)學(xué)生運用上述不同方法（模型）來求解，促進模型的進一步比較驗證，在應(yīng)用中適時進行評價。