安徽省太湖縣寺前初級中學(246400)

吉 興●

四邊形中動點問題的幾種情況

安徽省太湖縣寺前初級中學(246400)

吉 興●

本文針對四邊形中動點問題的不同情況，給出相應的求解方法，對學生學習具有指導意義.

動點；最值；形狀；函數(shù)

一、動點移動產(chǎn)生的最值問題

最值問題一直與動點有著千絲萬縷的關系，在四邊形中動點的引入為最值問題提供了良好的背景，此類題多以特殊的四邊形為主，我們要掌握四邊形的相關知識才能解答.學生在解決此類問題時要注意找出動點的特殊位置進行求解.

例1 如圖所示，四邊形ABCD是菱形，BD=6，AC=8.對角線AC上存在一動點P，AB、BC的中點分別為E、F，求PE+PF的最小值.

解析 這是典型的兩點在直線同側(cè)求線段和最小值的問題，學生應該對于此類問題的求解方法較為熟悉，就是將同側(cè)的點變?yōu)楫悅?cè)，然后根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊的性質(zhì)判斷出只有三點在同一直線時和最小.故作F關于AC的對稱點F′，此點也為CD的中點，連接EF′，交AC于點P，此時EF′就是線段和的最小值.由于四邊形ABCD為菱形，所以存在EB平行且等于CF′.故四邊形EBCF′為平行四邊形，EF′=BC.由菱形對角線互相垂直可求出BC=5.故PE+PF最小值為5.

本題中不光是對于求最值問題方法的考察，對菱形性質(zhì)的檢驗也體現(xiàn)的很到位.我們要對題目有充分的認識，看到題中所提到的圖形，我們就應該在腦海中浮現(xiàn)出該圖形的各種性質(zhì)，這就需要學生對于知識反復記憶并使用.

二、由動點產(chǎn)生的動態(tài)圖形形狀判定

點的移動必然會帶來圖形形狀的變化，在初中數(shù)學平面幾何部分學到的特殊四邊形有可能在變化出現(xiàn)，出題者正是抓住了這點，經(jīng)過反復推敲就出現(xiàn)了此類問題.學生要熟記特殊四邊形的證明方法才能正確解答.

例2 點O為如圖所示的△ABC中AC邊上的一個動點，過點O作直線MN∥BC，設點E、F分別為MN與∠ACB的平分線及∠ACB的外角平分線的交點.

(1)四邊形AECF為矩形時O點的位置，說明理由；

(2)四邊形AECF是正方形時點O的位置以及△ABC滿足的條件，說明理由.

解析 分析兩問，對于正方形的證明是建立在四邊形為矩形的基礎上的，我們只要證明出何時為矩形，就能使問題得以解決.由題中提到的角平分線可知∠ECF=90°，故我們只需證明何時為平行四邊形就可以了.動點的好處在于點O可以出現(xiàn)在AC上的任意位置，平行四邊形的性質(zhì)就是對角線互相平分.所以在證明出O為EF的中點后問題就得證了.由直線MN∥BC及角平分線可知，∠OEC=∠OCE，∠FCO=∠CFO，因此有EO=CO=OF.當O為AC中點時四邊形AECF為矩形.而在(2)問中，只需要討論△ABC應滿足的條件就可以.在滿足矩形的條件下要證明圖形為正方形，一種方法是證明鄰邊相等，一種是對角線互相垂直.顯然在此題中證明角是很簡單的，即當∠ACB為直角時滿足對角線垂直.

此題中對于動點的討論更為深入，將幾何證明問題與動點的結(jié)合更加考驗學生的邏輯思維能力.在解決此類問題時我們可以運用逆向思維，先根據(jù)要證明的圖形的性質(zhì)確定動點位置，再進行后續(xù)過程的證明.

三、與動點有關的函數(shù)關系

前面兩種情況介紹的都是更加注重于幾何圖形的證明，而此類問題將函數(shù)與平面幾何相結(jié)合著重考查的是學生的計算能力.這就需要學生將函數(shù)知識與幾何圖形聯(lián)系在一起，在增加出題多樣性的同時也檢驗了學生的綜合能力.

例3 如圖所示，有一四邊形OABC是矩形，線段BC上存在一動點D(不與端點B、C重合)，直線y=-x+b過點D與折線OAB相交于點E.點A、C的坐標分別為(3,0)，(0,1).記△ODE的面積為S，求S與b的函數(shù)關系式.

解析 題中已經(jīng)很明確地給出點E在折線OAB上，相當于提醒我們情況有兩種，一種是E在OA上，另一種是E在AB上.針對第一種情況我們只需求出OE的長以及高即可，是較為簡單的.第二種情況，我們就不能再通過底乘以高來求了，因為求這兩個的過程繁瑣，計算量也很大.這時我們就可以利用矩形面積減掉幾個直角三角形的面積來求.先通過極限情況確定在不同直線上b的取值范圍，再按照上述思路求解.當直線過A點時，求出b=3/2.當直線過B點時，b=5/2.直線過C點時，b=1.如下面兩圖所示(1)當E在OA上時，即1

本題中以分類討論的思想為前提，結(jié)合三角形面積的計算以及范圍的選取進行完整的解答.數(shù)形結(jié)合思想的運用讓我們更好地對第二種情況進行求解.多種數(shù)學方法以及技巧的應用組成了解此題的要點，值得我們深入分析討論.

縱觀全文，三種不同情況的介紹也展示了四邊形中動點問題的多樣出題思路.學生在解決此類問題時必須要熟練掌握幾何證明、函數(shù)求解、圖形性質(zhì)等多方面知識，運用邏輯思維能力將它們聯(lián)系在一起綜合運用，求出正確答案.

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