江蘇省蘇州市吳江區(qū)金家壩中學(xué)(215200)

王偉江●

摭談幾何輔助線項(xiàng)目教學(xué)

江蘇省蘇州市吳江區(qū)金家壩中學(xué)(215200)

王偉江●

本文探究了在幾何教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生添加輔助線的教學(xué)方法及策略.

幾何；輔助線；教學(xué)

常聽學(xué)生說(shuō)幾何很難學(xué)，難點(diǎn)就在于添加輔助線，學(xué)生往往在遇到某些需要添加輔助線的幾何題時(shí)無(wú)從下手.如何添加輔助線既是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，也是教師教學(xué)的一個(gè)難點(diǎn).在傳統(tǒng)教學(xué)中有些教師遇到某些需要添加輔助線的幾何題時(shí),直接告訴學(xué)生如何添加輔助線,讓學(xué)生記住一些添加輔助線的方法和技巧，把怎樣添加輔助線的生動(dòng)過程變成了單調(diào)刻板的條文背誦，從源頭上剝離了知識(shí)與智力的內(nèi)在聯(lián)系.建構(gòu)主義理論認(rèn)為，知識(shí)不是在各種情景都能適應(yīng)的教條，它們處于不斷發(fā)展中，在不同的情景中需要被重新建構(gòu).在學(xué)習(xí)活動(dòng)中，學(xué)習(xí)者是主動(dòng)建構(gòu)者，而不是事實(shí)信息的記錄者.所以，教師在教學(xué)過程中遇到需要添加輔助線的問題時(shí)，不能簡(jiǎn)單、直接地告訴學(xué)生，“要授人漁，而不是授人以魚”.教師應(yīng)該創(chuàng)設(shè)相應(yīng)的問題情境，通過一系列有序地提問，為學(xué)生的主動(dòng)建構(gòu)——如何添加輔助線作好鋪墊，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)思考，使學(xué)生自己添加出恰當(dāng)?shù)妮o助線.

一、由一般到特殊，引導(dǎo)學(xué)生分割圖形

在解決一些圖形面積的題中，常常需要把不規(guī)則的圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則的圖形，或把復(fù)合的圖形轉(zhuǎn)化為單一的圖形，或把復(fù)雜的圖形轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的基本圖形.一般情況下，學(xué)生對(duì)特殊圖形的面積計(jì)算是熟悉的，如直角三角形、平行四邊形、矩形、菱形、正方形、圓等.在教學(xué)過程中，教師要善于在學(xué)生已有的知識(shí)基礎(chǔ)上啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生思維，把一般化的圖形分割為特殊的、可計(jì)算的圖形.正如教育家陶行知所說(shuō)的，“接知如接枝”.

例1 如圖，在四邊形ABCD中，若∠BAD=90°，AD=3，AB=4，BC=12，CD=13，求四邊形ABCD的面積.

分析 解這道題需要添加輔助線(連結(jié)BD)，把四邊形的面積轉(zhuǎn)化為兩個(gè)三角形的面積之和.

引導(dǎo) 在讓學(xué)生思考之前，可先提問學(xué)生：“你會(huì)求哪些四邊形的面積？”學(xué)生會(huì)回答是平行四邊形、矩形、菱形、正方形.這時(shí)接著問：“你會(huì)求直角三角形的面積嗎？”“不規(guī)則的四邊形的面積怎樣求？”這樣教學(xué)，可使學(xué)生的思維變得有序、有目標(biāo)，自然而然地會(huì)想到，不規(guī)則的四邊形的面積，可通過連結(jié)對(duì)角線轉(zhuǎn)化為兩個(gè)三角形的面積之和來(lái)求解.

二、把握定理題設(shè)，引導(dǎo)學(xué)生補(bǔ)全圖形

幾何證明就是從已知條件出發(fā)，經(jīng)過推理得出結(jié)論.推理的依據(jù)是與條件有關(guān)的公理、定理等.解題時(shí)，公理、定理的運(yùn)用都需要一定的條件，所以在教學(xué)中教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生自己正確把握公理、定理的題設(shè)，把分散的、孤立的條件聯(lián)系到一起，如果題中沒有能利用條件的圖形，就要添加一些輔助線補(bǔ)全圖形，以利于公理、定理等的運(yùn)用.這是學(xué)生會(huì)添加輔助線證明幾何題、會(huì)思維、會(huì)學(xué)幾何的一個(gè)很好的切入點(diǎn).

例2 已知：如圖，PA、PB是⊙O的兩條切線，切點(diǎn)為A，B，AC是⊙O的直徑.求證：PO∥BC.

分析 本題中主要運(yùn)用切線長(zhǎng)定理、等腰三角形三線合一定理和直徑所對(duì)圓周角是直角這三個(gè)定理.

引導(dǎo) 在學(xué)生思考之前，可先提問學(xué)生：“你知道與直徑有關(guān)的定理有哪幾個(gè)？學(xué)生容易回答是垂徑定理、直徑所對(duì)圓周角是直角等.再問：“等腰三角形三線合一的條件是什么？”“本題中有等腰三角形嗎？”由于本題是切線長(zhǎng)定理運(yùn)用的一個(gè)例題，所以學(xué)生根據(jù)切線長(zhǎng)定理輕松得到PA=PB，OP平分∠APB，再聯(lián)系A(chǔ)C是⊙O的直徑這個(gè)條件，只要連結(jié)AB，就補(bǔ)全了等腰三角形三線合一和直徑所對(duì)圓周角兩個(gè)定理的基本圖形，運(yùn)用這兩個(gè)定理易得PO與BC都與AB垂直，從而證得PO∥BC.

三、利用幾何變換，移動(dòng)局部圖形

在解題中，當(dāng)題目給出的條件顯得不夠或者不明顯時(shí)，可以啟發(fā)學(xué)生將圖形作一定的變換，這樣將有利于發(fā)現(xiàn)問題的隱含條件，抓住問題的關(guān)鍵和實(shí)質(zhì)，使問題得以突破，找到滿意的解答.圖形變換是一種重要的思想方法，它是一種以變化的、運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)來(lái)處理分散的、孤立的問題的思想，學(xué)生若能很好地領(lǐng)會(huì)這種解題的思想實(shí)質(zhì)，并能準(zhǔn)確合理地使用，在解題中就會(huì)收到奇效，也將有效地提高思維品質(zhì).

例3P是等邊三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn)，∠APB=150°，PA=3，PB=4.求PC的長(zhǎng).

分析 所求的線段PC與已知線段PA、PB不構(gòu)成一個(gè)三角形，條件分散，不容易求得PC的長(zhǎng)度.由于△ABC是等邊三角形，具備了旋轉(zhuǎn)角為60°的圖形旋轉(zhuǎn)條件，因此，可將△APB以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心作順時(shí)針60°的旋轉(zhuǎn).還可將△ABP以點(diǎn)A為頂點(diǎn)，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，將△APC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°.

引導(dǎo) 我先讓學(xué)生嘗試著解本題，在學(xué)生感到無(wú)處下手時(shí)，提問：“等邊三角形是什么對(duì)稱圖形？”學(xué)生答：“它是軸對(duì)稱圖形.”“還有呢？”學(xué)生又答：“它還是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形.”接著問：“那么它的旋轉(zhuǎn)中心在哪里？”“等邊三角形除了繞著它的中心旋轉(zhuǎn)，還能繞哪些點(diǎn)旋轉(zhuǎn)？”“△APB能否繞著某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)？”到這時(shí)，學(xué)生似乎有點(diǎn)感悟.于是就讓學(xué)生繼續(xù)思考，再試著解本題.

在實(shí)際教學(xué)中，教師應(yīng)根據(jù)具體的問題情境，具體分析，讓學(xué)生在不斷地嘗試, 不斷地失敗中揭示隱含在輔助線中的精彩而又獨(dú)特的思維過程，并引導(dǎo)學(xué)生的思維深入到知識(shí)的發(fā)現(xiàn)或再發(fā)現(xiàn)的過程中去，只有這樣，學(xué)生才能真正理解和掌握知識(shí)，并把教師所教的內(nèi)容轉(zhuǎn)化為自己的智慧.誠(chéng)如蘇霍姆林斯基所說(shuō)過那樣，“在學(xué)生的腦力勞動(dòng)中，擺在第一的并不是背書，不是記住別人的思想，而是讓學(xué)生本人進(jìn)行思考，也就是說(shuō)，進(jìn)行生動(dòng)的創(chuàng)造.”

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