麥賢慧,韋篤取,羅曉曙

(廣西師范大學(xué)電子工程學(xué)院，廣西 桂林 541004)

Newman-Watts型小世界電機(jī)網(wǎng)絡(luò)混沌行為的牽制控制

麥賢慧,韋篤取,羅曉曙

(廣西師范大學(xué)電子工程學(xué)院，廣西 桂林 541004)

小世界永磁同步電機(jī)(PMSM)網(wǎng)絡(luò)的耦合強(qiáng)度和連接概率參數(shù)值處于某些范圍時(shí)，會(huì)出現(xiàn)混沌行為，這將嚴(yán)重危及電機(jī)網(wǎng)絡(luò)傳動(dòng)系統(tǒng)的穩(wěn)定運(yùn)行。因此，如何控制PMSM網(wǎng)絡(luò)中的混沌行為成為保持其穩(wěn)定性的關(guān)鍵問題。首先給出了Newman-Watts型小世界PMSM網(wǎng)絡(luò)的牽制控制模型，然后通過(guò)Lyapunov穩(wěn)定性理論證明了受控系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并得到牽制控制器參數(shù)的選擇條件，最后利用數(shù)值仿真方法驗(yàn)證該牽制控制方法的正確性。

混沌控制;牽制控制;Newman-Watts小世界網(wǎng)絡(luò);永磁同步電動(dòng)機(jī)

0 前言

永磁同步電機(jī)(簡(jiǎn)稱PMSM)是一種在轉(zhuǎn)子上采用永磁體取代勵(lì)磁繞組來(lái)產(chǎn)生恒定磁場(chǎng)的同步電機(jī)。因省卻了勵(lì)磁線圈、集電環(huán)和電刷，與其他驅(qū)動(dòng)電機(jī)相比，PMSM具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、調(diào)速范圍寬、起動(dòng)轉(zhuǎn)矩高、功率密度比高、轉(zhuǎn)矩/慣量比大和控制特性良好等優(yōu)點(diǎn)。隨著永磁材料和電力電子技術(shù)的發(fā)展，PMSM越來(lái)越多地替代傳統(tǒng)電機(jī)，被普遍應(yīng)用于軌道交通運(yùn)輸、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、航空航天等多個(gè)領(lǐng)域[1]。另一方面，現(xiàn)代工業(yè)自動(dòng)化生產(chǎn)過(guò)程，如紡織、冶金、造紙、灌裝液體藥品等，需要多臺(tái)電機(jī)的協(xié)調(diào)來(lái)使生產(chǎn)得以正常運(yùn)行，隨著嵌入式與計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)測(cè)控等技術(shù)的發(fā)展，在運(yùn)動(dòng)控制、變頻調(diào)速控制與伺服控制等系統(tǒng)中，將各種電機(jī)引入網(wǎng)絡(luò)控制的問題已成為了電機(jī)傳動(dòng)領(lǐng)域研究的一個(gè)熱點(diǎn)[4-5]。數(shù)量眾多的電機(jī)互聯(lián)，在促進(jìn)了自動(dòng)化進(jìn)程和提高了生產(chǎn)效率的同時(shí)，也使得電機(jī)傳動(dòng)系統(tǒng)變得越來(lái)越復(fù)雜，進(jìn)而對(duì)電機(jī)傳動(dòng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性和可靠性的要求也越來(lái)越高。我們最近的研究發(fā)現(xiàn)，Newman-Watts型小世界電機(jī)網(wǎng)絡(luò)的耦合強(qiáng)度和連接概率參數(shù)值處于某些范圍時(shí)，會(huì)出現(xiàn)混沌行為，這將嚴(yán)重危及電機(jī)網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性[6-7]。因此，研究多電機(jī)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型的混沌行為，并且有針對(duì)性地提出相應(yīng)的混沌控制策略，在保障工業(yè)生產(chǎn)的安全穩(wěn)定運(yùn)行方面具有重要的理論探索價(jià)值和實(shí)際應(yīng)用參考價(jià)值。

復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)是具有復(fù)雜動(dòng)態(tài)行為及復(fù)雜拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的網(wǎng)絡(luò)?；诰W(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和系統(tǒng)性能的關(guān)系，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論適用于研究各種復(fù)雜系統(tǒng)之間的共性以及控制方法[8-10]。復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的牽制控制(Pinning Control)是指從一開始就在網(wǎng)絡(luò)小部分節(jié)點(diǎn)上施加一個(gè)恒定的控制，并使這個(gè)恒定的控制輸入在整個(gè)網(wǎng)絡(luò)達(dá)到所預(yù)期的穩(wěn)定目標(biāo)之前保持不變[11]。由于減少被控制節(jié)點(diǎn)的數(shù)量，牽制控制方法不僅節(jié)省了系統(tǒng)資源，也簡(jiǎn)化了控制器的結(jié)構(gòu)，這在工程上更易于實(shí)現(xiàn)。本文利用復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)中的牽制控制理論，對(duì)Newman-Watts型小世界PMSM網(wǎng)絡(luò)中部分節(jié)點(diǎn)施加牽制控制，以達(dá)到抑制整個(gè)網(wǎng)絡(luò)混沌運(yùn)動(dòng)的目的。數(shù)值仿真結(jié)果表明了本文所設(shè)計(jì)控制器的正確性和有效性。

1 Newman-Watts型小世界電機(jī)網(wǎng)絡(luò)牽制控制模型

均勻氣隙PMSM數(shù)學(xué)模型為[12-13]：

(1)

其中，Iq，Id和ω為PMSM節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)變量，分別表示q軸定子電流、d軸定子電流和轉(zhuǎn)子角速度；σ和γ是系統(tǒng)設(shè)置的運(yùn)行參數(shù)，均取正值；Vq和Vd是控制信號(hào)；TL是外部負(fù)載轉(zhuǎn)矩。本文只考慮電機(jī)在沒有外部輸入的情形，即Vq=0，Vd=0和TL=0，這時(shí)PMSM節(jié)點(diǎn)的動(dòng)力學(xué)方程(1)可寫成：

(2)

則基于Newman-Watts(NW)小世界連接的復(fù)雜PMSM網(wǎng)絡(luò)模型為[6-7]

(3)

其中，i=1,2,…,N，常數(shù)c>0表示PMSM節(jié)點(diǎn)之間的耦合強(qiáng)度。

(4)

令Xi=[Iqi,Idi,ωi]T∈Rn，i,j=1,2,…,N是第i個(gè)PMSM節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)變量，則單個(gè)PMSM節(jié)點(diǎn)未參與耦合時(shí)的動(dòng)力學(xué)方程可表示為

(5)

這里,f:Rn→Rn是連續(xù)可微的向量函數(shù)。

PMSM網(wǎng)絡(luò)動(dòng)力學(xué)方程(3)可表示為

(6)

2 Newman-Watts小世界PMSM網(wǎng)絡(luò)的牽制控制方法過(guò)程

對(duì)于方程組(3)，如果有

(7)

X1(t),X2(t),…,XN(t)→X*,t→∞

(8)

‖g‖2表示向量的Euclidean范數(shù)。

對(duì)系統(tǒng)(3)中節(jié)點(diǎn)的一小部分(占節(jié)點(diǎn)總數(shù)的比例為δ(0<δ≤1))實(shí)施牽制控制。假設(shè)選擇l個(gè)節(jié)點(diǎn)i1,i2,…,il，這里l=[δN]代表不超過(guò)實(shí)數(shù)δN的整數(shù)部分，不失一般性，我們重新排列PMSM網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)順序，使所有牽制點(diǎn)i=1,2,…,l即為前l(fā)個(gè)節(jié)點(diǎn)，則被牽制控制的PMSM網(wǎng)絡(luò)動(dòng)力學(xué)方程可表示為

(9)

自適應(yīng)牽制控制器設(shè)計(jì)為

(10)

其中，pi為自適應(yīng)牽制控制器i的增益，μ≥0為收斂系數(shù)，表示調(diào)節(jié)PMSM網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)定到平衡點(diǎn)的收斂速度。qi>0(i=1,2,…,l)為自適應(yīng)律系數(shù)。

假設(shè)1 假設(shè)‖Df(X*)‖2有界，即存在一個(gè)非負(fù)常數(shù)α滿足‖Df(X*)‖2≤α。其中Df(X*)是f(Xi)在平衡點(diǎn)X*上的Jacobian矩陣。

引理1[14](Schur補(bǔ)定理[15])線性矩陣不等式

其中，Q(x)=QT(x),R(x)=RT(x)，等價(jià)于以下任一條件：

1)Q(x)<0,R(xT)-δT(x)Q-1(x)δ(x)<0

2)R(x)<0,Q(xT)-δ(x)R-1(x)δT(x)<0

引理2[17]對(duì)于一個(gè)對(duì)稱矩陣M=(mij)N×N和對(duì)角矩陣D，其中

這里A,Dl∈Rl×l(1≤l≤N)，Dl=diag(d1,…,dl)，且di>0,i=1,2,…,l，Ml是M去掉前l(fā)行和l列元素的子式陣，矩陣B具有合適的維度。因此當(dāng)di足夠大時(shí)，M-D<0等價(jià)于Ml<0。

根據(jù)控制目標(biāo)，定義誤差為

ei=Xi-X*,i=1,2,…,N

(11)

這里1≤i≤N。

假定前l(fā)(1≤i≤l)個(gè)節(jié)點(diǎn)為被牽制節(jié)點(diǎn)，自適應(yīng)控制器(10)可描述為

(12)

因此，受控系統(tǒng)(9)可以描述為

(13)

式(13)在平衡點(diǎn)X*處線性化，可以得到誤差系統(tǒng)

(14)

其中，Jf為f(Xi)在平衡點(diǎn)X*的Jacobian矩陣。

為了使PMSM網(wǎng)絡(luò)被控制到平衡點(diǎn)X*，則誤差系統(tǒng)需滿足

(15)

定理1 若假設(shè)1成立，如果存在自然數(shù)1≤l≤N滿足

證明：構(gòu)造一個(gè)Lyapunov函數(shù)[17]

(16)

則V的導(dǎo)數(shù)為

(17)

由引理1矩陣的分解可以做以下推斷：

等價(jià)于

(18)

根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論，誤差系統(tǒng)(14)在平衡點(diǎn)X*處也是局部漸進(jìn)穩(wěn)定的。

當(dāng)t→∞時(shí)，‖ei(t)‖2→0，且有

(19)

因此，得

(20)

由此可知，誤差系統(tǒng)(14)是局部指數(shù)穩(wěn)定的，則PMSM網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)(13)在平衡點(diǎn)X*處也是局部指數(shù)穩(wěn)定。證畢。

由于混沌系統(tǒng)吸引子具有有界性，因此混沌系統(tǒng)(3)滿足假設(shè)1的條件，因此Newman-Watts型小世界PMSM網(wǎng)絡(luò)可以用所設(shè)計(jì)的自適應(yīng)控制器(12)來(lái)控制。

3 數(shù)值仿真

數(shù)值仿真過(guò)程中PMSM節(jié)點(diǎn)的系統(tǒng)參數(shù)設(shè)置為σ=5.45和γ=20，此時(shí)網(wǎng)絡(luò)中每個(gè)PMSM節(jié)點(diǎn)在加入控制器前均處于混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，其吸引子如圖1所示。

圖1 PMSM節(jié)點(diǎn)的混沌吸引Fig.1 Chaotic attractor in the single PMSM

圖2 PMSM網(wǎng)絡(luò)被牽制到平衡點(diǎn)的時(shí)間序列圖Fig.2 The evolution of state variable in complex PMSM networks with control

圖3 自適應(yīng)反饋增益Fig.3 The adaptive coefficient law of controller

4 小結(jié)

本文首先給出了Newman-Watts型小世界PMSM網(wǎng)絡(luò)的牽制控制模型，然后通過(guò)Lyapunov穩(wěn)定理論證明了被控系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并得到系統(tǒng)穩(wěn)定到平衡點(diǎn)的網(wǎng)絡(luò)參數(shù)閾值。最后，通過(guò)數(shù)值仿真驗(yàn)證了該牽制控制方法的有效性。值得注意的是，牽制控制適用于大規(guī)模節(jié)點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)，當(dāng)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)數(shù)較少時(shí)，可以用全局控制方法或“基于環(huán)境的控制方法”[22]。經(jīng)典牽制控制[23-26]通常是對(duì)所有系統(tǒng)狀態(tài)變量進(jìn)行控制，由于電機(jī)網(wǎng)絡(luò)是實(shí)際工程系統(tǒng)，我們?cè)谑褂脿恐瓶刂品椒〞r(shí)要考慮控制器的可行性，只對(duì)電機(jī)q軸電流施加控制便能達(dá)到控制目的。本文所提出的控制方法有兩個(gè)優(yōu)點(diǎn)：第一，在PMSM節(jié)點(diǎn)數(shù)增加到一定程度時(shí)，引入該牽制控制方法提高PMSM網(wǎng)絡(luò)混沌控制的效率，以彌補(bǔ)全局控制方法及“基于環(huán)境控制方法”[22]所需的控制時(shí)間變長(zhǎng)的不足，牽制控制相對(duì)全局控制優(yōu)點(diǎn)是不必每個(gè)節(jié)點(diǎn)都要加控制，相對(duì)“基于環(huán)境控制方法”的優(yōu)點(diǎn)是對(duì)大規(guī)模節(jié)點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)也有效；第二，由于在設(shè)計(jì)牽制控制器過(guò)程中引入自適應(yīng)率，不必求解大規(guī)模的線性矩陣不等式，只通過(guò)計(jì)算子式陣的特征值就得到需要控制的節(jié)點(diǎn)數(shù)量。

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(責(zé)任編輯 李進(jìn))

Controlling Chaos in Newman-Watts Small-World Motor Networks by Pinning Method

MAI Xianhui,WEI Duqu,LUO Xiaoshu

(College of Electronic Engineering,Guangxi Normal University,Guilin 541004,China)

With certain connection randomness and coupling strength,the permanent magnet synchronous motors in Newman-Watts small-world (NWSW) networks fall into chaotic motion and threaten the secure and stable operation of the drive system.To control the undesirable chaos in complex motor networks,an adaptive controller based on pinning method is first presented.And then,the stability of the controlled system is proved by Lyapunov stability theory and the threshold values of parameter conditions for the onset of stability are obtained.Finally,the simulation results show that the proposed control law is correct and effective.Our research results are helpful to maintain the secure operation of drive system.

chaos control; pinning control; Newman-Watts small-world (NWSW) networks; permanent magnet synchronous motor (PMSM)

1672-3813(2017)01-0096-07；

10.13306/j.1672-3813.2017.01.014

2015-10-23；

2016-04-28

國(guó)家自然科學(xué)基金(11562004,61263021,51277030,11262004)

麥賢慧(1985-),女，廣西平南人，碩士研究生,主要研究方向?yàn)閺?fù)雜電機(jī)網(wǎng)絡(luò)混沌控制。

韋篤取(1975-),男，廣西貴港人，博士，教授,主要研究方向?yàn)閺?fù)雜電機(jī)網(wǎng)絡(luò)動(dòng)力學(xué)行為分析與控制。

O415

A