張 斐，吳慶初,曾廣洪

(江西師范大學數(shù)學與信息科學學院，南昌 330022)

網(wǎng)絡上具有一般直接免疫的SIRS傳染病模型分析

張 斐，吳慶初,曾廣洪

(江西師范大學數(shù)學與信息科學學院，南昌 330022)

考慮復雜網(wǎng)絡上具有一般直接免疫率的SIRS傳染病模型。由地方病平衡點的存在性，確定了傳染病的流行閾值λc，并且通過構(gòu)造合適的李雅普諾夫函數(shù)證明：當λ≤λc時，無病平衡點全局漸近穩(wěn)定；當λ>λc時，地方病平衡點全局漸近穩(wěn)定。根據(jù)免疫率的分布，提出了一致性直接免疫和目標性直接免疫。結(jié)果表明，在平均免疫率相等的條件下存在免疫喪失率的臨界值δc，當δ<δc(δ>δc)時，目標性免疫的流行閾值小于(大于)一致性免疫的流行閾值。

復雜網(wǎng)絡；SIRS模型；全局穩(wěn)定性；異質(zhì)免疫率

0 引言

復雜網(wǎng)絡是一門新興學科[1]，是分析研究流行病(也包括計算機病毒)傳播的有力工具[2]。網(wǎng)絡由節(jié)點和連邊組成，種群中個體被抽象為節(jié)點，而個體之間傳染性接觸被抽象為節(jié)點之間的連邊。2001年物理學家Pastor-Satorras和Vespignani[3]首次利用異質(zhì)平均場方法研究了復雜網(wǎng)絡上SIS傳播模型，緊接著Newman[4]在2002年利用滲流理論研究了復雜網(wǎng)絡上SIR傳播模型。由于網(wǎng)絡傳播問題在物理、生物、社會、計算機工程等眾多學科中具有重要意義，以致近十幾年來，復雜網(wǎng)絡傳播動力學一直受到廣泛關注并獲得了很大的發(fā)展[5]。

對于傳染病傳播動力學的研究，許多學者應用不同的傳播模型研究傳染病傳播過程和控制疾病傳播的方法[6-9]。大多數(shù)工作關注SIS和SIR這兩個基本模型，然而有些傳染病如季節(jié)性流感、梅毒[10]等，個體恢復后可獲得短時性免疫，當過了免疫期后又恢復成易感者。這類傳染病比較適合使用SIRS模型進行研究[10-12]。另外，對易感者接種免疫是疾病控制的有效手段之一[7]。Xia等[13]首先研究了異質(zhì)網(wǎng)絡上帶有直接免疫的SIRS模型。在此基礎上，一些較復雜的傳播動力學模型被提出和深入研究[14-15]。最近，Chen等[16]在SIRS模型中提出了對易感個體接種疫苗的異質(zhì)免疫率，并且在個體免疫率都相同(即同質(zhì)免疫率)的情況下，證明了在免疫率小于恢復率的條件下地方病平衡點的全局穩(wěn)定性。值得提到的是，Peng等[17]研究了具有直接免疫的SIS模型，分析了免疫率對流行閾值和流行規(guī)模的影響。

本文主要解決文獻[16]中待解決的問題。與該文不同，我們研究具有一般分布的異質(zhì)免疫率。考慮異質(zhì)免疫率的原因主要有兩點：1)每個人的體質(zhì)及免疫行為不盡相同，導致接種疫苗的免疫效率會存在差異[16]，比如據(jù)研究發(fā)現(xiàn)[18]，兒童一次接種水痘疫苗的成功率不及50%。2)人們在對種群實施優(yōu)化免疫時，也會根據(jù)個體的傳播影響力采取不同的免疫措施[7，19]。因此，研究個體的異質(zhì)免疫率對傳染病的傳播和控制具有重要的意義?；谶@個考慮，本文分析了不同易感者的免疫率對傳染病閾值的影響，證明了在免疫率大于或等于恢復率的條件下地方病平衡點也是全局漸近穩(wěn)定的。同時，我們也提出了兩種具體的直接免疫機制并且進行了比較分析。

圖1 模型中各狀態(tài)間的轉(zhuǎn)移框圖Fig.1 States transition liagram

1 模型

首先，將所有節(jié)點按動力學狀態(tài)分為4類：易感者類(S)、免疫者類(V)、感染者類(I)和移除者類(R)。各狀態(tài)轉(zhuǎn)移關系如圖1所示。其中，λ為易感者與一個感染者接觸的感染率，γ為感染者變?yōu)榛謴驼叩幕謴吐?，δ為恢復者喪失免疫重新變?yōu)橐赘姓叩拿庖邌适剩瑄k為對度為k的易感節(jié)點的直接免疫率，δ′為免疫者的免疫喪失率[17]。

然后，對每種狀態(tài)的節(jié)點按度進行二次分類。在度為k的群體中，記易感節(jié)點、免疫節(jié)點、染病節(jié)點、恢復節(jié)點在t時刻的相對密度分別為Sk(t)，Vk(t)，Ik(t)，Rk(t)。又令Θ(t)表示在t時刻隨機選取的一條邊與感染者連接的概率。由于節(jié)點之間的度不相關，故Θ(t)獨立于節(jié)點的度，可表示為

(1)

根據(jù)異質(zhì)平均場理論[3]，模型的狀態(tài)演化動力學方程為

(2)

為簡便起見，在本文中假設恢復者和免疫者的免疫喪失率相等，即δ′=δ。此時，可將Vk類節(jié)點并入Rk類節(jié)點集中。則模型(2)可化為[16]

(3)

易知，Sk(t)+Ik(t)+Rk(t)=1對任意的k,t都成立，稱該等式為歸一性條件。

2 流行閾值

接下來，求解模型(3)的流行閾值。為此，考慮穩(wěn)態(tài)條件下的平衡解，即令dSk(t)/dt=0、dIk(t)/dt=0和dRk(t)/dt=0，容易求出方程組(3)的無病平衡點為

即無病平衡點總存在。下面考慮地方病平衡點的存在性。不妨設其為

利用方程組(3)的前兩個方程和歸一性條件，有

(4)

將(4)式代入(1)中可得關于Θ的自洽方程

記G(Θ)=Θ-g(Θ)，經(jīng)計算可得

因此，G(Θ)在Θ∈[0,1]上為上凹函數(shù)，且G(0)=0，

從而，G(Θ)=0在Θ∈[0,1]內(nèi)有唯一正根的充要條件是

由此可得，在異質(zhì)網(wǎng)絡上具有直接免疫的傳染病流行閾值為

(5)

因此，有下面的結(jié)論：

定理1 設λc如(5)定義，則當λ≤λc時，系統(tǒng)(3)只有一個無病平衡點E0；當λ>λc時，系統(tǒng)(3)除了E0外，還存在唯一的地方病平衡點E*。

3 全局穩(wěn)定性

為了確定疾病的流行情況，特別是疾病流行與初始條件的關系，有必要進一步分析系統(tǒng)平衡點的全局穩(wěn)定性[20]。首先證明下面的定理。

定理2 當λ≤λc時，則系統(tǒng)(3)的無病平衡點E0全局漸近穩(wěn)定。

將不等式右端寫成二次型的形式，即

αk≤XAXT

其中，

(6)

以下分兩種情況討論：

由此可知，y1,y2>0。從而在區(qū)間(y1,y2)內(nèi)(不妨設0

定理3 當λ>λc時，則系統(tǒng)(3)的地方病平衡點全局漸近穩(wěn)定。

在計算中我們使用了下面3個等式

記上式和號內(nèi)表達式為βk。為了判定導數(shù)的符號，與定理2的證明方法相同，有必要分uk=0和uk>0兩種情況討論。下面只就uk>0的情況作說明。此時

其中

4 免疫策略

對于直接免疫來說，也可以仿照靜態(tài)免疫，將其分為兩種截然不同的機制：

1)一致性直接免疫。類似于隨機免疫，所有的免疫率都相同，即uk≡c。這時，傳染病流行閾值為

(7)

2)目標性直接免疫。類似于目標免疫，只針對度大的節(jié)點進行免疫。為此引入節(jié)點連接度的截斷值κ，當k>κ時，uk=1；當k≤κ時，uk=0。于是，由閾值公式(5)，有

圖2 不同免疫機制下的流行閾值隨平均免疫率的變化曲線Fig.2 Epidemic threshold chang with

(8)

一個重要的問題是，兩類免疫策略哪一種對疾病的控制效果更好？對于靜態(tài)免疫策略來說，隨機免疫不如目標免疫，這個結(jié)論對于無向網(wǎng)絡上的SIS模型[7]、SIRS模型[25]以及有向網(wǎng)絡上的SIS模型[26]均成立。比如對SIRS模型來說，假設網(wǎng)絡上總的免疫比例為f(此時，f也等于平均免疫率[7])，則隨機免疫的流行閾值和目標免疫的流行閾值可分別寫為[25]

故在相同免疫比例(或平均免疫率)下目標免疫閾值大于隨機免疫閾值。

(9)

5 結(jié)論與討論

本文分析了在異質(zhì)網(wǎng)絡中帶有直接免疫的SIRS傳染病模型。在該模型中，免疫率允許具有任意分布。通過理論分析，推導了模型的傳染病流行閾值。結(jié)果表明，傳染病動力學行為完全由該閾值確定。當λ≤λc時無病平衡點是全局穩(wěn)定的，當λ>λc時地方病平衡點是全局漸近穩(wěn)定的。這個結(jié)果改進了已有的一些工作[13,16]。

另外，也提出了兩種具體的免疫機制,即一致性和目標性機制。利用理論分析和數(shù)值模擬，我們發(fā)現(xiàn)在平均免疫率相等的情況下，目標性免疫的流行閾值有可能小于一致性免疫的流行閾值。這個結(jié)果與靜態(tài)免疫中隨機免疫和目標免疫的關系不相同。由式(9)可以看出，只有當δ比較小的時候才有可能出現(xiàn)這種情況。因此，這種直接免疫與靜態(tài)免疫之間的差異性不僅可以看作是直接免疫模型的一個特點，而且與免疫喪失率的大小密切相關。

本文研究的模型仍有待進一步改進。模型中假設恢復者和免疫者的免疫喪失率相等，那么對于更一般的模型(2)，仍需要做進一步分析。另外，在模型(3)中，直接免疫率為常數(shù)，與疾病流行情況無關。然而，實際中免疫策略應該與疾病的流行程度密切相關[16，23，28]，故還可研究時變的直接免疫率模型。

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(責任編輯 李進)

An Analysis of an SIRS Epidemic Model with General Direct Immunization in Networks

ZHANG Fei,WU Qingchu,ZENG Guanghong

(College of Mathematics and Information Science,Jiangxi Normal University,Nanchang 330022,China)

We consider an SIRS epidemic model with a general direct immunization rate on networks.By constructing suitable Lyapunov functions,we find that the dynamical behvaior of the model is completely determined by the epidemic thresholdλc.Whenλ≤λc,the disease-free equilibrium is globally asymptotically stable; whenλ>λc,the endemic equilibrium is globally asymptotically stable.In addition,we propose a uniform direct immunization and a targeted direct immunization.The results show that under the same average immunization rate s there exists a critical immunization-lost rateδcso that the epidemic threshold of the targeted direct immunization is smaller (larger) than that of the uniform direct immunization ifδ<δc(δ>δc).

complex network; SIRS model; global stability; heterogeneous immunization rate

1672-3813(2017)01-0081-07；

10.13306/j.1672-3813.2017.01.012

2015-10-12；

2016-09-19

國家自然科學基金(61663015,61203153); 江西省自然科學基金(20161BAB202051)

張斐(1992-)，女，江西萍鄉(xiāng)人，碩士研究生，主要研究方向為復雜網(wǎng)絡。

吳慶初(1979-)，男，江西都昌人，博士，副教授，主要研究方向為生物數(shù)學與復雜網(wǎng)絡。

O29;N94

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